تاریخچه ریاضیات(۱)

باسمه‌تعالی
تاریخچه ریاضیات
فهرست مطالب
مقدمه
۱.آنالیز ریاضی
۲.جبر مجرد
۳.هندسه مجرد
۴.توپولوژی
۵.آنالیز تابعی
۶.هندسه منیفلد
۷.جبر باناخ
۸.جبر لی
۹.نظریه گروه ها
۱۰.نظریه اعداد
۱۱.جبر خطی
۱۲.معادلات دیفرانسیل
۱۳.نیم گروه ها
۱۴.نظریه اندازه
۱۵.نظریه حلقه ها
۱۶.نظریه عملگرها
۱۷.میدان
۱۸.هندسه جبری
۱۹.فضای برداری
۲۰.آنالیز حقیقی
۲۱.گروه های لی
۲۲.آنالیز مختلط

مقدمه

باسمه‌تعالی
مقدمه‌
    ریاضیات، زبان دقیق و جاودانه‌ی اندیشه‌ی بشری است؛ زبانی که از نخستین روزهای آفرینش عقل، همدم انسان در کشف نظم عالم بوده است. هر تمدنی، هرچند ابتدایی، نشانه‌هایی از شمارش، اندازه‌گیری و هندسه را در خود داشته است. اما مسیر تکامل این علم، نه خطی و ساده، بلکه پیچیده و سرشار از جهش‌های فکری و الهامات ژرف بوده است.
در آغاز، ریاضیات زاده‌ی نیازهای عملی بشر بود: سنجش زمین برای کشاورزی، شمارش گله و محاسبه‌ی زمان. اما اندک‌اندک از تجربه‌ی صرف فراتر رفت و در قلمرو عقل و تجرید گام نهاد. این گذار از «محاسبه» به «مفهوم»، از «کمیت» به «کیفیت» و از «کاربرد» به «کشف»، نقطه‌ی آغاز فلسفه‌ی ریاضیات است.
در یونان باستان، ریاضیات چهره‌ای نظری و برهانی یافت. فیثاغورث، اقلیدس و ارشمیدس نه‌تنها صورت‌های تازه‌ای از اندیشه را عرضه کردند، بلکه به روح ریاضی، یعنی نظم، تقارن و زیبایی، جان بخشیدند. در هند و جهان اسلام، ریاضیات از عدد و نسبت فراتر رفت و به تحلیل پیوستگی، جبر، و مثلثات بدل شد. بزرگانی چون خوارزمی، بیرونی، ابن‌هیثم و عمر خیام نه‌تنها میراث یونان را حفظ کردند، بلکه به آن روحی تازه دادند.
در دوران جدید، ریاضیات به ابزار اصلی علم بدل شد. با دکارت، نیوتن و لایبنیتس، پیوند میان ریاضی و طبیعت شکل تازه‌ای یافت. آنالیز و هندسه‌ی تحلیلی، زبان فیزیک نوین شدند و قرن‌ها پژوهش در جبر، توپولوژی، نظریه‌ی گروه‌ها و آنالیز تابعی، افق‌های تازه‌ای در تفکر انسانی گشود.
امروزه ریاضیات نه‌تنها علمی مستقل، بلکه بنیان فهم جهان و ساختار ذهن است. از نظریه‌ی اعداد تا فضاهای باناخ، از هندسه‌ی جبری تا جبر لی، هر شاخه‌ی آن، روایتی است از تلاش انسان برای درک بی‌نهایت.
در این مجموعه، تلاش شده است تا سیر تاریخی و منطقی پیدایش و گسترش شاخه‌های گوناگون ریاضیات، به‌ویژه از منظر مفاهیم و اندیشه‌های بنیادین، به‌گونه‌ای مستند و آموزشی ارائه شود. هر فصل با نگاهی به پیدایش مفهوم، تحول تاریخی آن، و نقش دانشمندان برجسته در رشد آن علم نگاشته شده است.
این اثر نه تاریخ صرف است و نه کتاب درسی؛ بلکه تلاشی است برای بازشناختن ریاضیات به‌عنوان فرهنگی زنده، پویا و الهام‌بخش ، فرهنگی که ریشه در عقل و شهود دارد و غایت آن، فهم نظم الهی در هستی است.
با سپاس از همه‌ی استادان و پژوهشگرانی که در مسیر اعتلای اندیشه‌ی ریاضی گام برداشته‌اند.
با احترام
دکتر علی رجالی
استاد تمام دانشگاه اصفهان 

 

تاریخچهٔ آنالیز ریاضی
       آنالیز ریاضی یکی از بنیادی‌ترین شاخه‌های ریاضیات است که مفاهیمی چون حد، پیوستگی، مشتق، انتگرال، سری و همگرایی را بررسی می‌کند.
این علم ستون استوار ریاضیات جدید و زبان دقیق علوم طبیعی است. تاریخچهٔ آنالیز، سفری است از شهود هندسی تا دقت منطقی.
۱. دوران باستان:
ریشه‌های شهودی آنالیز
      در یونان باستان، فیلسوفان و ریاضی‌دانانی چون ارشمیدس، اقلیدس، آناکساگوراس و دموکریتوس با مفاهیمی شبیه به «حد» و «بی‌نهایت» سروکار داشتند. ارشمیدس با روش معروف استهلاک، سطح و حجم اشکال را از طریق تقریب‌های پی‌درپی محاسبه می‌کرد ، کاری که شباهت بسیاری به مفهوم انتگرال‌گیری در آنالیز نوین دارد.
۲. دوران اسلامی (قرون ۸ تا ۱۴ میلادی):
تکامل مفاهیم هندسی و جبری
      در دوران شکوفایی تمدن اسلامی، ریاضی‌دانان مسلمان گام‌های بلندی در مسیر شکل‌گیری اندیشهٔ تحلیلی برداشتند:
۱. ابن‌هیثم (الحسن بن هیثم) در کتاب المناظر و آثار هندسی خود از روش‌هایی مشابه انتگرال‌گیری برای محاسبهٔ مساحت زیر منحنی‌ها استفاده کرد.
۲. ابوریحان بیرونی و عمر خیام مباحثی دقیق‌تر از «حد» و «پیوستگی» را در تحلیل منحنی‌ها مطرح نمودند.
۳. خواجه نصیرالدین طوسی نیز در آثار خود به مفهوم تغییرات تدریجی ،که مبنای مشتق است، اشاره داشت.
این دوره، پایه‌های فکری و شهودی آنالیز را استوار ساخت.
۳. قرن هفدهم:
تولد حساب دیفرانسیل و انتگرال
     در این سده، مفهوم تغییر و حرکت وارد ریاضیات شد. ایزاک نیوتن در انگلستان و گوتفرید لایب‌نیتس در آلمان به‌طور مستقل، حساب دیفرانسیل و انتگرال را بنیان نهادند.
نیوتن از آن برای تحلیل حرکت در فیزیک بهره گرفت، و لایب‌نیتس با ابداع نمادگذاری زیبا و منظم، زبان عمومی آنالیز را پدید آورد.
۴. قرن هجدهم:
گسترش و کاربرد
    در این قرن، آنالیز به ابزاری جهانی در فیزیک و مکانیک تبدیل شد.
۱. اویلر و لاگرانژ آنالیز را در حل معادلات دیفرانسیل و مکانیک ریاضی به‌کار گرفتند.
۲. فوریه مفهوم سری‌های بی‌نهایت و تبدیل فوریه را مطرح کرد و راه را برای تحلیل سیگنال‌ها و دما گشود.
       با این‌همه، مفاهیمی چون «حد» و «همگرایی» هنوز بیشتر شهودی بودند تا منطقی و دقیق.
۵. قرن نوزدهم:
دقت منطقی و بنیان‌گذاری نوین
۱. آگوستین کُشی مفهوم «حد» را به‌صورت ریاضی دقیق تعریف کرد و بنیان نوین آنالیز را پی‌ریخت.
۲. کارل وایراشتراس با زبان دقیق اپسیلون و دلتا (ε–δ) مفاهیم حد و پیوستگی را صورت‌بندی نمود.
۳. برنهارد ریمان نظریهٔ انتگرال را بازتعریف و آنالیز مختلط را بنیان نهاد.
۴. گئورگ کانتور با بنیان‌گذاری نظریهٔ مجموعه‌ها، مفهوم «بی‌نهایت» را از شهود به منطق ریاضی ارتقا داد.
در این دوره، آنالیز از «محاسبه» به «ساختار منطقی» دگرگون شد.
۶. قرن بیستم:
آنالیز نوین و شاخه‌های انتزاعی
      در قرن بیستم، آنالیز گسترشی بی‌سابقه یافت و به شاخه‌های متعددی تقسیم شد، از جمله:
۱. آنالیز حقیقی و آنالیز مختلط
۲. آنالیز تابعی
۳. آنالیز هارمونیک
۴. آنالیز عددی
۵. آنالیز توپولوژیک
       ریاضی‌دانانی چون هان، باناخ، هیلبرت و فون‌نویمان ساختارهای فضاهای برداری، متریک و توپولوژیک را بنیان گذاشتند و بدین‌ترتیب زبان ریاضیات نوین شکل گرفت.
۷. دوران معاصر:
آنالیز در خدمت علم نو
       امروزه، آنالیز ریاضی زبان مشترک فیزیک نظری، علوم رایانه، اقتصاد و نظریهٔ اطلاعات است.
شاخه‌هایی چون آنالیز فوریهٔ مجرد، آنالیز روی گروه‌ها، آنالیز غیرخطی و نظریهٔ عملگرها در مرکز پژوهش‌های ریاضی مدرن قرار دارند.

۲) تاریخچهٔ جبر در ریاضیات

         جبر، یکی از کهن‌ترین و بنیادی‌ترین شاخه‌های ریاضی است که نقش اساسی در شکل‌گیری تفکر منطقی و استدلالی بشر داشته است. واژهٔ «جبر» ریشه‌ای عربی دارد و از عنوان کتاب معروف الخوارزمی، ریاضی‌دان بزرگ ایرانی، به نام
«الکتاب المختصر فی حساب الجبر و المقابله»
     گرفته شده است. این کتاب، اساس علم جبر نوین را بنیان گذاشت و سبب شد واژهٔ «Algebra» در زبان‌های اروپایی از آن اقتباس شود.
۱. دوران باستان:
ریشه‌های شهودی جبر
در تمدن‌های باستان، مانند بابِل، مصر و هند، مردم معادلات ساده را با روش‌های عددی و هندسی حل می‌کردند:
۱.بابِلی‌ها (حدود ۱۸۰۰ ق.م) معادلات درجه دوم را با جداول عددی حل می‌کردند.
۲.مصریان در پاپیروس «رایند» روش‌هایی برای یافتن مجهولات با استفاده از «فرض و امتحان» داشتند.
۳.هندیان، به‌ویژه ریاضی‌دانانی چون آریابهاتا و براهمه‌گوپته، روش‌های نمادین ابتدایی را برای حل معادلات به کار بردند و حتی از صفر و اعداد منفی سخن گفتند.
۲. دوران طلایی اسلام:
تولد جبر به‌صورت نظام‌مند
در قرون ۸ تا ۱۲ میلادی، در عصر شکوفایی علمی جهان اسلام، محمد بن موسی خوارزمی (قرن ۳ هجری) علم جبر را به‌صورت مستقل بنیان نهاد.
در کتابش، او روش‌های کلی برای حل معادلات درجهٔ اول و دوم را ارائه کرد.
     دو مفهوم کلیدی در عنوان کتاب او چنین‌اند:
۱.الجبر: انتقال مقادیر منفی به سمت دیگر معادله.
۲.المقابله: ساده‌سازی معادله با حذف حدود متشابه.
     آثار خوارزمی به لاتینی ترجمه شد و تا قرن‌ها در اروپا منبع اصلی آموزش ریاضی بود. از همین جا، واژه‌های" جبر" و " الگوریتم"  وارد واژه های ریاضی شد.
۳. دوران رنسانس اروپا:
نمادگذاری و گسترش جبر
      در قرن‌های ۱۵ و ۱۶ میلادی، ریاضی‌دانان اروپایی مانند:
۱.فرانسوا وییت ، که حروف را برای نمایش مجهولات و داده‌ها به‌کار گرفت .
۲.کاردانو ،  معادلات درجهٔ سوم را حل کرد.
۳.تارتالیا و فرّاری، روش‌های عمومی برای معادلات درجهٔ سوم و چهارم یافتند.
      در این دوره، جبر از حالت لفظی به شکل نمادین و نظام‌مند درآمد.
۴. قرن هفدهم:
ظهور مختصات و جبر تحلیلی
      با کارهای دکارت و فرما ، دستگاه مختصات ابداع شد. بدین ترتیب، ارتباط میان جبر و هندسه برقرار گردید و « آنالیز جبری »  و «هندسه جبری» پدید آمد.
۵. قرن نوزدهم:
جبر مجرد و ساختارهای نو
در قرن نوزدهم، جبر وارد مرحله‌ای عمیق‌تر شد و از حل معادلات فراتر رفت:
۱.گالوا ، مفهوم گروه را برای بررسی ساختار ریشه‌های معادلات معرفی کرد.
۲.مفاهیم حلقه، میدان و بردار شکل گرفتند.
این دوره را می‌توان تولد جبر مجرد دانست.
۶. قرن بیستم تا امروز:
گسترش و کاربردهای نوین
       در قرن بیستم، جبر به شاخه‌های گوناگونی تقسیم شد، از جمله:
۱.جبر خطی (در فیزیک و رایانه)
۲.نظریهٔ گروه‌ها (در فیزیک کوانتوم و شیمی)
۳.جبر بولی (در منطق و مدارهای دیجیتال)
۴.جبرهای باناخ و* C- جبرها(در آنالیز تابعی)
     امروزه جبر در قلب علوم ریاضی، فیزیک نظری، علوم رایانه، رمزنگاری و هوش مصنوعی حضور دارد.

۳) تاریخچهٔ هندسه

      هندسه، واژه‌ای یونانی به معنی «سنجش زمین»، یکی از کهن‌ترین شاخه‌های ریاضیات است که از نیازهای عملی بشر، همچون اندازه‌گیری زمین، ساخت بناها و رصد آسمان‌ها پدید آمده است. در حقیقت ، واژهٔ geometry کلمه‌ای یونانی‌ست به‌معنای «سنجش زمین». هندسه، برابر عربی آن، معرب «اندازه»یِ فارسی‌ست
تاریخچه‌ی هندسه را می‌توان در چند دوره بررسی کرد:
۱. دوران باستان و پیدایش هندسه
      نخستین کاربردهای هندسه در تمدن‌های مصر، بابل و هند دیده می‌شود:
الف) در مصر باستان، برای تعیین مرز زمین‌های کشاورزی پس از طغیان رود نیل، مردم به اندازه‌گیری زمین‌ها پرداختند. ابزارهایی چون طناب‌های گره‌دار، پایه‌های نخستین هندسه‌ی عملی بودند.
ب) بابلی‌ها قضیه‌ای را که اکنون به نام «قضیهٔ فیثاغورث» شناخته می‌شود، می‌دانستند، هرچند ممکن است فیثاغورث اولین اثبات آن را ارائه کرده باشد.
ج) در هند و چین باستان نیز مفاهیمی چون زاویه، مثلث و دایره در معماری و نجوم کاربرد داشت.
۲. دوران یونان باستان؛
هندسه‌ی نظری
     در این دوران، هندسه از مرحله‌ی تجربی و عملی به مرحله‌ی منطقی و برهانی رسید:
الف) تالس ملطی (قرن ۶ ق.م) نخستین کسی بود که قضایای هندسی را اثبات کرد.
ب) فیثاغورث (۵۶۹–۴۹۵ ق.م) قضیه‌ی معروف خود را درباره‌ی مثلث قائم‌الزاویه بیان نمود.
ج) افلاطون هندسه را علمی روحانی و پایه‌ی فلسفه می‌دانست و گفته است:
«کسی که هندسه نمی‌داند، وارد آکادمی من نشود.»
د) اقلیـدس (حدود ۳۰۰ ق.م) با تألیف کتاب عناصر، هندسه را به‌صورت منظم و استدلالی درآورد. این کتاب تا قرن نوزدهم میلادی، مهم‌ترین منبع آموزش هندسه در جهان بود.
ه) ارشمیدس و اپولونیوس نیز در زمینه‌ی مساحت‌ها، حجم‌ها و مقاطع مخروطی پیشرفت‌های بزرگی به‌دست آوردند.
۳. دوران اسلامی
(قرون ۸ تا ۱۴ میلادی)
       در عصر شکوفایی علم در تمدن اسلامی، هندسه گسترش چشمگیری یافت:
الف) اندیشمندانی چون خوارزمی، ابوالوفا بوزجانی، عمر خیام، ثابت بن قره و ابن هیثم از بزرگان این دوره‌اند.
ب) عمر خیام مسئله‌ی حل معادلات درجه‌ی سوم را با بهره‌گیری از مقاطع مخروطی بررسی کرد.
ج) ابن هیثم در کتاب المناظر، هندسه‌ی نور و دید را بنیان نهاد.
د) آثار یونانیان، مانند عناصر اقلیـدس و مجسطی بطلمیوس، در این دوران ترجمه، شرح و گسترش یافتند.
۴. دوران رنسانس و پیدایش هندسهٔ تحلیلی
(قرون ۱۶ و ۱۷ میلادی)
الف) با تلاش رنه دکارت و پیر فرما، هندسه با جبر پیوند خورد و هندسهٔ تحلیلی پدید آمد.
ب) در این مرحله، نقطه‌ها با مختصات عددی و معادلات جبری نمایش داده شدند و پلی میان جبر و هندسه ساخته شد.
۵. قرن نوزدهم؛
انقلاب در هندسه
     در این دوران، مفهوم «فضا» دگرگون شد:
الف) گائوس، لوباچفسکی و ریمان هندسه‌های نوینی را مطرح کردند که به‌جای هندسهٔ اقلیدسی، بر اصل‌های متفاوتی استوار بودند. این هندسه‌ها بعدها در نظریهٔ نسبیت عام انیشتین نقش بنیادین یافتند.
ب) بدین‌سان، هندسهٔ نااقلیدسی و هندسهٔ ریمانی پایه‌ی مطالعه‌ی فضاهای خمیده شدند.
۶. دوران نوین
(قرن بیستم تا امروز)
الف) شاخه‌هایی چون هندسهٔ توپولوژیک، هندسهٔ جبری، هندسهٔ دیفرانسیل و هندسهٔ جبری مدرن پدید آمدند.
ب) در فیزیک، هندسه ابزار توصیف فضا ـ زمان، ذرات بنیادی و نظریهٔ ریسمان شد.
ج) در علوم رایانه و گرافیک، هندسهٔ محاسباتی و هندسهٔ فراکتالی کاربردهای گسترده یافتند. 

 

) تاریخچهٔ توپولوژی
      توپولوژی یکی از شاخه‌های بنیادی ریاضیات است که به مطالعهٔ ویژگی‌های فضاها و اشیایی می‌پردازد که در آن‌ها، برخی خواص تحت تأثیر توابع پیوسته حفظ می‌شوند. به‌بیان دیگر، توپولوژی علمی است که مفاهیمی چون پیوستگی، همبندی، حد، مفاهیم تقریب را بدون توجه به اندازه، طول، زاویه یا شکل ظاهری بررسی می‌کند.
تاریخچهٔ این علم را می‌توان در چند دورهٔ مهم بررسی کرد:
۱. ریشه‌های باستانی و قرون وسطی
الف) مفاهیم ابتدایی توپولوژی را می‌توان در آثار هندسه‌دانان باستان مشاهده کرد؛ برای مثال در مطالعهٔ منحنی‌ها، چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از اشکال هندسی که با تغییر اندازه یا چرخش تغییر نمی‌کنند.
ب) اندیشه‌های اولیهٔ توپولوژی در نظریهٔ گراف و بررسی شبکه‌ها نیز پدیدار شدند؛ مانند مسئلهٔ معروف «هفت پل کِنیگسبرگ» که لئونارد اویلر در سال ۱۷۳۶ میلادی مطرح کرد. این مسئله یکی از نخستین نمونه‌های رسمی تفکر توپولوژیک در تاریخ ریاضیات است.
۲. قرن هجدهم و نوزدهم:
تولد مفاهیم توپولوژیک
الف) اویلر با حل مسئلهٔ پل‌های کِنیگسبرگ، پایه‌های نظریهٔ گراف و در نتیجه مفاهیم ابتدایی توپولوژی را بنا نهاد.
ب) ریاضی‌دانانی چون کارل وایرشتراس و دیگران، مفهوم حد و پیوستگی را به‌صورت دقیق تعریف کردند؛ مفاهیمی که زیربنای توسعهٔ توپولوژی به‌شمار می‌روند.
ج) آنری پوانکاره  در اواخر قرن نوزدهم، با معرفی ایده‌های بنیادی دربارهٔ فضاهای چندبعدی و بررسی ویژگی‌های کیفی آن‌ها، توپولوژی را از هندسهٔ کلاسیک جدا ساخت. او را به‌حق می‌توان پدر توپولوژی مدرن دانست. پوانکاره مفاهیمی مانند گروه‌های بنیادی و همولوژی را برای مطالعهٔ ساختارهای پیچیدهٔ فضاها ابداع کرد.
۳. اوایل قرن بیستم:
شکل‌گیری توپولوژی مدرن
الف) در این دوران، شاخهٔ توپولوژی عمومی شکل گرفت. ریاضی‌دانانی چون فرانسیس بورل، فلیکس هاسدورف و هیلموت هان با تعریف دقیق مفاهیمی مانند «مجموعهٔ باز و بسته»، «همگرایی» و «فضاهای توپولوژیک»، بنیان توپولوژی مدرن را پی‌ریزی کردند.
ب) شاخهٔ توپولوژی هندسی به بررسی اشکال و فضاهای چندبعدی پرداخت، از جمله مطالعهٔ انواع سطوح، توپ‌ها، گره‌ها و منیفلدها.
ج) در توپولوژی جبری ، مفاهیم جبری برای تحلیل ویژگی‌های توپولوژیک فضاها به‌کار رفت؛ از جمله گروه‌های همولوژی و کوهمولوژی که ابزارهایی بنیادی در این زمینه شدند.
۴. نیمهٔ دوم قرن بیستم تا امروز
الف) توپولوژی به‌سرعت گسترش یافت و کاربردهای گسترده‌ای در ریاضیات محض، فیزیک نظری، علوم کامپیوتر و تحلیل شبکه‌ها پیدا کرد.
ب) شاخه‌هایی مانند توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری محاسباتی و توپولوژی مؤلفه‌ها توسعه یافتند.
ج) مفاهیم توپولوژی در نظریه‌های مدرن فیزیک، مانند نظریه ریسمان‌ها و فیزیک حالت‌های کوانتومی ماده، نقش اساسی یافتند و ارتباط میان توپولوژی و جهان فیزیکی را بیش از پیش آشکار کردند.

۵) تاریخچهٔ آنالیز تابعی
    آنالیز تابعی شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه‌ی فضاهای برداری تابعی و عملگرهای خطی روی آن‌ها می‌پردازد. این شاخه، هم در ریاضیات محض و هم در علوم کاربردی ، به‌ویژه در مکانیک کوانتومی و نظریه‌ی میدان‌ها ، نقشی بنیادین دارد.
تاریخچه‌ی آنالیز تابعی را می‌توان در چند مرحله بررسی کرد:
۱. ریشه‌ها و پیش‌زمینه‌ها
ریشه‌های این شاخه به قرن نوزدهم و بررسی فضاهای بی‌نهایت‌بعدی بازمی‌گردد:
۱. کارل وایرشتراس با تحلیل دقیق همگرایی سری‌ها و توابع، بنیان دقیق در آنالیز را استوار کرد.
۲. برنارد ریمان با معرفی مفهوم انتگرال و بررسی توابع مختلط، دیدگاه تازه‌ای به تحلیل ریاضی افزود.
۳. بررسی مقادیر ویژه و توابع ویژه در معادلات دیفرانسیل، پایه‌ی بسیاری از مفاهیم بعدی در نظریه‌ی عملگرها شد.
۲. ظهور فضاهای تابعی و نظریه‌ی هیلبرت
الف) دیوید هیلبرت نخستین کسی بود که مفهوم فضاهای بی‌نهایت‌بعدی مجهز به ضرب داخلی را مطرح کرد؛ این فضاها بعدها به نام او، فضای هیلبرت نامیده شدند.
ب) نظریه‌ی او به مطالعه‌ی توابع مربعی‌انتگرال‌پذیر و عملگرهای خطی محدود و نامحدود انجامید که پایه‌ی مکانیک کوانتومی ریاضی را تشکیل داد.
۳. توسعه در دهه‌های ۱۹۲۰ و ۱۹۳۰
الف) استفان باناخ با تعریف فضای نرمدار کامل و نگارش کتاب مشهور خود «نظریه‌ی اعمال خطی»
را منتشر کرد. او بنیان‌گذار نظریه‌ی مدرن آنالیز تابعی شد.
ب) در همین دوران مفاهیم بنیادی مانند عملگرهای خطی پیوسته، فضای دوگان، و همگرایی ضعیف و قوی معرفی شدند.
۴. رشد و کاربردهای مدرن
الف) جان فون نویمان و دیگران مانند فریدریش ریسز، مفاهیم عملگرهای خودالحاقی و تجزیه‌ی طیفی را بسط دادند و ارتباط میان فضاهای هیلبرت و مکانیک کوانتومی را روشن کردند.
ب) آنالیز تابعی به‌عنوان ابزاری برای حل معادلات انتگرالی و دیفرانسیل جزئی جایگاه ویژه‌ای یافت.
ج) فضاهای هیلبرت، باناخ، Lᵖ و سوبولف به ابزارهای اصلی پژوهش در ریاضیات و فیزیک نظری تبدیل شدند.
        در دوران معاصر، آنالیز تابعی زیربنای بسیاری از شاخه‌های ریاضی و علوم کاربردی است، از جمله:
الف) مکانیک کوانتومی و مکانیک آماری
ب) نظریه‌ی میدان‌ها و معادلات دیفرانسیل جزئی
ج) تحلیل عددی، بهینه‌سازی و یادگیری ماشین
د) نظریه‌ی احتمال و فرآیندهای تصادفی

۶) تاریخچهٔ هندسهٔ منیفلد

     هندسهٔ منیفلد شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعهٔ فضاهای خمیده و ساختارهای توپولوژیکی آن‌ها می‌پردازد. این شاخه، تکامل طبیعی هندسه‌های کلاسیک، مانند هندسهٔ اقلیدسی و لاگرانژی، و توپولوژی است و به ویژه در فیزیک نظری، هندسهٔ دیفرانسیل، نسبیت عام و نظریهٔ ریسمان کاربرد دارد. تاریخچهٔ هندسهٔ منیفلد را می‌توان به چند دوره تقسیم کرد:
۱. ریشه‌های اولیه:
هندسهٔ منحنی‌ها و سطوح
      در قرن هجدهم و اوایل قرن نوزدهم، ریاضی‌دانانی مانند لئونارد اویلر و کارل فریدریش گاوس مطالعات اولیه‌ای روی منحنی‌ها و سطوح خمیده انجام دادند.
گاوس با انتشار کتاب «مطالعات کلی دربارهٔ سطوح خمیده»، مفهوم انحنای گاوسی را معرفی کرد و پایه‌های هندسهٔ دیفرانسیل مدرن را بنیان نهاد.
۲. توسعهٔ هندسهٔ دیفرانسیل
     در میان قرن نوزدهم، ریاضی‌دانانی همچون برنهارد ریمان و سوفوس لی مفهوم منیفلد را ارائه کردند. ریمان در سخنرانی مشهور خود، ایدهٔ منیفلد n-بعدی را مطرح کرد و نشان داد که می‌توان هندسه را در ابعاد بالاتر از سه بعد مطالعه کرد. این دوره، آغاز مطالعهٔ فضاهای خمیده و منحنی‌های چندبعدی بود که بعدها پایهٔ نظریهٔ نسبیت عام شد.
۳. تلفیق با توپولوژی
     اوایل قرن بیستم، با رشد توپولوژی نقطه‌محور و توپولوژی جبری، منیفلدها به عنوان اشیاء توپولوژیکی نیز مورد بررسی قرار گرفتند. ریاضی‌دانانی مانند هنری پوانکاره مفاهیمی چون همبندی و گروه همبندی را وارد هندسهٔ منیفلد کردند. این رویکرد موجب شد که خصوصیات کلان‌ساختاری منیفلدها، مستقل از متریک و طول‌ها، بررسی شود.
۴. هندسهٔ منیفلد مدرن و کاربردهای آن
     از میانهٔ تا اواخر قرن بیستم، ترکیب هندسهٔ دیفرانسیل و توپولوژی جبری، شاخهٔ مدرن هندسهٔ منیفلد را شکل داد.
مباحث مهم شامل:
الف)منیفلدهای ریمانی و شبه‌ریمانی
ب)منیفلدهای پیچیده و هولومورفیک
ج)منیفلدهای سیمپلکس و همولوژی
د)منیفلدهای کالابی–یائو و کاربرد آن‌ها در فیزیک نظری
      هندسهٔ منیفلد پایهٔ بسیاری از نظریه‌های فیزیکی است، به ویژه نسبیت عام، نظریهٔ ریسمان و گرانش کوانتومی.
۵. چهره‌های کلیدی
الف)لئونارد اویلر: مطالعهٔ منحنی‌ها و سطوح خمیده
ب)کارل گاوس: انحنای گاوسی و هندسهٔ دیفرانسیل سطوح
ج)برنهارد ریمان: معرفی منیفلدهای n-بعدی
د)هنری پوانکاره: تلفیق توپولوژی و هندسهٔ منیفلد
ه)الیاس کریستوفل و شوارزچیلد: کاربرد هندسهٔ منیفلد در نسبیت عام

۷) تاریخچه‌ی جبر باناخ

۱. پیدایش مفهوم جبر باناخ
       جبر باناخ یکی از بنیادی‌ترین ساختارها در آنالیز تابعی است که میان جبر، توپولوژی و آنالیز پیوند برقرار می‌کند. این مفهوم در دهه‌ی ۱۹۳۰ میلادی، در دوران شکوفایی آنالیز تابعی، پدید آمد. ایده‌ی اصلی آن از کارهای استفان باناخ، پایه‌گذار نظریه‌ی فضاهای باناخ، سرچشمه می‌گیرد. او در کتاب معروف خود «نظریهٔ عملگرهای خطی» بنیان فضاهای نرم‌دار کامل را بنا نهاد.
      اما ساختار «جبرهای باناخ» به‌طور رسمی اندکی بعد، توسط شاگردان و پیروان باناخ، به‌ویژه نوربرت وینر و میخائیل گلفاند، شکل دقیق‌تری یافت.
      به‌طور خلاصه، یک جبر باناخ، جبری است روی میدان مختلط (یا حقیقی) که به‌طور هم‌زمان:
۱. یک فضای باناخ است (یعنی فضایی نرم‌دار و کامل)،
۲.  در آن، عمل ضرب پیوسته است.
     نوربرت وینر در سال ۱۹۳۲ میلادی، با بررسی سری‌های فوریه و مفهوم وارون‌پذیری توابع در فضاهای نرم‌دار، گام مهمی در شکل‌گیری این نظریه برداشت. او نشان داد که اگر تابعی روی دایره‌ی واحد دارای سری فوریه‌ی همگرا باشد و هیچ نقطه‌ی ناپیوسته‌ای نداشته باشد، آنگاه وارون آن نیز چنین ویژگی‌ای دارد. این نتیجه بعدها به‌عنوان قضیه‌ی وارون وینر در نظریه‌ی جبرهای باناخ شناخته شد.
     در دهه‌ی ۱۹۴۰ میلادی، میخائیل گلفاند ساختار نظری منسجمی برای جبرهای باناخ ایجاد کرد. او مفهوم طیف و هم‌ریختی گلفاند را معرفی نمود و نشان داد که هر جبر باناخ جابجایی را می‌توان توسط جبر توابع پیوسته بر روی فضای مشخصه‌اش نمایش داد. این دیدگاه که به نام نظریه‌ی نمایش گلفاند معروف است، افق‌های تازه‌ای در آنالیزجبرهای تابعی و نظریه‌ی عملگرها گشود.
      مطالعه‌ی جبرهای باناخ غیرجابجایی و *C-جبرها از دهه‌ی ۱۹۵۰ آغاز شد. این زمینه بعدها به پیدایش ساختارهای عمیق‌تری مانند*C -جبرهای غیرجابجایی و جبرهای فون‌نیومن انجامید که پایه‌ی ریاضی مکانیک کوانتومی مدرن را تشکیل می‌دهند.
      کاربردهای جبر باناخ گسترده‌اند و شامل حوزه‌های زیر می‌شوند:
۱. آنالیز هارمونیک مجرد (آنالیز روی گروه‌ها و تبدیل فوریه)،
۲. نظریه‌ی عملگرها،
۳. فیزیک کوانتومی،
۴. نظریه‌ی کنترل و سیستم‌ها،
۵.  حتی در ریاضیات محض، برای بررسی ساختارهای جبری و توپولوژیکی فضاها.

۸) تاریخچه‌ی جبر لی

      جبر لی ریشه در مطالعات سوفوس لی دارد و ارتباط مستقیم با گروه‌های لی و تقارن‌ها در ریاضیات و فیزیک برقرار می‌کند. در ادامه، به‌صورت مرحله‌به‌مرحله تاریخچه‌ی آن را مرور می‌کنیم.
۱. پیدایش مفهوم گروه‌های لی
الف) در اواخر قرن هجدهم و اوایل قرن نوزدهم، ریاضیدانانی چون کارل فریدریش گاوس، لژاندر و لاگرانژ به بررسی معادلات دیفرانسیل و تقارن‌های آن‌ها پرداختند.
ب) این مطالعات نشان داد که بسیاری از معادلات دیفرانسیل دارای تقارن‌های پیوسته هستند، اما ساختار جبری این تقارن‌ها هنوز ناشناخته بود.
۲. بنیان‌گذاری گروه‌های لی
الف) در سال ۱۸۷۰ میلادی، سوفوس لی، ریاضیدان نروژی، برای نخستین‌بار گروه‌های لی را معرفی کرد.
ب) هدف لی آن بود که روش‌های گروه‌های متناهی را به تقارن‌های پیوسته‌ی معادلات دیفرانسیل تعمیم دهد.
ج) او نشان داد که تقارن‌های معادلات دیفرانسیل را می‌توان به‌صورت گروه‌های لی مدل‌سازی کرد و این گروه‌ها از ساختاری بسیار منظم برخوردارند.
۳. پیدایش جبر لی
الف) پس از معرفی گروه‌های لی، نیاز به مطالعه‌ی ساختار موضعی  این گروه‌ها مطرح شد.
ب) لی نشان داد که با بررسی مشتق‌ها و مقادیر بی‌نهایت کوچک در نزدیکی عنصر واحد گروه می‌توان ساختاری جبری به نام جبر لی ایجاد کرد.
ج)برای هر گروه لی، مجموعه تمام میدان های برداری چپ- پایا روی آن تشکیل یک جبر لی می دهند.
د) جبر لی یک فضای برداری روی  میدان اعداد حقیقی( یا اعداد مختلط ) است که به یک عمل دوتایی مجهز است. این عمل دوتایی دارای  خواص ضد تقارن است بطوری که قانون ژاکوبی در آن برقرار  است.
۴. توسعه در قرن بیستم
الف) در آغاز قرن بیستم، جبر لی به‌ویژه در فیزیک نظری (مانند مکانیک کوانتومی، نظریه‌ی نسبیت و نظریه‌ی گِیج) اهمیت فراوانی یافت.
ب) ریاضیدانان بزرگی همچون هیلبرت، فان در وِاردن و وِیل در تعمیم و طبقه‌بندی جبرهای لی نقش اساسی داشتند.
ج) مهم‌ترین دستاورد این دوره، طبقه‌بندی جبرهای لی نیم ساده و ساده بود که توسط" الی کارتان" ارائه گردید.
۵. کاربردهای مدرن
امروزه جبر لی در شاخه‌های گوناگون دانش نقشی بنیادی دارد:
الف) فیزیک ذرات و نظریه‌ی میدان‌ها: توصیف تقارن‌ها و گروه‌های گِیج
ب) ریاضیات محض: توپولوژی، هندسه‌ی دیفرانسیل و نظریه‌ی نمایش
ج) مهندسی و علوم کامپیوتر: تحلیل سیستم‌های دینامیکی و کنترل
به‌طور خلاصه،
جبر لی از مطالعه‌ی گروه‌های لی و تقارن‌های معادلات دیفرانسیل پدید آمد و از بررسی رفتار موضعی عناصر نزدیک به واحد گروه شکل گرفت. این نظریه ابتدا توسط سوفوس لی بنیان نهاده شد و در قرن بیستم توسط ریاضیدانان بزرگی همچون کارتان، وِیل و هیلبرت گسترش یافت. امروزه جبر لی، ابزاری بنیادی در فهم ساختارهای ریاضی و فیزیکی جهان به‌شمار می‌رود.

۹) تاریخچه‌ی نظریه‌ی گروه‌ها

      نظریه‌ی گروه‌ها یکی از شاخه‌های بنیادین و زیربنایی ریاضیات است که نقش مهمی در جبر، هندسه، نظریه‌ی اعداد و حتی فیزیک نظری دارد. این نظریه در طول بیش از دو قرن، از بررسی ساده‌ی حل معادلات چندجمله‌ای تا ساختارهای مجرد و بسیار پیشرفته گسترش یافته است. در ادامه، به‌صورت تاریخی و مرحله‌به‌مرحله، سیر تکامل این نظریه مرور می‌شود:
۱. ریشه‌های اولیه
الف) آغاز نظریه‌ی گروه‌ها به بررسی حل معادلات چندجمله‌ای بازمی‌گردد.
ب) ژوزف-لوئی لاگرانژ در سال ۱۷۷۰ میلادی، نخستین‌بار رفتار جایگشت‌های ریشه‌های معادلات چندجمله‌ای را مطالعه کرد. او دریافت که با بررسی جایگشت‌های ریشه‌ها، می‌توان اطلاعات مهمی درباره‌ی حل‌پذیری معادله به دست آورد.
ج) در آن زمان هنوز واژه‌ی «گروه» به‌کار نمی‌رفت، اما مفاهیم پایه‌ای آن ـ مانند ترکیب جایگشت‌ها ـ مطرح شده بود.
۲. گالوا و پیدایش مفهوم گروه
الف) اِوارِست گالوا، ریاضی‌دان نابغه‌ی فرانسوی، در دهه‌ی ۱۸۳۰ میلادی مفهوم مدرن «گروه» را برای نخستین بار تعریف کرد.
ب) او نشان داد که برای بررسی حل‌پذیری معادلات چندجمله‌ای به کمک رادیکال‌ها، می‌توان از ساختار جایگشت‌های ریشه‌ها استفاده کرد.
ج) گالوا با بررسی مجموعه‌ای از جایگشت‌ها که تحت عمل ترکیب بسته‌اند، مفهوم «گروه گالوا» را بنیان نهاد.
د) با مرگ زودهنگام او (در ۲۱ سالگی)، کارهایش تا مدتی ناشناخته ماند، اما بعدها توسط ژوزف لیوویل منتشر و مورد توجه قرار گرفت.
ه) به پاس خدمات ارزشمند او، نظریه‌ی مهمی در جبر به نام نظریه‌ی گالوا شکل گرفت.
۳. ساختارهای گروهی
الف) در میانه‌ی قرن نوزدهم، ریاضیدانانی چون آرتور کیلی، کامیل ژوردن و لودویگ سیلو مفاهیم گروه را به‌صورت رسمی‌تر مطرح کردند.
ب) کیلی در سال ۱۸۵۴ تعریف مجرد و عمومی گروه را چنین ارائه داد:
«هر مجموعه‌ای از عناصر با یک عمل دوتایی که دارای ویژگی‌های بسته بودن، وجود عضو همانی، وجود عنصر وارون و شرکت‌پذیری باشد، یک گروه است.»
ج) از این زمان به بعد، گروه‌ها دیگر تنها جایگشت نبودند، بلکه به‌عنوان ساختارهایی مجرد در جبر شناخته شدند.
۴. گسترش نظریه‌ی گروه‌ها به جبر و هندسه
نظریه‌ی گروه‌ها به سرعت در حوزه‌های دیگر ریاضیات نفوذ یافت:
الف) در هندسه، گروه‌های تبدیل برای مطالعه‌ی تقارن‌ها به‌کار رفتند.
ب) در جبر خطی، گروه‌های ماتریسی (مانند گروه خطی عمومی) معرفی شدند.
ج) در نظریه‌ی اعداد، گروه‌های ضربی و جمعی مورد بررسی قرار گرفتند.
فلیکس کلاین در سال ۱۸۷۲ با برنامه‌ی ارلانگن، هندسه را بر پایه‌ی گروه‌های تبدیل بازتعریف کرد. این برنامه نقطه‌ی عطفی در پیوند میان جبر و هندسه به‌شمار می‌آید.

. پیدایش گروه‌های لی
در اواخر قرن نوزدهم، سوفوس لی، ریاضی‌دان نروژی، برای مطالعه‌ی تقارن‌های پیوسته در معادلات دیفرانسیل، نظریه‌ی گروه‌های لی را بنیان نهاد.
او نشان داد که گروه‌های لی و جبرهای لی ابزارهایی بنیادی در آنالیز ریاضی و فیزیک نظری هستند.
۶. تعمیم، طبقه‌بندی و کاربردها
در قرن بیستم، نظریه‌ی گروه‌ها به یکی از ارکان اصلی ریاضیات مدرن تبدیل شد. شاخه‌های مهم آن عبارت‌اند از:
الف) نظریه‌ی گروه‌های متناهی و طبقه‌بندی آن‌ها (که در نیمه‌ی دوم قرن بیستم، طبقه‌بندی کامل گروه‌های ساده‌ی متناهی حاصل شد).
ب) گروه‌های توپولوژیکی و گروه‌های جبری.
ج) نظریه‌ی نمایش گروه‌ها که پلی میان جبر و فیزیک کوانتومی ایجاد کرد.
د) در فیزیک، نظریه‌ی گروه‌ها اساس توضیح تقارن‌های بنیادی در نظریه‌ی میدان‌های کوانتومی، نسبیت خاص و نظریه‌ی ذرات بنیادی است.
۷. دوران معاصر
امروزه نظریه‌ی گروه‌ها در شاخه‌های گوناگون ریاضیات و فیزیک حضوری پررنگ دارد:
الف) در آنالیز هارمونیک مجرد، گروه‌های توپولوژیکی موضعاً فشرده و جبرهای باناخ مطالعه می‌شوند.
ب) در ریاضیات کاربردی و رمزنگاری، از گروه‌ها برای طراحی الگوریتم‌ها و امنیت داده‌ها استفاده می‌شود.
ج) در ریاضیات محض، نظریه‌ی گروه‌ها با نظریه‌ی رده‌ها و توپولوژی جبری پیوند خورده است.
جمع‌بندی
از لاگرانژ تا گالوا، از کیلی تا سوفوس لی، نظریه‌ی گروه‌ها مسیر درخشانی را پیموده است.
آنچه با بررسی ساده‌ی جایگشت ریشه‌ها آغاز شد، امروزه به زبانی جهانی برای بیان تقارن، ساختار و نظم در ریاضیات و طبیعت تبدیل شده است.

۱۰) تاریخچه‌ی نظریه‌ی اعداد

      نظریه‌ی اعداد یکی از کهن‌ترین و بنیادی‌ترین شاخه‌های ریاضیات است. این شاخه به مطالعه‌ی خواص اعداد صحیح و روابط میان آن‌ها می‌پردازد. ریشه‌های این علم به اعماق تاریخ ریاضیات بازمی‌گردد و مسیر تکامل آن، از دوران باستان تا روزگار مدرن، سرشار از اکتشافات ژرف و اندیشه‌های درخشان است.
۱. دوران باستان
      نخستین نشانه‌های علاقه به اعداد را می‌توان در تمدن‌های باستانی یافت:
الف) در میان بابلی‌ها و مصریان، حدود ۲۰۰۰ سال پیش از میلاد، حل معادلات عددی و کشف اعداد فیثاغورثی رواج داشت.
ب) در یونان باستان، مکتب فیثاغورث اعداد را اساس همه‌چیز می‌دانست. فیثاغورثیان نخستین کسانی بودند که به خواص اعداد، مانند زوج و فرد، کامل، اول و مرکب، توجه کردند.
ج) ارشمیدس و اوکلید در آثار خود، از جمله در کتاب «عناصر»، نتایج بنیادی در نظریه‌ی اعداد ارائه کردند. برهان کلاسیک اوکلید درباره‌ی بی‌پایان بودن اعداد اول، هنوز هم از زیباترین اثبات‌های تاریخ ریاضیات به شمار می‌رود.
۲. دوران اسلامی
      در قرون میانه، ریاضیات در تمدن اسلامی شکوفا شد و نظریه‌ی اعداد نیز رشد چشمگیری یافت:
الف) محمد بن موسی خوارزمی در قرن نهم میلادی، مفاهیم جبر و عدد را به‌صورت منسجم تدوین کرد.
ب) ابوالوفا بوزجانی و عمر خیام به بررسی معادلات عددی پرداختند.
ج) ابن‌سینا و خواجه نصیرالدین طوسی نیز مباحث فلسفی و ریاضی پیرامون عدد را گسترش دادند.
در این دوران، توجه به تمامیت اعداد و تناسب‌ها، زمینه‌ساز رشد بعدی نظریه‌ی اعداد در اروپا شد.
۳. دوران رنسانس
      پس از نهضت ترجمه‌ی آثار عربی و یونانی در اروپا، نظریه‌ی اعداد بار دیگر رونق گرفت:
الف) فرما در قرن هفدهم، نظریه‌ی اعداد را به شاخه‌ای مستقل از ریاضیات تبدیل کرد و مسائل عمیقی چون قضیه‌ی آخر فرما را مطرح ساخت، که حل آن تا قرن بیستم به درازا کشید.
ب) دکارت و پاسکال نیز در بررسی معادلات عددی و هندسی گام‌های مهمی برداشتند.
۴. تولد نظریه‌ی مدرن اعداد
الف) اویلر، نابغه‌ی سوئیسی، بسیاری از ایده‌های فرما را اثبات کرد و مفاهیم تازه‌ای چون تابع اویلر و روابط همنهشتی را بنیان نهاد.
ب) لاگرانژ و گاوس نیز این مسیر را ادامه دادند.
گاوس با انتشار کتاب «پژوهش‌هایی در نظریه‌ی اعداد» در سال ۱۸۰۱ میلادی، پایه‌های نظریه‌ی اعداد مدرن را استوار ساخت. او مفاهیم همنهشتی، باقیمانده‌ها، و قانون متقابل مربعات را بسط داد.
۵. گسترش ساختارها
      در قرن نوزدهم، نظریه‌ی اعداد با جبر مجرد و آنالیز ریاضی پیوند خورد:
الف) دیریکله قضیه‌ی معروف خود را درباره‌ی وجود بی‌پایان اعداد اول در دنباله‌های حسابی ثابت کرد.
ب) ددمیند، کرونکر و کانتور مفهوم اعداد جبری و اصم را بسط دادند.
ج) ریمان در ۱۸۵۹ میلادی، در مقاله‌ی مشهور خود درباره‌ی تابع زتای ریمان، پیوندی ژرف میان نظریه‌ی اعداد و آنالیز مختلط برقرار کرد. حدس ریمان هنوز از مسائل گشوده‌ی بزرگ ریاضیات است.
د) هیلبرت نظریه‌ی اعداد را در برنامه‌ی معروف پژوهشی خود در صدر اولویت‌ها قرار داد.
        در قرن بیستم، شاخه‌هایی چون نظریه‌ی اعداد جبری، تحلیلی، همنهشتی و محاسباتی پدید آمدند. در سال ۱۹۹۴، اندرو وایلز با اثبات قضیه‌ی آخر فرما، یکی از کهن‌ترین معماهای تاریخ ریاضیات را حل کرد.
       امروزه نظریه‌ی اعداد در رمزنگاری، علوم کامپیوتر، و فیزیک نظری نیز نقشی بنیادی و کاربردی دارد.

۱۱) تاریخچهٔ جبر خطی

      جبر خطی یکی از شاخه‌های بنیادی و پرکاربرد ریاضیات است که به مطالعه‌ی فضاهای برداری، ماتریس‌ها، تبدیلات خطی و دترمینان‌ها می‌پردازد. این شاخه نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، مهندسی، اقتصاد، علوم رایانه و آمار نیز کاربرد فراوان دارد. سیر تاریخی آن از دوران باستان تا عصر رایانه، تدریجی و پیوسته بوده است.
۱. دوران باستان
الف) در حدود ۱۸۰۰ سال پیش از میلاد، در چین باستان، در کتاب «چوپئی سوان‌چینگ» ، مسائلی شبیه به دستگاه‌های معادلات خطی آمده است که با روشی مشابه حذف گاوسی حل می‌شد.
ب) در مصر و بابل نیز مسائلی از نوع معادلات خطی در متون ریاضی کشف شده است، هرچند مفهوم جبر به‌صورت مدرن در آن دوران وجود نداشت.
۲. دوران اسلامی
الف) در قرن نهم میلادی، محمد بن موسی خوارزمی در کتاب معروف خود «الجبر و المقابله»، مفاهیم ابتدایی جبر را پایه‌گذاری کرد و روش‌هایی برای حل معادلات خطی و درجه دوم ارائه داد.
ب) عمر خیام نیشابوری، با تحلیل هندسی معادلات و طبقه‌بندی آن‌ها، گامی دیگر در جهت درک ساختار جبری برداشت.
ج) ریاضی‌دانان اسلامی مفاهیم اولیه‌ی دترمینان‌ها را در حل دستگاه‌های چندمعادله‌ای مطرح کردند.
۳. دوران رنسانس
الف) در قرن شانزدهم میلادی، ریاضی‌دانان اروپایی مانند ژرولامو کاردانو و فرانسوا وییت روش‌های نمادین و نشانه‌ای جبر را توسعه دادند.
ب ) در قرن هفدهم، رنه دکارت و پی‌یر دوفرما با ترکیب هندسه و جبر، زمینه‌ی پیدایش هندسه تحلیلی را فراهم کردند که نقش مهمی در شکل‌گیری جبر خطی داشت.
ج) در قرن هجدهم، گابریل کرامر  روش معروف خود را برای حل دستگاه‌های خطی با استفاده از دترمینان‌ها ارائه کرد.
د) ژاکوبی و لاپلاس نیز در گسترش نظریه‌ی دترمینان‌ها سهم بزرگی داشتند.
۴. شکل‌گیری ساختاری جبر خطی
الف) در این قرن، جبر خطی از حالت محاسباتی به صورت نظری و انتزاعی درآمد.
ب) آرتور کیلی و جیمز جوزف سیلوستر   مفاهیم ماتریس و ضرب ماتریسی را معرفی کردند.
ج) کیلی در سال ۱۸۵۸ نخستین بار جبر ماتریس‌ها را تدوین کرد و مفهوم ماتریس معکوس و ماتریس واحد را به‌طور رسمی تعریف نمود.
د) این تحولات باعث شد تا جبر خطی به‌عنوان شاخه‌ای مستقل در ریاضیات شناخته شود.
۵. پیوند با فضاهای برداری و آنالیز تابعی
الف) با کارهای هرمان گراسمن، جوزف لویی لاگرانژ، و سپس هرمان وایْل و داوید هیلبرت، مفهوم فضای برداری و تبدیلات خطی وارد صحنه شد.
ب) نظریه‌ی فضاهای برداری و تبدیلات خطی به‌صورت رسمی در آثار هیلبرت و اشتاینهاوس گسترش یافت.
ج)جبر خطی پایه‌ی اصلی برای توسعه‌ی آنالیز تابعی، مکانیک کوانتومی و نظریه‌ی گروه‌های لی شد.
۶. جبر خطی عددی و کاربردی
الف) با پیشرفت رایانه‌ها و محاسبات عددی، شاخه‌ی جبر خطی عددی پدید آمد که به حل دستگاه‌های بزرگ معادلات، نشان دادن ماتریس ها به حاصلضربی از ماتریس های مقدماتی،  کاربردهای داده‌کاوی و یادگیری ماشین می‌پردازد.
ب) امروزه جبر خطی زبان مشترک علوم داده، هوش مصنوعی و فیزیک نظری است.

۱۲) تاریخچهٔ معادلات دیفرانسیل

      معادلات دیفرانسیل شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعهٔ روابط بین یک تابع و مشتقات آن می‌پردازد. این شاخه نقش بسیار مهمی در فیزیک، مهندسی، اقتصاد و علوم طبیعی دارد، زیرا بسیاری از قوانین طبیعی و پدیده‌ها را می‌توان به صورت معادلات دیفرانسیل بیان کرد. تاریخچهٔ آن را می‌توان به چند دورهٔ مهم تقسیم کرد:
۱. دوران باستان
     در یونان باستان، ریاضیدانانی مانند آرشمیدس و آپولونیوس به مسائلی مشابه با معادلات دیفرانسیل برخورد کردند، ولی آن‌ها را به صورت هندسی و بدون نمادهای مشتق بیان می‌کردند. همچنین ریاضیدانان مسلمان، از جمله ابن هیثم و ابن سینا، در بررسی حرکات و جریان‌ها، ایده‌هایی شبیه به مفاهیم مشتق و معادلهٔ دیفرانسیل اولیه داشتند.
۲. معرفی رسمی معادلات دیفرانسیل
      رنه دکارت، پاسکال و نیوتن در مطالعهٔ حرکت و مکانیک کلاسیک، نیاز به روابطی بین تغییرات کمّی متغیرها و زمان را احساس کردند. همچنین اسحاق نیوتن و گوتهفرید لایبنیتس به طور مستقل مفهوم مشتق و قواعد آن را ایجاد کردند. نیوتن از مشتق برای مدل‌سازی حرکت و نیرو استفاده کرد و اولین معادلات دیفرانسیل حرکت را مطرح نمود.
۳. توسعهٔ روش‌ها و حل معادلات
      برنولی‌ها (برنولی و دنیل برنولی) و اویلر روش‌های تحلیلی برای حل معادلات دیفرانسیل معرفی کردند. اویلر اولین کتاب‌ها را در این زمینه نوشت و روش‌های سری‌ها و تقریب‌های عددی را به کار برد. همچنین لاگرانژ و لامبرت نیز به توسعهٔ حل معادلات خطی و غیرخطی کمک کردند.
۴. نظریهٔ عمومی و معادلات جزئی
      ژوزف فوریه برای مدل‌سازی گرما، معادلات دیفرانسیل جزئی را توسعه داد و روش سری‌های فوریه را معرفی کرد. همچنین کارل گوستاو ژاکوب ژاکوبی و آگوستین لوئی کوشی نظریهٔ معادلات دیفرانسیل را به شکل سیستماتیک تدوین کردند. ریاضیدانان این دوره، مفاهیم موجودیت و یکتایی حل، پایداری و تقریب عددی را توسعه دادند.
۵. گسترش کاربردها و نظریهٔ مدرن
      معادلات دیفرانسیل در فیزیک کوانتوم، نسبیت، مهندسی و اقتصاد کاربرد فراوان یافتند. سری‌های فوریه، لاپلاس و تبدیل‌های مشابه به ابزارهای استاندارد حل معادلات دیفرانسیل تبدیل شدند. همچنین نظریهٔ سیستم‌ها و پایداری، نظریهٔ کنترل و مدل‌سازی پیچیده با استفاده از معادلات دیفرانسیل توسعه یافت.
۶. کاربردهای معاصر
      مدل‌سازی جریان سیال، دینامیک جمعیت، اقتصاد کلان، مهندسی مکانیک و برق، شیمی و زیست‌شناسی همگی به کمک معادلات دیفرانسیل انجام می‌شوند. امروزه، حل عددی با کامپیوتر، تحلیل سیستم‌های غیرخطی و شبیه‌سازی‌های پیچیده، بخش اصلی مطالعات معادلات دیفرانسیل را تشکیل می‌دهند.

۱۳) تاریخچهٔ نیم‌گروه‌ها
       نیم‌گروه‌ها یکی از ساختارهای بنیادی در ریاضی هستند که به مطالعه‌ی عمل‌های دوتایی  روی یک مجموعه غیرتهی که دارای خاصیت شرکت پذیری هست می‌پردازد. مفهوم نیم‌گروه از دل نظریه‌ی گروه‌ها و بررسی ساختارهای جبری ساده‌تر پدید آمد و امروزه در ریاضیات، منطق، نظریه‌ی زبان‌ها و علوم رایانه کاربرد فراوان دارد.
۱. پیدایش اولیه
      ریشه‌ی مفهوم نیم‌گروه به اواخر قرن نوزدهم بازمی‌گردد. در آن دوران، ریاضی‌دانان در تلاش بودند تا ساختارهای جبری را بدون لزوم وجود «عنصر واحد» یا «وارون » بررسی کنند. در حالی که گروه‌ها نیازمند وجود عنصر همانی و وارون هستند، در نیم‌گروه‌ها تنها شرط بسته بودن و شرکت پذیری عمل دوتائی لازم است.
مفهوم کاربردی نیم‌گروه را می‌توان حتی در آثار بول و کیلی در زمینه‌ی جبر های بولی و ترکیب توابع یافت، اما تعریف دقیق و مستقل آن بعدها شکل گرفت.
۲. شکل‌گیری رسمی نیم گروه ها
     واژه‌ی نیم گروه نخستین بار به‌صورت رسمی در دهه‌ی ۱۹۲۰ میلادی به‌کار رفت. دانیل هیلبرت و هاسدورف در بررسی ساختارهای جبری  توپولوژیکی به نمونه‌هایی از نیم‌گروه‌ها برخوردند.
     اما نخستین تعریف مدون از نیم‌گروه به جان فون نویمان و آلفرد تارسکی نسبت داده می‌شود، که در مطالعات خود درباره‌ی «عملگرهای ترکیبی» و «الگوریتم‌های تجزیه پذیر» از ساختارهایی استفاده کردند که در واقع نیم‌گروه بودند.
     در دهه‌ی ۱۹۳۰، ریاضی‌دانان روسی از جمله کلیفورد و پریستون نقش مهمی در بنیان‌گذاری نظریهٔ نیم‌گروه‌ها ایفا کردند. پژوهش‌های آنان بعدها در کتاب مشهور دو جلدی " نظریه جبری نیم گروه ها" منتشر شد که هنوز هم از منابع اصلی در این حوزه است.
۳. گسترش نظری و کاربردی
      در نیمه‌ی دوم قرن بیستم، نیم‌گروه‌ها به‌سرعت در حوزه‌های گوناگون وارد شدند:
الف) در منطق و نظریهٔ اتوماتا: نیم‌گروه‌ها برای توصیف حالت‌ها و تبدیل‌های ماشین‌های متناهی به‌کار رفتند .
ب) در توپولوژی و آنالیز تابعی: مفهوم نیم‌گروه عملگرها توسط فیلیپ و هیل   معرفی شد که پایه‌گذار نظریهٔ مدرن معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است.
ج) در فیزیک و احتمالات: نیم‌گروه‌های تصادفی و عملگرهای مارکوف برای توصیف فرایندهای گذر زمان استفاده شدند.
۴. شاخه‌های مهم در نظریهٔ نیم‌گروه‌ها
الف) نیم‌گروه‌های تجزیه‌پذیر
ب) نیم‌گروه‌های جبری و توپولوژیکی
ج) نیم‌گروه‌های منظم
د)نیم‌گروه‌های خود توان
ه)نیم‌گروه‌های تبدیلات و ماتریس ها
    هر یک از این شاخه‌ها به بررسی نوعی از رفتارهای ترکیبی و ساختاری در عملیات ریاضی می‌پردازد.
۵. وضعیت کنونی
     امروزه نظریهٔ نیم‌گروه‌ها به عنوان شاخه‌ای مستقل از ریاضی شناخته می‌شود و با نظریهٔ گروه‌ها، حلقه‌ها، شبکه‌ها و اتوماتا پیوند دارد. مجلات تخصصی مانند
"Semigroup Forum"
به انتشار پژوهش‌های نوین در این حوزه اختصاص دارد. افزون بر آن، نیم‌گروه‌ها در علوم رایانه نظری، زبان‌شناسی صوری، دینامیک، و مدل‌سازی فرایندهای بیولوژیکی کاربرد یافته‌اند.
     اینجانب در دوره دکتری در خصوص آرنز- منظم پذیری جبرهای اندازه وزنی روی نیم گروه ها مقاله ای در مجله لندن به چاپ رساندم.همچنین دارای چندین مقاله در مجله نیم گروه می باشم.

۱۴) تاریخچهٔ نظریه اندازه

      نظریهٔ اندازه شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعهٔ طول، مساحت، حجم و تعمیم آن‌ها در فضاهای گوناگون می‌پردازد و پایهٔ بسیاری از شاخه‌های آنالیز ریاضی و نظریهٔ احتمال است. این نظریه به طور کلی به تعریف «اندازه» روی مجموعه‌ها و بررسی خواص آن اختصاص دارد.
۱. پیش‌زمینه‌ها
    ریشه‌های نظریهٔ اندازه به قرن نوزدهم بازمی‌گردد، زمانی که ریاضی‌دانان در پی تعاریف دقیق‌تر طول، مساحت و حجم برای مجموعه‌های گوناگون بودند:
الف)برنارد ریمان: او مفهوم انتگرال ریمان را ارائه کرد، که محدود به توابع پیوسته یا توابعی با تعداد محدودی نقطه

 

۱۶) تاریخچهٔ نظریهٔ عملگرها

      نظریهٔ عملگرها یکی از شاخه‌های بنیادی و زیربنایی آنالیز تابعی است که به مطالعهٔ خواص و رفتار عملگرها می‌پردازد؛ یعنی نگاشت‌هایی میان فضاهای برداری و به‌ویژه فضاهای نرمدار و هیلبرت. اگرچه این نظریه در قرن بیستم شکل نظام‌مند به خود گرفت، ریشه‌های آن را باید در کارهای پیشین ریاضی‌دانان در زمینهٔ معادلات دیفرانسیل، انتگرال و سری‌های فوریه جست‌وجو کرد.
۱. ریشه‌های تاریخی
      پیش‌زمینهٔ نظریهٔ عملگرها در کارهای ریاضی‌دانانی مانند:
الف)  ژوزف فوریه ، معرفی مفهوم تبدیل فوریه برای آنالیز پدیده‌های حرارتی.
ب)  فردریش بسل و لاپلاس ، کار بر روی توابع خاص و حل معادلات دیفرانسیل.
ج)  داوید هیلبرت ،بررسی معادلات انتگرالی و مسائل مقادیر ویژه؛ نخستین گام‌های بنیادین در آنالیز عملگرهای خطی بود. هیلبرت فضاهایی را معرفی کرد که بعدها به فضاهای هیلبرت معروف شدند و بستری ریاضی برای کار با دنباله‌ها، توابع و نگاشت‌های خطی فراهم آورد.
۲. پیدایش رسمی نظریه
     در اوایل قرن بیستم، ریاضی‌دانانی چون:
الف) جان فون نویمان نظریهٔ عملگرهای خطی در فضاهای هیلبرت را بسط داد و چارچوب دقیقی برای مطالعهٔ عملگرهای کران‌دار و بی کران را ایجاد کرد. او نقش کلیدی در بنیان‌گذاری نظریهٔ طیفی داشت.
ب) استفان باناخ  در کتاب مشهور خود، «نظریهٔ عملگرهای خطی» نظریهٔ فضاهای باناخ را بنیان نهاد و عملگرهای خطی پیوسته را به‌صورت مجرد بررسی کرد.
به این ترتیب، دو شاخهٔ مکمل شکل گرفت:
۱. نظریهٔ عملگرها در فضاهای باناخ
۲. نظریهٔ عملگرها در فضاهای هیلبرت
۳. گسترش نظریه
     در این دوران، نظریهٔ عملگرها پیوندهای عمیقی با شاخه‌های دیگر ریاضیات و فیزیک پیدا کرد:
الف) نظریهٔ عملگرهای فشرده و نظریهٔ طیفی گسترش یافت.
ب) فون نویمان و موری نظریهٔ جبرهای عملگری را پایه‌گذاری کردند:
ج) جبرهای باناخ  و *C- جبرها که بعداً توسط گارت وارنر، گلمور، گلفاند و نایمارک بسط یافتند.
این ساختارها مقدمه‌ای برای درک دقیق‌تر عملگرها، به‌ویژه در فیزیک کوانتومی و نظریهٔ میدان‌ها شدند.
۴. دوران معاصر
      نیمهٔ دوم قرن بیستم تا امروز، نظریهٔ عملگرها به یکی از فعال‌ترین زمینه‌های تحقیق در آنالیز ریاضی تبدیل شده است. شاخه‌های نوین شامل:
الف) نظریهٔ عملگرهای غیرخود الحاق
ب) نظریهٔ عملگرهای تصادفی و کوانتومی
ج) آنالیز عملگری روی فضاهای توابع تحلیلی
د ) نظریهٔ جبرهای باناخ و *C - جبرها
ه) نظریهٔ عملگرهای غیرخطی
و) کاربرد در نظریهٔ کنترل، مکانیک کوانتومی و یادگیری ماشینی
۵. تأثیرات و کاربردها
     امروزه نظریهٔ عملگرها ابزار اساسی در رشته‌های زیر است:
الف) مکانیک کوانتومی
  عملگرها نمایش‌دهندهٔ کمیت‌های فیزیکی مانند انرژی، تکانه و اسپین هستند.
ب) نظریهٔ احتمال و فرآیندهای تصادفی ، استفاده از عملگرهای انتقال.
ج) مهندسی و آنالیز عددی ، حل عددی معادلات انتگرالی و دیفرانسیل.
د) ریاضیات محض ، شامل نظریهٔ طیف، توپولوژی عملگری و آنالیز هارمونیک مجرد.

۱۷) تاریخچهٔ میدان‌ها در ریاضیات
       مفهوم میدان یکی از بنیادی‌ترین و پرکاربردترین ساختارهای جبری در ریاضیات مدرن است. میدان‌ها پایهٔ بسیاری از شاخه‌های ریاضیات مانند جبر، نظریهٔ اعداد، هندسهٔ جبری و آنالیز را تشکیل می‌دهند. تاریخچهٔ توسعهٔ این مفهوم را می‌توان در چند مرحلهٔ مهم بررسی کرد:
۱. ریشه‌ها در جبر ابتدایی
القف) از دوران باستان، ریاضیدانان با مجموعه‌هایی از اعداد کار می‌کردند که عملیات جمع و ضرب روی آن‌ها تعریف شده بود، مانند اعداد صحیح، گویا و حقیقی.
ب) بابلیان، مصریان و یونانیان اولیه در حل معادلات خطی و درجه دوم از اصولی مشابه ایدهٔ میدان استفاده می‌کردند، اما هنوز مفهومی صریح از «میدان» نداشتند.
۲. توسعهٔ اعداد گویا و صحیح
الف) در قرن‌های ۱۶ و ۱۷ میلادی، ریاضیدانانی مانند فیرو، دیوید هیلبرت و اویلر مطالعه روی اعداد گویا و صحیح را آغاز کردند.
ب) ساخت اعداد گویا زمینه‌ای برای بررسی ساختارهای جبری پیچیده‌تر فراهم کرد.
۳. نظریهٔ معادلات و گروه‌ها
الف) در قرن‌های ۱۸ و ۱۹، حل معادلات چندجمله‌ای و مطالعه روی ریشه‌های آنها، توسعهٔ نظریهٔ گروه‌ها و بررسی جبرهای متناهی مانند مدولارها را به دنبال داشت.
ب) ریاضیدانانی مانند کارل فریدریش گاوس، نلسون آبل و اوا گالوآ دریافتند که رفتار ریشه‌های معادله را می‌توان با ساختارهای جبری منظم توضیح داد.
ج) این تحقیقات نیاز به تعریف دقیق و عمومی از مجموعه‌ای با عملیات جمع و ضرب، همانند میدان، را آشکار ساخت.
۴. تعریف صریح میدان‌ها
در نیمهٔ دوم قرن ۱۹، ریاضیدانانی مانند ریچارد ددکیند، اریش هیلمر و پاول گارتنشتاین مفهوم میدان را به صورت صریح و مدرن ارائه کردند.
میدان مجموعه‌ای از عناصر است که دو عمل جمع و ضرب روی آن تعریف شده و ویژگی‌های زیر را دارد:
الف) بسته بودن نسبت به جمع و ضرب
ب) وجود عنصر صفر و یک
ج) وجود وارون جمعی و ضربی برای هر عنصر غیرصفر
د) خاصیت جابجایی و شرکت‌پذیری برای جمع و ضرب
۵. میدان‌های مدرن و کاربردها
قرن‌های ۲۰ و ۲۱ شاهد گسترش گستردهٔ مفهوم میدان‌ها و کاربرد آن‌ها در نظریهٔ اعداد، رمزنگاری، هندسهٔ جبری، فیزیک ریاضی و آنالیز تابعی بود.
     معرفی میدان‌های متناهی توسط گالوآ، به ویژه در نظریهٔ کدها و رمزنگاری، بسیار مؤثر بود.
     امروزه میدان‌ها پایه‌ای برای ساختارهای پیچیده‌تر مانند حلقه‌ها، جبرهای لی و جبرهای چندجمله‌ای هستند.
جمع‌بندی
تاریخچهٔ میدان‌ها از حل معادلات سادهٔ اعداد آغاز شد، سپس با مطالعهٔ اعداد گویا، معادلات چندجمله‌ای و نظریهٔ گروه‌ها، به تعریف صریح میدان‌ها در قرن ۱۹ رسید و در قرن‌های ۲۰ و ۲۱ به ستون فقرات بسیاری از شاخه‌های ریاضیات مدرن تبدیل شد.

۱۸) تاریخچهٔ هندسهٔ جبری

     هندسهٔ جبری یکی از شاخه‌های بنیادی و زیبا در ریاضیات است که پیوندی عمیق میان جبر و هندسه برقرار می‌کند. این شاخه به مطالعهٔ مجموعه‌هایی می‌پردازد که توسط معادلات چندجمله‌ای در میدان‌ها (به‌ویژه اعداد مختلط یا حقیقی) تعریف می‌شوند. در واقع، هندسهٔ جبری پلی میان معادلات جبری و اشکال هندسی است.
۱. دوران باستان و ریشه‌های هندسهٔ جبری
در دوران باستان، یونانیان هندسه را بیشتر بر اساس روش‌های سنتی و شهودی (مانند آثار اقلیدس و آپولونیوس) پیش می‌بردند. هرچند که در آن زمان مفاهیم جبری وجود نداشت، اما بسیاری از مسائل هندسی بعدها در قالب معادلات جبری قابل توصیف شدند؛ برای نمونه، مقاطع مخروطی (دایره، بیضی، سهمی، هذلولی) در حقیقت منحنی‌های درجه دوم هستند.
در تمدن‌های اسلامی، ریاضی‌دانانی مانند الخوارزمی (قرن ۹ میلادی) گام بزرگی در پیوند دادن جبر و هندسه برداشتند. او در کتاب «الجبر و المقابله» بسیاری از مسائل هندسی را با معادلات درجه دوم حل کرد و پایه‌های جبر هندسی را بنا نهاد.
۲. دوران دکارتی و تولد هندسه تحلیلی
تحول بزرگ در قرن هفدهم رخ داد، زمانی که رنه دکارت و پیر فرما هندسهٔ تحلیلی را بنیان نهادند.
در این دوره، هر نقطه در صفحه با مختصات عددی معرفی شد و هر معادلهٔ چندجمله‌ای، منحنی یا سطحی هندسی را نمایش می‌داد.
به این ترتیب، مفاهیم هندسی در قالب جبری قابل بیان شدند.
این ایده اساس هندسهٔ جبری را تشکیل داد:
«هر معادلهٔ جبری، یک شکل هندسی را توصیف می‌کند.»
۳. قرن نوزدهم: پیدایش مفهوم واریته و دیدگاه مجرد
در قرن نوزدهم، با پیشرفت جبر و نظریه میدان‌ها، ریاضی‌دانان به دنبال تعمیم مفاهیم هندسی به سطوح بالاتر بودند.
در این دوره، شخصیت‌هایی چون:
الف) برنهارد ریمان
ب) فلیکس کلاین
ج) داوید هیلبرت
د) امیل آرتین
به بررسی فضاهای چندبعدی و خواص تحلیلی و جبری آن‌ها پرداختند.
همچنین ریچارد ددکیند و ارنست اشتاینیتز با تدوین نظریهٔ میدان‌ها و حلقه‌ها، زمینهٔ نظری لازم برای تعریف دقیق‌تر «مجموعه‌های جبری» را فراهم کردند.
در اواخر قرن نوزدهم، جوزپه پئانو، جولیو کاستلنوا و گیدو فاونو در ایتالیا، هندسهٔ جبری را به‌صورت کلاسیک و تصویری درآوردند که به آن مکتب ایتالیایی هندسهٔ جبری می‌گویند. آنان واریته‌ها را بر اساس خواص شهودی و نگاشت‌های تصویری بررسی می‌کردند.
۴. دوران انتزاع و بنیان‌های مدرن
در قرن بیستم، دیدگاه ایتالیایی به‌دلیل نارسایی در دقت منطقی کنار گذاشته شد و رویکرد جدیدی بر اساس نظریه‌های جبری مدرن شکل گرفت.
سه چهرهٔ بزرگ در این تحول نقش اساسی داشتند:
الف) امی نوتر با انتزاع مفاهیم «حلقه»، «ایدال» و «همریختی»، پایه‌های جبر مدرن و در نتیجه هندسهٔ جبری جدید را بنا نهاد.
ب) آسکار زاریسکی با ترکیب روش‌های توپولوژی و جبر، مفهوم توپولوژی زاریسکی را معرفی کرد و واریته‌ها را به‌صورت دقیق جبری تعریف نمود.
ج) آلکساندر گروتندیک در دههٔ ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰ با معرفی مفهوم شِما و توپوس هندسهٔ جبری را به اوج رساند. نظریهٔ او همهٔ مفاهیم پیشین را در قالبی واحد و بسیار مجرد سامان داد.
به دنبال او، ژان‌پیر سر و روبرتو مامفورد نظریه‌های جدیدی مانند همولوژی و  کوهمولوژی را در هندسهٔ جبری توسعه دادند.
۵. دوران معاصر
در سدهٔ بیست‌ویکم، هندسهٔ جبری در قلب بسیاری از نظریه‌های پیشرفتهٔ ریاضی قرار دارد، از جمله:
الف) نظریهٔ اعداد جبری
ب ) هندسهٔ جبری مختلط
ج) نظریهٔ شِماها و توپوس‌ها،
د) هندسهٔ جبری مشتق‌پذیر
امروزه این شاخه پیوندی استوار با نظریهٔ ریسمان، فیزیک کوانتومی، و توپولوژی مدرن دارد.

 

۱۹) تاریخچهٔ فضای برداری

       مفهوم فضای برداری یکی از بنیادی‌ترین مفاهیم در ریاضیات نوین، به‌ویژه در شاخه‌های جبر خطی، آنالیز تابعی و هندسه است. سیر تاریخی این مفهوم از هندسهٔ اقلیدسی آغاز می‌شود و تا تدوین مجرد و دقیق آن در قرن بیستم ادامه یافته است.
۱. ریشه‌های هندسی در دوران کلاسیک
     در هندسهٔ اقلیدسی و سپس در مکانیک نیوتنی، کمیت‌هایی مانند نیرو، سرعت و انتقال که هم اندازه و هم جهت داشتند، به‌صورت پیکان (بردار) نمایش داده می‌شدند. در این دوره، بردارها بیشتر جنبهٔ هندسی و فیزیکی داشتند و از نظر ریاضی هنوز به‌صورت مجرد تعریف نشده بودند.
۲. گام‌های نخستین در جبر خطی
در قرن نوزدهم، ریاضی‌دانانی همچون:
الف) آگوستین-لویی کوشی
ب) ویلیام رووان همیلتون
ج) آرتور کیلی
       مفاهیم مربوط به ترکیب خطی، ماتریس‌ها و دترمینان‌ها را گسترش دادند. همیلتون در سال ۱۸۴۳ با معرفی چهارگان‌ها (کواترنیون‌ها) گامی مهم در گسترش محاسبات برداری برداشت. کیلی نیز مفهوم ضرب ماتریسی و فضاهای n-بعدی را مطرح کرد.
۳. گسترش مفاهیم جبری و انتزاعی
در نیمهٔ دوم قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان به‌تدریج از تفسیر هندسی فاصله گرفتند و به تعریف جبری بردارها پرداختند. در این دوران:
الف) هرمان گراسمن در اثر خود با عنوان «نظریهٔ بَسْط خطی» مفهوم سیستم گستره‌های خطی را معرفی کرد که در واقع پیش‌درآمدی بر تعریف امروزی فضای برداری بود.
ب) او نخستین کسی بود که جمع و ضرب عددی بردارها را به‌صورت مجرد و عمومی تعریف کرد، هرچند آثارش در زمان خود چندان شناخته نشدند.
۴. تعریف دقیق در قرن بیستم
      در آغاز قرن بیستم، ریاضی‌دانانی مانند:
الف) جوزف دیودونه
ب) هربرت وایل
ج) داوید هیلبرت
      با توسعهٔ نظریه‌های مجرد در جبر و آنالیز، تعریف رسمی فضای برداری روی یک میدان را ارائه کردند.
در این تعریف، بردارها دیگر لزوماً پیکان‌های هندسی نبودند، بلکه اعضای مجموعه‌ای بودند که می‌توان آن‌ها را با یکدیگر جمع کرد و در عددی از میدان ضرب نمود. به این ترتیب، فضای برداری به‌صورت مجموعه‌ای با دو عمل «جمع برداری» و «ضرب عددی» روی یک میدان تعریف شد.
۵. گسترش کاربردها
     در قرن بیستم، مفهوم فضای برداری در شاخه‌های گوناگون ریاضیات و علوم کاربرد یافت:
الف) در آنالیز تابعی: فضاهای تابعی مانند فضاهای هیلبرت و باناخ به عنوان فضاهای برداری بی‌نهایت‌بعدی معرفی شدند.
ب) در فیزیک نظری: مبانی مکانیک کوانتومی بر پایهٔ فضاهای هیلبرت شکل گرفت.
ج) در جبر مدرن: ساختارهای جبری مانند فضاهای برداری روی میدان‌های متناهی، بنیان نظریه‌های کُدگذاری، رمزنگاری و نظریهٔ اطلاعات را تشکیل دادند.
۶. جایگاه کنونی
    امروزه فضای برداری یکی از بنیادی‌ترین ساختارهای ریاضی در علوم مختلف ـ از ریاضی و فیزیک گرفته تا مهندسی، اقتصاد و علوم داده ـ به‌شمار می‌آید. تقریباً همهٔ نظریه‌های مدرن بر پایهٔ مفاهیم فضاهای برداری، نگاشت‌های خطی و زیرساختارهای مرتبط (مانند زیر‌فضا، پایه و بُعد) استوارند.

۲۰) تاریخچهٔ آنالیز حقیقی

      آنالیز حقیقی شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعهٔ اعداد حقیقی، توابع حقیقی، حد، پیوستگی، مشتق و انتگرال می‌پردازد. این شاخه پایهٔ بسیاری از علوم و ریاضیات مدرن است و توسعهٔ آن با تحولات تاریخی مهمی همراه بوده است. تاریخچهٔ آن را می‌توان به چند مرحلهٔ مهم تقسیم کرد:
۱. ریشه‌های باستانی
الف) مفاهیم اولیهٔ عدد، طول و مساحت از دوران مصر و بین‌النهرین وجود داشته است.
ب) یونانیان باستان، به ویژه اقلیدس، با ارائهٔ هندسهٔ اقلیدسی و مطالعهٔ تناسبات و اندازه‌ها، پایه‌های تفکر تحلیلی و مفهوم پیوستگی را شکل دادند.
ج) مفاهیم بی نهایت: ریاضی‌دانان یونان، مانند زوفرون و آنتیفون، ایدهٔ تقریب و تقسیم بی‌نهایت را برای محاسبهٔ مساحت‌ها و طول‌ها به کار بردند.
۲. ریاضیات دورهٔ رنسانس
الف) در قرون وسطی، ریاضیات بیشتر جنبهٔ کاربردی داشت و پیشرفت‌های جدی در نظریهٔ حد و پیوستگی دیده نشد.
ب) در دورهٔ رنسانس اروپا، با کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن و لایبنیتس مرحلهٔ جدیدی آغاز شد.
ج) آن‌ها از روش‌های تقریبی و هندسی برای محاسبهٔ مساحت و مشتق استفاده می‌کردند، اما مفهوم حد و پیوستگی هنوز به صورت صریح تعریف نشده بود.
۳. تاریخچه پیشین
الف) ریاضی‌دانانی مانند اویلر، برنولی و لاگرانژ روش‌های تحلیلی و سری‌ها را توسعه دادند.
ب) با وجود پیشرفت‌ها، هنوز پایه‌های منطقی آنالیز کامل نبود. مسائل مربوط به مجموعه‌ها و بی‌نهایت‌ها به وضوح حل نشده بود.
ج) مفهوم مشتق و انتگرال به صورت شهودی و مبتنی بر هندسه و فیزیک بود.
۴. بنیادگذاری آنالیز حقیقی مدرن
الف) آگوستین-لوئی کوشی
تعریف دقیق حد و پیوستگی توابع را ارائه داد.
او نخستین پایه‌های منطق ریاضی در آنالیز را شکل داد.
ب) کارل وایرشتراس
     نظریهٔ حد و پیوستگی توابع را بدون استفاده از شهود هندسی، با دقت کامل ریاضی ارائه کرد.
او تعریف دقیق مشتق و انتگرال بر اساس حد را ارائه داد.
ج) ریمان
انتگرال ریاضی را دقیق معرفی کرد.
۵. قرن  توسعه و تعمیم
الف) بنجامین ویچ و هادامارد:
بررسی دقیق اعداد حقیقی و نظریهٔ مجموعه‌ها.
ب) هاسکورث، لبگ و برل:
توسعهٔ آنالیز حقیقی و انتگرال لبگ.
این کار امکان بررسی توابع با خواص گوناگون و مسائل همگرایی سری‌ها را فراهم کرد.
ج) نظریهٔ اندازه و فضای توابع:
توسعهٔ مفاهیم انتگرال و توابع قابل اندازه‌گیری مبنای آنالیز مدرن و کاربرد در احتمالات و نظریهٔ تابعی شد.
۶. اهمیت آنالیز حقیقی
الف) پایهٔ ریاضیات کاربردی، فیزیک، مهندسی و اقتصاد است.
ب) فراهم‌کنندهٔ ابزار دقیق برای بررسی رفتار توابع، همگرایی سری‌ها، حل معادلات دیفرانسیل و تحلیل داده‌ها است.
ج) مقدمهٔ مفاهیم مدرن مانند فضاهای هیلبرت، توپولوژی و آنالیز تابعی است.

۲۱) تاریخچهٔ گروه‌های لی

     گروه‌های لی از مهم‌ترین ساختارهای ریاضی‌اند که پیوندی ژرف میان جبر و هندسه برقرار می‌کنند و نقش بنیادی در ریاضیات مدرن و فیزیک نظری دارند. نام این گروه‌ها از سوفوس لی، ریاضی‌دان برجستهٔ نروژی قرن نوزدهم، گرفته شده است.
۱. پیدایش مفهوم گروه لی
    در نیمهٔ دوم قرن نوزدهم، سوفوس لی در پی بررسی تقارن‌های پیوستهٔ معادلات دیفرانسیل، نظریه‌ای را پایه‌گذاری کرد که بعدها «گروه‌های لی» نام گرفت. پیش از او، نظریهٔ گروه‌ها توسط گالوآ برای تقارن‌های گسسته (در معادلات چندجمله‌ای) مطرح شده بود، اما لی دریافت که در طبیعت و معادلات فیزیکی، تقارن‌ها معمولاً پیوسته‌اند، مانند دوران، انتقال و انعکاس.
۲. تعریف لی گروه ها
     لی، این گروه‌ها را به‌صورت گروه‌هایی از تبدیلات پیوسته بر فضاهای مختصاتی می‌دید که با چند پارامتر حقیقی قابل توصیف‌اند.در گروه های لی عمل ضرب و وارون توابعی  هموار هستند.لذا در هر مرتبه مشتق پذیرند. بعلاوه هر نقطه  در گروه لی دارای یک همسایگی همان ریخت  با یک کره در فضای اقلیدسی است.
۳. ابداع جبر لی
      برای مطالعهٔ ساختار موضعی گروه‌های لی، لی مفهوم جبر لی را معرفی کرد. جبر لی از نظر جبری ساده‌تر است و ساختار گروه لی را در همسایگی عنصر همانی توصیف می‌کند.
عمل اصلی در جبر لی، براکت لی است که ویژگی‌های پادمتقارن و توزیعی دارد:
الف)
[x,y] = -[y,x] 
ب)
  [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] =0   
۴. گسترش نظریه
     پس از لی، ریاضی‌دانان بزرگی نقش مهمی در توسعهٔ نظریهٔ گروه‌های لی ایفا کردند:
الف)ویلهلم کیلن
ب) الیه کارتان
      کار کارتان نقطهٔ عطفی بود؛ او گروه‌های لی ساده و نیم ساده را طبقه‌بندی کرد و مفاهیمی چون ریشه‌ها، وزن‌ها، جبرهای فشرده و غیر فشرده را وارد نظریه نمود.
۵. ارتباط با هندسه و فیزیک
      گروه‌های لی ابزار اساسی در زمینه‌های زیر هستند:
الف) هندسهٔ دیفرانسیل:
مطالعهٔ خمینه‌ها و تقارن‌هایشان
ب)فیزیک نظری:
به‌ویژه نظریه‌های میدان و نسبیت خاص و عام
ج) مکانیک کوانتومی و نظریهٔ ذرات بنیادی
۶. نمونه‌های مهم از گروه‌های لی
الف)گروه انتقال‌ها
ب)گروه ماتریس‌های وارون‌پذیر
ج)گروه‌های دوران
د) گروه ماتریس‌های با دترمینان یک
۷. تحولات مدرن
       در قرن بیستم و بیست‌ویکم، نظریهٔ گروه‌های لی در شاخه‌های مختلف گسترش یافت:
الف) نمایش‌ها روی گروه‌های لی
ب) آنالیز هارمونیک مجرد بر گروه‌های لی
ج) گروه‌های لی مختلط و گروه‌های لی جبری
د) نظریهٔ ابرگروه‌های لی در فیزیک کوانتومی
۸. جایگاه کنونی
      امروزه گروه‌های لی یکی از ستون‌های اصلی ریاضیات مدرن، هندسهٔ جبری، توپولوژی، آنالیز هارمونیک مجرد و نظریهٔ میدان‌ها به شمار می‌آیند و تقریباً در هر شاخه‌ای از ریاضیات یا فیزیک نظری کاربرد دارند.

۲۲) تاریخچهٔ آنالیز مختلط

    آنالیز مختلط شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعهٔ توابعی می‌پردازد که متغیرهای مختلط دارند و در بسیاری از شاخه‌های ریاضیات، فیزیک و مهندسی کاربرد گسترده دارد. این شاخه تاریخچه‌ای طولانی و تحول‌آمیز دارد که از اواخر قرون وسطی و رنسانس آغاز شده است.
۱. آغاز کاربرد اعداد مختلط
الف) ایدهٔ اعداد مختلط برای اولین بار در اواسط قرن ۱۶ میلادی مطرح شد، زمانی که ریاضی‌دانان ایتالیایی مانند جرولامو کاردانو  در حل معادلات درجه سوم با ریشه‌های منفی مواجه شدند.
ب) کاردانو در کتابش" هنر بزرگ"
به اعداد به فرم √−1 اشاره کرد، اما هنوز مفهوم کاملاً صریح و پذیرفته‌شده‌ای از اعداد مختلط وجود نداشت.
۲. توسعهٔ اعداد مختلط
الف) در قرن ۱۷، ریاضی‌دانانی چون رافائل بومبلی  و دکارت روی تعریف و استفاده از اعداد مختلط کار کردند.
ب) بومبلی توانست قواعد جمع و ضرب اعداد مختلط را به شکل منطقی تبیین کند، و به اولین گام‌ها برای سیستم‌بندی آنها کمک کرد.
۳. شکل هندسی اعداد مختلط
الف) در قرن ۱۸، لئونارد اویلر  و ژان-رابرت گاوس  ارتباط بین اعداد مختلط و هندسهٔ صفحهٔ مختلط را کشف کردند.
ب) اویلر فرمول معروف خود را ارائه داد که رابطهٔ بین نمایی مختلط و مثلثات را نشان می‌دهد.
ج) گاوس نیز در سال ۱۸۳۱ صفحهٔ اعداد مختلط را رسم کرد و مفهوم مستطیل مختلط  را به طور رسمی معرفی کرد.
۴. شکل‌گیری آنالیز مختلط
در قرن ۱۹، آنالیز مختلط به صورت یک شاخهٔ مستقل رشد کرد:
الف) آگوستین لوئیس کوشی  پایه‌های تحلیل توابع مختلط را گذاشت، از جمله تعریف مشتق و انتگرال مختلط و قضیهٔ انتگرال کوشی.
ب) کارل وایرشتراس روی تحلیل دقیق و صریح توابع مختلط کار کرد و مسائل مربوط به همگرایی سری‌ها را حل کرد.
ج) برنهارد ریمان با معرفی مفهوم سطح ریمانی و مطالعهٔ توابع تحلیلی چندمقداره، انقلابی در آنالیز مختلط ایجاد کرد.
۵. توسعهٔ مدرن
در قرن ۲۰، آنالیز مختلط به شاخه‌های مختلفی توسعه یافت:
الف) توابع تحلیلی چندمتغیره
ب) نظریه هارمونیک و پتانسیل
ج) کاربردهای فیزیک ریاضی، مهندسی و نظریهٔ اعداد
د) ارتباط آن با توابع ویژه، انتگرال‌های مسیر، جبر خطی و نظریهٔ میدان باعث شد آنالیز مختلط به ابزاری اصلی در علوم مهندسی و فیزیک تبدیل شود.

تهیه و تنظیم
دکتر علی رجالی
استاد تمام دانشگاه اصفهان 

 

ناپیوستگی بود.
ب)فراکتال‌ها و مجموعه‌های چگال:                                                       برخی مجموعه‌ها در هندسه و آنالیز، مانند مجموعه‌های کانتور، نشان دادند که تعاریف سنتی طول و مساحت برای آن‌ها ناکافی است.
۲. آغاز نظریه اندازهٔ مدرن
الف)لویی امیل برل: مجموعه‌هایی که با استفاده از بازها و بسته‌ها ساخته می‌شوند را مورد مطالعه قرار داد و مفهوم مجموعهٔ برل را معرفی کرد.
ب) هنری لوئی لوگان: گام انقلابی در این زمینه برداشت و انتگرال لبِگ را معرفی کرد. او نشان داد که می‌توان انتگرال‌گیری را برای توابع اندازه‌پذیر انجام داد. این پیشرفت نیازمند تعریف دقیق و عمومی از «اندازه» بود که بعدها به اندازهٔ لبِگ معروف شد.
۳. توسعهٔ دقیق‌تر نظریه اندازه
الف) آندره ویراشتراس: پایه‌های آنالیز تابعی را نهاد و بررسی انواع انتگرال‌ها را گسترش داد.
ب) برل، هاسدورف و هان: فضاهای گوناگون و متنوع دیگری را مطالعه کردند و مفاهیم عمومی‌تر اندازه و ابعاد فراکتالی را معرفی نمودند.
ج) آندره ویل و هنری کارتان: به توسعهٔ نظریهٔ توپولوژیک اندازه‌ها و بررسی اندازه‌های متقارن پرداختند.
۴. کاربردها
الف) نظریهٔ اندازه نه تنها پایهٔ انتگرال لبِگ شد، بلکه اساس نظریه احتمال مدرن، آنالیز هارمونیک مجرد، توابع مختلط و حتی برخی شاخه‌های ریاضیات مالی و داده‌ پردازی را فراهم کرد.
ب) انتگرال لبِگ امکان انتگرال‌گیری از توابع غیرپیوسته یا توابع با تغییرات محدود را مقدور می سازد.
ج) در نظریه احتمال، مفاهیم فضای احتمال و متغیر تصادفی مستقیماً بر اساس اندازه‌ها تعریف می‌شوند.

۱۵) تاریخچهٔ نظریهٔ حلقه‌ها

       نظریهٔ حلقه‌ها یکی از شاخه‌های بنیادی جبر مدرن است که نقش اساسی در بسیاری از زمینه‌های ریاضی، از جمله نظریهٔ اعداد، جبر خطی، توپولوژی جبری و آنالیز تابعی ایفا می‌کند. پیدایش این نظریه نتیجهٔ تکامل تدریجی مفاهیم جبری از قرن نوزدهم به بعد است.
۱. آغاز مفاهیم جبری
      ریشه‌های نظریهٔ حلقه‌ها را باید در آثار ریاضی‌دانان بزرگی چون کارل فریدریش گاوس جست‌وجو کرد. او در کتاب مشهور خود،" پژوهش‌هایی در نظریهٔ اعداد "، مفاهیم مربوط به اعداد گوسی و عملیات جبری بر روی آن‌ها را مطرح کرد. هرچند واژهٔ حلقه هنوز به کار نرفته بود، این پژوهش گامی مهم در جهت درک ساختارهایی بود که بعدها «حلقه» نام گرفتند.
      در میانهٔ قرن نوزدهم، ریشارد ددکیند و ارنست کومر برای حل مسائل نظریهٔ اعداد جبری، مفهوم «ایدآل» را معرفی کردند. این مفهوم پایه‌ای‌ترین نقش را در شکل‌گیری نظریهٔ حلقه‌ها ایفا کرد.
۲. شکل‌گیری مفهوم حلقه
در آغاز قرن بیستم، دیوید هیلبرت در پژوهش‌های خود دربارهٔ چندجمله‌ای‌ها و پایه‌های جبری، از ساختارهایی بهره گرفت که دارای دو عمل جمع و ضرب بودند و قوانین مشخصی را رعایت می‌کردند.
با این حال، واژهٔ «حلقه» را نخستین‌بار امی نوتر، ریاضی‌دان بزرگ آلمانی، در دههٔ ۱۹۲۰ میلادی به کار برد. او نظریهٔ حلقه‌ها را به‌صورت مدرن و مجرد بسط داد و با تعریف دقیق خواص این ساختارها، بنیان‌گذار حقیقی این شاخه از جبر شد.
۳. گسترش نظریهٔ حلقه‌ها
در دهه‌های ۱۹۳۰ و ۱۹۴۰، نظریهٔ حلقه‌ها به‌سرعت گسترش یافت:
الف) ساندر مک‌لین با ایجاد نظریهٔ رده‌ها ، مفاهیم جبری را به سطحی بالاتر تعمیم داد.
ب) امی نوتر و شاگردانش، از جمله کوهِن، آرتین و کروول، مفاهیم مهمی چون حلقه‌های نوترینی، آرتینی و حوزه‌های تجزیه‌پذیر یکتا را بنیان نهادند.
ج) نوتر نشان داد که بسیاری از نتایج مهم جبر را می‌توان تنها بر پایهٔ خواص ایدآل‌ها، و بی‌نیاز از بررسی عناصر خاص حلقه، به‌دست آورد.
۴. کاربردهای نظریهٔ حلقه‌ها
     نظریهٔ حلقه‌ها امروزه در شاخه‌های گوناگون ریاضیات و حتی علوم دیگر کاربرد دارد:
الف) در نظریهٔ اعداد جبری برای مطالعهٔ ساختار اعداد و ایدآل‌ها.
ب) در هندسهٔ جبری، حلقه‌های چندجمله‌ای و حلقه‌های توابع نقش بنیادین در تعریف و آنالیز واریته‌ها دارند.
ج) در آنالیز تابعی، حلقه‌های عملگرها و جبرهای باناخ مورد بررسی‌اند.
د) در فیزیک نظری و نظریهٔ اطلاعات کوانتومی، حلقه‌ها و جبرها به عنوان ساختارهای اولیه برای مدل‌سازی سیستم‌های گگوناگون به کار می‌روند.
۵. تعاریف اولیه
یک حلقه، مجموعه‌ای غیر تهی است که مجهز به دو عمل دوتایی:
۱. جمع (+) که یک گروه آبلی تشکیل می‌دهد.
۲. ضرب (×) که شرکت‌پذیر است و با جمع سازگار می‌باشد.
اگر ضرب جابجایی‌پذیر باشد، حلقه را جابجایی می‌نامند؛
و اگر عنصری واحد برای ضرب وجود داشته باشد، حلقه را دارای واحد می‌گویند.
۶. شاخه‌های مهم در نظریهٔ حلقه‌ها
الف) حلقه‌های جابجایی و نظریهٔ ایدآل‌ها
ب) حلقه‌های ماتریسی و نیم‌ساده
ج) حلقه‌های تجزیه‌پذیر و حلقه‌های باناخ
د) حلقه‌های موضعی در هندسهٔ جبری
ه) حلقه‌های غیرجابجایی در فیزیک و جبر ماتریس‌ها
جمع‌بندی
      نظریهٔ حلقه‌ها از دل مطالعهٔ اعداد و چندجمله‌ای‌ها در قرن نوزدهم زاده شد، اما با تلاش‌های امی نوتر به یکی از زیباترین و عمیق‌ترین شاخه‌های جبر مدرن تبدیل گردید.
      امروزه این نظریه پلی میان ریاضیات محض و کاربردی است و مفاهیم آن در سراسر علوم ریاضی و فیزیکی حضور دارد.