سیری در ریاضیات(۱)(مولف دکتر علی رجالی)

 

باسمه‌تعالی
سیری در ریاضیات(۱)

اثر: دکتر علی رجالی(دانشگاه اصفهان )
مقدمه
فهرست مطالب

فصل اول
۱.تعریف اعداد اول
۲.اصل پئانو در نظریهٔ اعداد
۳.ساخت اعداد صحیح
۴.ساخت اعداد  گویا
۵.دنباله های کوشی
۶.ساخت مجموعه اعداد  حقیقی
۷.معرفی زوج مرتب
۸.معرفی فضای اقلیدسی
۹.تفاوتR2 و مجموعه  اعداد  مختلط
۱۰نرمی که باعث می شود فضای  اقلیدسی  یک *C-جبر شود.
۱۱.نرمی که باعث می شود فضای اقلیدسی  یک فضای هیلبرت شود.
۱۲.مجموعه اعداد همیلتون
۱۳.معرفی اندازه لبگ در Rn.
۱۴.معرفی گروه های توپولوژیکی
۱۵.معرفی اندازه هار در گروهای توپولوژیکی.
۱۶.ضعیف ترین و  قوی‌ترین توپولوژی
۱۷.فضای تفکیک پذیر
۱۸.قضیه هاینه- برل
۱۹.توپولوژی حاصلضرب
۲۰. حاصلضرب  مجموعه های باز
۲۱.توپولوژی جعبه ای
۲۲.میانگین پذیری نیم گروه ها
۲۳.مثال هائی از نیم گروه های میانگین  پذیر
۲۴.میانگین پذیری  گروه ها ی خارج قسمت
۲۵.میانگین پذیری جبرهای باناخ
۲۶.مثال هائی از میانگین پذیری جبرهای باناخ
۲۷.میانگین پذیری جبرهای باناخ  خارج قسمتی
۲۸.آرنز- منظم پذیری جبرهای باناخ
۲۹. مثال های  از جبرهای  آرنز- منظم
۳۰. آرنز - منظم  پذیری  برخی جبرهای باناخ
۳۱.جبرهای باناخ عملگرهای  کراندار
۳۲.انواع توپولوژی  های  عملگری
۳۳. دوگان دوم جبرهای عملگری فشرده

فصل دوم
۳۴.قضیه هان بانخ چیست
۳۵.فضای دوگان چیست
۳۶.چند مثال از فضای  دوگان
۳۷.فضای توپولوژیکی  برداری  چیست
۳۸.چند خاصیت فضاهای توپولوژیکی برداری
۳۹.قضیه هان باناخ  در فضاهای توپولوژیکی برداری چیست
۴۰.فضای هیلبرت  چیست
۴۱.چند مثال از فضای  هیلبرت
۴۰.فضای  مشخصه چیست
۴۱.چند مثال از فضای  مشخصه
۴۲.فضای Lp چیست
۴۳.چند مثال از فضای Lp
۴۴.چند خواص از فضای Lp
۴۵. فضای اندازه چیست
۴۶.چند مثال از نظریه اندازه
۴۷.مفهوم همبندی در فضای توپولوژیکی چیست
۴۸.چند مثال از همبندی
۴۹.فشردگی در فضای توپولوژیکی چیست
۵۰.چند مثال از فشردگی مجموعه ها
۵۱.قضیه نمایش ریز چیست
۵۲.قضیه نگاشت باز چیست
۵۳.مفهوم تور در فضای توپولوژیکی چیست
۵۴.مفهوم همگرایی در فضای توپولوژیکی چیست
۵۵.نقش تورها در توپولوژی
۵۶.مفهوم اندازه پذیری  چیست
۵۷.اندازه پذیری حد دنباله های توابع

فصل سوم
۵۸.ارتباط پیوستگی و اندازه پذیری توابع
۵۹.خواصی از توابع اندازه پذیر
۶۰.توابع پیوسته روی فضاهای حاصلضرب
۶۱.فضای توابع پیوسته برداری -  مقدار
۶۲.مفاهیمی از نظریه گروه ها
۶۳.معرفی توابع اندازه پذیر
۶۴.معرفی حاصلضرب  تنسوری  جبرهای باناخ
۶۵.معیارهای میانگین پذیری
۶۶.تاریخچه میانگین پذیری
۶۷.جمله ای از پروفسور کادیسون
۶۸.ترتیب در اعداد حقیقی
۶۹.معرفی  اعمال حسابی  در اعداد
۷۰.قضیه نگاشت  باز
۷۱.آیا هر نگاشت خطی و باز پوشاست؟
۷۲.آیا شرط پوشائی  در قضیه  نگاشت  باز را می توان حذف است.
۷۳.بی نهایت  بالقوه و بی نهایت  بالفعل چیست؟
۷۴.داستان هتل هیلبرت و بی نهایت
۷۵.اعداد کاردینال چیست
۷۶.چرا نگاشت  جادهی  ازl1 بهl2 باز نیست؟
۷۷.چند مثال از عملگرهای که برد بسته ندارند.
۷۸.مفهوم بی نهایت در حد توابع
۷۹.مجموعه اعدا حقیقی توسعه یافته
۸۰.فشرده سازی تک- نقطه ای
۸۱.عمدگر الحاق در فضای هیلبرت
۸۲.عملگر  الحاق در فضاهای باناخ
۸۳.چه موقع Lp(G) یک جبر باناخ است؟
۸۴.آیا فضای  غیر فشرده موضعی، قابل فشرده سازی تک نقطه ای است؟
۸۵.آیا فضای فشرده سازی تگ-نقطه  ای شمارا، متریک پذیر است؟
۸۶.آیا اندازه هار در مجموعه اعداد گویا وجود دارد؟
۸۷.آیا اندازه لبگ، مجموعه ها تحت دوران و انتقال تغییر می کند؟
۸۸.چه موقع فضای هیلبرت  فشرده موضعی
۸۹.لم ریز در فضای نرم دار چیست؟
۹۰.چه موقع فضای نرم دار فشرده موضعی

فصل چهارم 
۹۱.معرفی توابع ضربی در جبرهای باناخ
۹۲.آیا همه نرم ها در فضای C[0,1] معاددند؟
۹۳.چرا همه نرم ها در فضای  متناهی البعد معادلند؟
۹۴.هرگاهX یک فضای  نرم دار باشدوY زیر فضای آن باشد،آیا یک نرم رویY را می توان به یک نرم درXتوسیع داد؟
۹۵.آیا در فضای نرمدار نامتناهی  البعد، می توان نرمی ساخت که معادل نرم اصلی نباشد؟
۹۶.چه موقع دو نرم در فضاهای  نرمدار معادلند؟
۹۷.پایه های همل و شودر چیست؟
۹۸.هرگاه(Y,T) یک فضای  توپولوژیکی  باشد،و مجموعهX شاملYباشد.آیا یک توپولوژی  رویX وجود دارد که توسیعT باشد؟
۹۹.چند مثال از پایه های شودر

۱۰۰.برخی از  خواص فضای  باناخ loo
۱۰۱.آیا هر فضای  باناخ که پایه شودر داشته باشد،  تفکیک پذیر است؟
۱.۲.بعد در فضای  باناخ چیست؟
۱.۳.آیا فضای باناخ  با بعد شمارای بی پایان وجود دارد؟
۱.۴.چه موقعیکه فضای  متریک، تفکیک پذیر است؟
۱.۵.آیا فضای  C[0,1] مجهز به ضرب داخلی است؟
۱.۶.چه موقعیکه فضای  باناخ  یک فضای هیلبرت است؟
۱۰۷.آیا فضای  کثیرالجمله ها  یک فضای باناخ است؟
۱۰۹.ارتباط  بین انواع پایه های فضاها چیست؟

فصل  پنجم 
۱۱۰.آرنز - منظم پذیری حاصلضرب تنسوری جبرهای های باناخ
۱۱۱.نقش توابع ضربی در جبرهای باناخ جابجائی
۱۱۲.چه موقع نگاشت  گلفند طولپاست
۱۱۳.آیا هر میدان مرتب شمارا با مجموعه اعداد گویا بطور جبری یکریخت است
۱۱۴.چرا ریاضی دانان  گروه،  حلقه و میدان  را در  جبر مجرد معرفی نمودند
۱۱۵. معرفی مجموعه  اعداد ماورائی
۱۱۶.معرفی  مجموعه اعداد فراحقیقی
۱۱۷.بخش استاندارد یک عدد فراحقیقی
۱۱۸.اعداد بی نهایت کوچک و بی‌نهایت بزرگ
۱۱۹.مشتق توابع با استفاده از آنالیز غیر استاندارد
۱۲۰.مفهوم انتگرال در آنالیز غیر استاندارد
۱۲۱.مفهوم همگرایی دنباله در آنالیز غیر استاندارد
۱۲۲.خواص تابع(بخش) استاندارد
۱۲۳.مفهوم همگرایی  دنباله  در آنالیز غیر استاندارد
۱۲۴.آیا تابع استاندارد  حافظ  ترتیب  است
۱۲۵.آیا تابع استاندارد از جذر عبور می کند
۱۲۶..آیا میدان های مرتب بی پایان یکریخت هستند
۱۲۷.مفهوم فیلتر و فرا فیلتر
۱۲۸.فیلتر ها روی مجموعه اعداد طبیعی چگونه است
 

فصل ششم 

۱۲۹.تابع استاندارد روی مجموعه اعداد فراحقیقی
۱۳۰.یکریختی در میدان های مرتب
۱۳۱.میدان مرتب اعداد فراحقیقی
۱۳۲.تفاوو همگرایی نقطه ای و یکنواخت
۱۳۳.تفاوت پیوستگی  معمولی و  یکنواخت
۱۳۴.همگرایی ضعیف و*ضعیف
۱۳۵.انواع همگرایی  در(B(H
۱۳۶.پیوستگی در فضای توپولوژیکی
۱۳۷.تفکیک پذیری در مجموعه اعداد فراحقیقی
۱۳۸.متریک پذیری در مجموعه اعداد فراحقیقی
۱۳۹.توابع ضربی و عملگرهای  ضربی
۱۴۰.عدد اصلی مجموعه اعداد فراحقیقی
۱۴۱.ساخت مجموعه اعداد طبیعی
۱۴۲.اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها
۱۴۳.مجموعه استقرایی
۱۴۴.تریب در مجموعه اعداد اصلی
۱۴۵.فرض پیوستار
۱۴۶.پایه همل برای C[a,b]
۱۴۷.مفهوم  اعداد اصلی  و اعداد ترتیبی
۱۴۸.معادل بودن اصل انتخاب و لم زرن
۱۴۹.اعمال حسابی در مجموعه اعداد اصلی
۱۵۰.توپولوژی ترتیبی در مجموعه اعداد فراحقیقی

 

فصل هفتم 
۱۵۱.چرا اصل انتخاب منجر به اصل خوش ترتیبی  می شود
۱۵۲.چرا اصل خوش ترتیبی منجر به اصل انتخاب  می شود
۱۵۳.چرا لم زرن منجر به اصل خوش ترتیبی است
۱۵۴.چرا اصل خوش‌ترتیبی  منجر به لم زرن می شود
۱۵۵.چرا اصل انتخاب منجر به لم زرن می شود
۱۵۶.چرا لم زرن منجر به اصل انتخاب می شود
۱۵۷.چرا اصل استقرای ریاضی  و اصل خوش‌ترتیبی  معادلند
۱۵۸.چ ا مجموعه  بریدگی های ددکیند، یک میدان مرتب کامل است.
۱۵۹.چرا خاصیت  ارشمیدسی  و اصل تمامیت اعداد  حقیقی  معادلند
۱۶۰.چرا خاصیت  حجره‌های  آشیانی  با اصل  تمامیت اعداد  معادلند
۱۶۱.چرا خاصیت کمال  با خاصیت  تمامیت اعداد  معادلند
۱۶۲.چرا خاصیت  بولتسانو وایراشتراس  با خائن  کمال معادلند
۱۶۳.چرا خاصیت  بولتسانو وایراشتراس  با خاصیت  حجره‌های آشیانی  معادل هستند

 

فصل هشتم
۱۶۴.معرفی مجموعه اعداد ترتیبی
۱۶۵.آیا فضای اعداد ترتیبی شمارا  است؟
۱۶۶.ساختن مجموعه  اعداد طبیعی  چگونه است
۱۶۷.چرا فضای  اعداد ترتیبی  فشرده است؟
۱۶۸.چرا هر دنباله از اعداد ترتیبی  ایستاست
۱۶۹.چرا فضای اعداد ترتیبی شمارا،  فشرده شمارشی است
۱۷۰.چرا هر دنباله  از اعداد ترتیبی  شمارا، دارای زبرینه است
۱۷۱.چرا فضای اعداد ترتیبی  شمارا، فشرده  نیست
۱۷۲.چرا هر تابع  پیوسته  روی فضای  اعداد ترتیبی  شمارا، تقریبا ثابت است.
۱۷۳.معرفی فضای توابع پیوسته  روی مجموعه اعداد ترتیبی
۱۷۴.فشردگی استون- چک ، روی مجموعه اعداد ترتیبی
۱۷۵.چرا فضای  اعداد ترتیبی  شمارا، یک فضای نرمال است
۱۷۶.مفهوم  پیوستگی در فضای اعداد ترتیبی
۱۷۷.آیا فضای اعداد ترتیبی  همبند است

فصل نهم
۱۷۸.چرا عدد  نپر اصم می باشد
۱۷۹.چرا جذر عدد  دو موجود و اصم است
۱۸۰.نمایش اعداد اصم  به‌ صورت  اعشاری
۱۸۱.چرا عدد پی یک عدد  اصم است
۱۸۲.قضیه  لیندمن وایراشتراس  چیست
۱۸۳.نمایشاعداد جبری مختلط چگونه است
۱۸۴.چرا مجموعه  اعداد جبری یک میدان شماراست
۱۸۵.میدان اعداد p- ادیک چیست
۱۸۶آیا میدان شمارای  کامل وجود دارد
۱۸۷.تابع  قدر مطلق  روی یک میدان مرتب
۱۸۸.منظور از مشخصه  یک میدان

مقدمه
ریاضیات، زبان دقیق اندیشه و بنیان استوار علوم است. آنچه این دانش را از دیگر شاخه‌های معرفت متمایز می‌سازد، انسجام منطقی، ساختار استدلالی و پیوستگی عمیق مفاهیم آن است. کتاب حاضر با عنوان «سیری در ریاضیات (۱)» تلاشی است برای ارائه‌ی نگاهی نظام‌مند و پیوسته به بخشی گسترده از مبانی ریاضیات جدید؛ از نظریه اعداد و ساخت دستگاه‌های عددی گرفته تا توپولوژی، نظریه اندازه، فضاهای باناخ و هیلبرت، جبرهای عملگری، آنالیز تابعی، نظریه مجموعه‌ها و مباحث پیشرفته‌ای چون آنالیز غیر استاندارد و اعداد ترتیبی.
هدف این اثر صرفاً گردآوری تعاریف و قضایا نیست، بلکه کوشیده‌ایم مسیر تاریخی و منطقی شکل‌گیری مفاهیم را نیز نشان دهیم؛ اینکه چگونه از اصل‌های ساده‌ای مانند اصول موضوعه پئانو، ساخت اعداد طبیعی آغاز می‌کنیم، به اعداد صحیح و گویا می‌رسیم، با دنباله‌های کوشی اعداد حقیقی را می‌سازیم، و سپس وارد جهان گسترده فضاهای نرم‌دار، فضاهای هیلبرت، اندازه لبگ، اندازه هار و جبرهای باناخ می‌شویم.
در این کتاب، خواننده به تدریج با مفاهیم بنیادین زیر آشنا خواهد شد:
ساختارهای عددی و گسترش آن‌ها (اعداد حقیقی، مختلط، همیلتون، فراحقیقی و p-ادیک)
مفاهیم اساسی توپولوژی و فشردگی، همبندی، متریک‌پذیری
نظریه اندازه و انتگرال
آنالیز تابعی و فضاهای باناخ و هیلبرت
جبرهای باناخ و عملگرهای خطی
میانگین‌پذیری و آرنز-منظم‌پذیری
اصول بنیادین نظریه مجموعه‌ها، اصل انتخاب و هم‌ارزی‌های آن
آنالیز غیر استاندارد و مفهوم بی‌نهایت کوچک و بزرگ
ساخت و ویژگی‌های اعداد ترتیبی و کاردینال
روش ارائه مطالب، تحلیلی ـ مفهومی است؛ بدین معنا که تلاش شده است پیوند منطقی میان موضوعات مختلف حفظ شود تا خواننده درک کند چگونه مفاهیم ظاهراً جداگانه، در ساختاری واحد و منسجم به هم متصل می‌شوند.
این کتاب می‌تواند برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی ریاضی، پژوهشگران حوزه آنالیز تابعی، توپولوژی و جبر مجرد، و نیز علاقه‌مندان جدی مبانی ریاضیات سودمند باشد. در عین حال، برخی بخش‌ها به گونه‌ای تنظیم شده‌اند که برای دانشجویان سال‌های پایانی کارشناسی نیز قابل استفاده باشد.
امید است این اثر بتواند گامی هرچند کوچک در جهت تعمیق نگاه ساختاری به ریاضیات و انس بیشتر با مبانی نظری آن باشد.
با سپاس
دکتر علی رجالی
استاد تمام گروه ریاضی

دانشگاه اصفهان
۱۴۰۴/۱۲/۶

فصل اول

شرحی بر مفاهیم ریاضیات(۱)

مقدمه
فهرست مطالب
۱.تعریف اعداد اول
۲.اصل پئانو در نظریهٔ اعداد
۳.ساخت اعداد صحیح
۴.ساخت اعداد  گویا
۵.دنباله های کوشی
۶.ساخت مجموعه اعداد  حقیقی
۷.معرفی زوج مرتب
۸.معرفی فضای اقلیدسی
۹.تفاوتR2 و مجموعه  اعداد  مختلط
۱۰نرمی که باعث می شود فضای  اقلیدسی  یک *C-جبر شود.
۱۱.نرمی که باعث می شود فضای اقلیدسی  یک فضای هیلبرت شود.
۱۲.مجموعه اعداد همیلتون
۱۳.معرفی اندازه لبگ در Rn.
۱۴.معرفی گروه های توپولوژیکی
۱۵.معرفی اندازه هار در گروهای توپولوژیکی.
۱۶.ضعیف ترین و  قوی‌ترین توپولوژی
۱۷.فضای تفکیک پذیر
۱۸.قضیه هاینه- برل
۱۹.توپولوژی حاصلضرب
۲۰. حاصلضرب  مجموعه های باز
۲۱.توپولوژی جعبه ای
۲۲.میانگین پذیری نیم گروه ها
۲۳.مثال هائی از نیم گروه های میانگین  پذیر
۲۴.میانگین پذیری  گروه ها ی خارج قسمت
۲۵.میانگین پذیری جبرهای باناخ
۲۶.مثال هائی از میانگین پذیری جبرهای باناخ
۲۷.میانگین پذیری جبرهای باناخ  خارج قسمتی
۲۸.آرنز- منظم پذیری جبرهای باناخ
۲۹. مثال های  از جبرهای  آرنز- منظم
۳۰. آرنز - منظم  پذیری  برخی جبرهای باناخ
۳۱.جبرهای باناخ عملگرهای  کراندار
۳۲.انواع توپولوژی  های  عملگری
۳۳. دوگان دوم جبرهای عملگری فشرده

 

مقدمه
ریاضیات، زبانی دقیق برای توصیف ساختار، تغییر و نظم است. قدرت آن در این است که می‌تواند از ساده‌ترین مفاهیم‌،
مانند اعداد طبیعی،
شروع کند و با تکیه بر اصول منطقی، مفاهیمی بسیار پیچیده همچون فضاهای تابعی، گروه‌های توپولوژیکی، اندازه‌های پایا و جبرهای باناخ را بنا کند.
هدف این مجموعه آن است که مسیر رشد ریاضیات را گام‌به‌گام و با زبانی روشن دنبال کند؛ مسیری که از بنیان‌های نظریهٔ اعداد آغاز می‌شود، وارد ساختارهای تحلیلی می‌گردد، سپس به دستگاه‌های هندسی و توپولوژیکی کشیده می‌شود و در نهایت به نظریهٔ عملگرها و جبرهای تابعی ختم می‌شود.
در این مجموعه، تلاش شده است تا مفاهیم مهم و بنیادی ریاضیات مدرن به شیوه‌ای ساختاریافته معرفی شوند. ابتدا با تعریف اعداد و اصول پئانو، ساخت اعداد صحیح، گویا و حقیقی آشنا می‌شویم؛ زیرا این مفاهیم شالودهٔ تمام تحلیل ریاضی هستند. سپس با فضاهای برداری، زوج‌های مرتب، فضاهای اقلیدسی و ساختارهای هنجاری و ضربی مرتبط با آن‌ها مواجه می‌شویم تا زمینه برای ورود به آنالیز تابعی و جبرهای باناخ فراهم شود.
در بخش‌های میانی این مجموعه، توپولوژی و نظریهٔ اندازه مطرح می‌شوند؛ زیرا فهم اندازهٔ لبگ، اندازهٔ هار، توپولوژی‌های ضعیف و قوی و فضاهای تفکیک‌پذیر برای ورود به ریاضیات پیشرفته ضروری است.
در گام‌های بعدی، مفاهیم عمیقی مانند میانگین‌پذیری نیم‌گروه‌ها و گروه‌ها، جبرهای باناخ، منظم‌بودن آرنز، و دوگان‌های عملگری بررسی خواهند شد تا مخاطب با مفاهیم نوین و برخی از پژوهش‌های فعال در آنالیز تابعی آشنا شود.
این سلسله مباحث، نقشه‌ای از سیر تکامل ریاضیات مدرن را پیش چشم مخاطب قرار می‌دهد:
از عدد تا فضا،
از فضا تا ساختار،
و از ساختار تا تحلیل پیشرفته.
امید است مطالعهٔ این مجموعه، علاقه‌مندان را در درک عمیق‌تر منطق درونی ریاضیات و سازگاری شگفت‌انگیز اجزای آن یاری دهد و زمینه‌ای برای پژوهش‌های بعدی فراهم آورد.

(۱) تعریف عددِ اوّل چیست؟

عددِ اوّل عددی طبیعی بزرگ‌تر از "۱ "است که دقیقاً دو مقسوم‌علیه متمایز دارد:
الف) خود عدد
ب) عدد یک
به‌عبارت دیگر، جز یک و خودش، مقسوم‌علیه دیگری ندارد. بنابراین عدد یک اوّل نیست.زیرا دارای
دو مقسوم‌علیه متمایز نیست.
بنابراین در تعریف استانداردِ ریاضیات عد یک نه اوّل است و نه مرکّب؛ یک عددِ واحد محسوب می‌شود.

(۲) اصل پئانو در نظریهٔ اعداد چیست؟
جواب:
این اصل می گوید،  مجموعه ای چون .N
و تابعی چون
f:N.-->N.
با خواص زیر وجود دارد.
۱.تابع f پوشا نیست: عضوی چون"0"  وجود دارد بقسمی که
f(n)#0
برای هر n در .N .
۲.تابع f یک به یک است.
۳.اگر S زیر مجموعه در .N باشد بطوری که شامل 0 باشدو اگر n در S باشد، آنگاهf(n) در S است.در این صورت .S=N.

 

(۳) مجموعه اعداد صحیح چیست؟
جواب:
هرگاه روی مجموعه
N.xN.
رابطه هم ارزی
(m,n)~(r,s)
اگر و تنها اگر
m+s= r+n
را تعریف کنیم. دراینصورت مجموعه تمام کلاس های هم ارزی این رابطه را با Z  نشان می دهیم و آن را مجموعه اعداد صحیح نامند.

(۴)🌼 مجموعه  اعداد گویا  چیست؟
جواب:
هرگاه رابطه هم ارزی روی حاصلضرب دکارتی

ℤ × ℤ
به صورت زیر تعریف کنیم:
(m,n)~(r,s)
اگر و تنها اگر
ms=rn
شود.دراین صورت مجموعه ایجاد شده توسط تمام کلاس های هم ارزی این رابطه را باℚ نشان می دهند و آن را مجموعه  اعداد گویا نامند.مجموعهℚ با اعمال جمع و ضرب معمولی یک میدان شمارا می باشد.

 

 

 

(۵) دنباله کوشی چیست؟
جواب:
یک دنباله حقیقی،تابعی است:
x:N-->R
.چنانچه
xn:=x(n)
برای هر عدد طبیعی n تعریف  شود.در اینصورت
  می نویسند
x:=(xn)
و آن را یک دنباله حقیقی گویند.چنانچه برای هر عدد حقیقی  مثبت"r" عدد K موجود باشد بقسمی که برای m,n بزرگتر از K داشته باشیم:
|xn-xm|<r
در اینصورت  دنباله
( xn)
را کوشی نامند.چنانچه اعضای یک دنباله کوشی،  اعداد گویا، باشند.در اینصورت  دنباله را کوشی گویا نامند.

(۶)مجموعه اعداد  حقیقی  چیست؟

جواب:
چنانچه یک رابطه هم ارزی روی حلقه دنباله های کوشی گویا به صورت زیر تعریف کنیم:
(xn)~(xm)
اگر و تنها اگر
(xn- xm)-->0
در اینصورت مجموعه  تمام کلاس های  هم ارزی این رابطه  را با R نشان می دهند و آن را مجموعه اعداد  حقیقی  نامند.مجموعهR  با جمع، ضرب ، و ترتیب معمولی یک میدان مرتب کامل ناشمار است. بعلاوه تحت یکریختی ترتیبی ، بین میدان های مرتب کامل، یکتاست.

 

 

(۷) منظور از زوج مرتب چیست؟
جواب:
هرگاهb,a دو عضو دلخواه از مجموعه هایB,A به ترتیب باشند، در اینصورت زوج مرتب:
(a,b)={{a},{a,b}}
تعریف می شود.بدیهی است:
(a,b)=(c,d)
اگر و تنها اگر
a=c و  b=d
مجموعه تمام زوج های مرتب
(a,b)
را باAxB نشان می دهند و آن را حاصل ضرب دکارتیA وB نامند.چنانچه
، A=B
بجای
AxB
می نویسند
.A۲
به کمک استقرا،
(a1,a2,...,an)
=
((a1,a2,...an-1),an)
تعریف می شود.مجموعه تمام n- تائی ها از عناصرAرا با
An
نشان می دهند.

(۸) فضای اقلیدسی چیست؟
جواب:
مجموعه ' R n ' شامل تما n- تائی های مرتب در R را فضای اقلیدسی نامند.بدیهی است Rn  ، یک فضای نرم دار کامل(باناخ) است ، که در آن
برای هر
a=(a1,a2,..an)
درRn ،داریم
|a|2=(a1)2+...+(an)2
و آن را نرم اقلیدسی  نامند.تمام نرم های در
Rn
، با یکدیگر معادلند.به عبارت دیگر، اگر
|.|1 , |.|2

دو نرم دلخواه درRn ، باشند آنگاه اعدادr ,s
وجود دارند بطوری که
r|a|1<|a|2<s|a|1
برای هرa در Rn.

 

(۹) فرق فضای  اقلیدسیR2 با مجموعه اعداد مختلط چیست؟

جواب:
دو فضای R2 و C با جمع معمولی و ضرب اسکار به عنوان دو فضای باناخ طولپا یکسان هستند.بدیهی است R2 با ضرب مولفه ای:
(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)

یک جبر باناخ است.همچنین مجموعه اعداد مختلطC با ضرب معمولی:
(a+bi)(c+di)= (ac-bd,ad+bc)
یک جبر باناخ است.بدیهی است کهR2 و C به عنوان دو جبر باناخ یکریخت نمی باشند.

(۱۰) نرمی که باعث  می شو د Cn یک *C -جبر شود چیست؟
جواب:
هرگاه
a=(a1,a2,...,an)
درCn باشد، آنگاه:

|a|1:=|a1|+|a2|+..+|an|
یک نرم درCn است، که آن را 1- نرم گویند.
۲.هرگاه
|a|p:=[(|a1|p+..+|an|p)](1/p)
در این صورتp|.| را یک p- نرم نا مند.
۳.هر گاه
|a|..=max{|a1| ,..., |an|}
دراین صورت  این بینهایت- نرم ، یک *C- نرم درCn است.
۴.تمامp- نرم ها معادلند.لذا تعداناشمارا نرم معادل درCn داریم که همگی با نرم اقلیدسی معادلند.

 

 

 

 

(۱۱) نرمی که باعث  می شو د Cn یک فضای هیلبرت شود چیست؟
جواب:
۱. هرگاه
a=(a1,a2,...,an)
و
b= (b1,b2,...,bn)

در Cn و rj اعداد حقیقی  مثبت باشند، آنگاه:

<a،b>=r1a1b1+r2a2b2+...+rnanbn
یک ضرب داخلی درCn است.

۲.چنانچه

|a|=/<a,a>
آنگاه ( |.| , Cn) یک فضای حاصلضرب  داخلی کامل(هیلبرت) است.

۳.بنابراین Cn ، توسط تعداد ناشمارا ضرب داخلی، به یک فضای هیلبرت  تبدیل می شود.

۴.در حالت خاص، Cn ، با حاصلضرب داخلی  زیر، نرم اقلیدسی  را ایجاد می کند.
<a,b>=a1b1+a2b2+...+anbn

(۱۲) مجموعه اعداد همیلتون چیست؟
جواب:
هرگاه
H=R4
و سه نمادi,j,k در خواص زیر صدق کنند،
۱.
i2=j2=k2=-1
۲.
ij=k, jk=i,ki= j
۳.
ji=-k ,kj=-i ,ik=- j
در اینصورت چنانچه هر چهار تائی از اعداد  حقیقی ،
a=(a1,a2,a3,a4)
را به صورت زیر نمایش دهیم:
a=a1+a2i+a3j+a4k
در اینصورتH با اعمال زیر یک حلقه بخشی است(تنها خاصیت جابجایی میدان را ندارد) که آن را حلقه همیلتون نامند.
الف)هرگاهa,b در H باشند، آنگاه
a+ b:=( a1+b1)+( a2+ b2) i+( a3+b3)j+(a4+ b4) k
ب)
a.b:=c1+c2i+c3j+ c4k
که در آن
c1=a1b1-a2b2-a3b3- a4b4
c2=a1b2+a2b1+a3b4-a4b3
c3=a1b3-a2b4+a3b1+a4b2
c4=a1b4+a2b3-a3b2+ a4b1
    بدیهی است فضای همیلتونH با R4 به عنوان دو فضای باناخ  طولپا همانریخت می باشند ولی به عنوان دو جبر باناخ یکریخت نمی باشند.

 

(۱۳)🌸 سوال: اندازه لبگ در فضای اقلیدسی چیست؟

جواب:
🌸 در فضای اقلیدسی، معمولاً منظور از اندازه لبگ در R  طول، در صفحه مساحت، و در فضا حجم یک جسم می‌باشد.
🌸 در فضایn -بعدی، انتگرال لبگ، حجم n-بعدی محصور به نمودار تابع لبگ- اندازه پذیر

f: D -->R
را مشخص  می کند.
🌸 خاصیت اصلی اندازه لبگ این است که با انتقال در فضا، اندازه لبگ یک مجموعه تغییر نمی‌کند.
       برای علاقه‌مندان، مطالعه آنالیز حقیقی اثر رودین برای معرفی دقیق اندازه لبگ توصیه می‌شود. لازم به ذکر است که در انتگرال ریمان با افراز دامنه تابع، انتگرال توابع قابل تعریف است، اما در انتگرال لبگ، با استفاده از برد تابع، انتگرال تعریف می‌شود.

(۱۴) گروه‌های توپولوژیکی چیست؟

🌸 جواب:
۱. هرگاه (. , G) یک گروه باشد به طوری که با توپولوژی تعریف شده در آن، اعمال ضرب و وارون پیوسته باشند، آنگاه  G را یک گروه توپولوژیکی نامند.

🌸 ۲. هرگاه عمل ضرب در یک نیم‌گروه S تواما (به طور مجزا) پیوسته باشد، آنگاه S را نیم‌گروه توپولوژیکی (نیم-توپولوژیکی) می‌گویند.

🌸 ۳. ساده‌ترین گروه توپولوژیکی، فضای اقلیدسی با نرم اقلیدسی و عمل جمع معمولی می‌باشد. لازم به ذکر است که Rn  با توپولوژی اقلیدسی، یک فضای موضعاً فشرده و هاسدورف است.

(۱۵) اندازه هار در گروه‌های توپولوژیکی چیست؟

🌸 جواب:
     ۱. بعد از معرفی اندازه لبگ، به عنوان یک اندازه مثبت، منظم و پایا که تحت مضربی ثابت یکتاست، ریاضی‌دانان در تلاش بودند که وجود چنین اندازه‌ای را برای گروه‌ها اثبات کنند. هرگاه G  یک گروه توپولوژیکی موضعاً فشرده و هاسدرف باشد،" هار " نشان داد که چنین اندازه‌ای وجود دارد.

🌸 ۲. هرگاه S  یک نیم‌گروه توپولوژیکی باشد، آنگاه در حالت کلی، چنین اندازه‌ای وجود ندارد. این نشان می‌دهد که ساختار جبری و توپولوژیکی نقش اساسی در وجود چنین اندازه‌ای دارد.

🌸۳.  برای علاقمندان، مطالعهٔ کتاب آنالیز هارمونیک مجرد، جلد اول اثر هویت و راس توصیه می‌شود.

 

 

(۱۶) ضعیف‌ترین و قوی‌ترین توپولوژی چیست؟
جواب:
🌺 ۱. تعریف توپولوژی
هرگاه X یک مجموعهٔ غیرتهی باشد و T خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های X به‌گونه‌ای که:
الف) تحت اجتماع دلخواه بسته باشد،
ب) تحت اشتراک متناهی بسته باشد،
ج) شامل مجموعهٔ تهی و خود X باشد،
در این صورت T را یک توپولوژی روی X می‌نامند. زوج(X,T) را فضای توپولوژیکی و عناصر Tرا مجموعه‌های باز X می‌گویند.

🌺 ۲. ضعیف‌ترین و قوی‌ترین توپولوژی روی یک مجموعه

الف) اگر {Q,X} =.T ، آنگاه این توپولوژی را ضعیف‌ترین  توپولوی رویX نامند.
ب) اگر  ( T1= (P(X شامل تمام زیرمجموعه‌های X باشد، آنگاه T1 قوی‌ترین توپولوژی روی Xاست.
بنابراین تحت رابطه شمول:

T.<T<T1
(۱۷) چرا فضای اقلیدسی تفکیک‌پذیر است؟

🌸 جواب:
۱. هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی و A زیرمجموعه‌ای شمارا و چگال در X  باشد، آنگاه فضای توپولوژیک (X,T)  را تفکیک‌پذیر گویند.

۲. هرگاه A  و B زیرمجموعه‌های X  باشند، آنگاه بستار حاصلضرب Ax B، برابر حاصلضرب بستار ها   ی A و B در توپولوژی  حاصلضرب  است.به عبارتی دیگر:

Cl(A x B) = Cl(A) xCl(B)

۳. هرگاه  Q مجموعهٔ شمارای اعداد گویا در R  باشد، آنگاه Q  با توپولوژی اقلیدسی در R چگال است. بنابراین، با توجه به قسمت دوم، Qn در  Rn چگال می‌شود و لذا  Rn یک فضای تفکیک‌پذیر است.

(۱۸) آیا قضیهٔ هاینه–برل در فضای اقلیدسی با توپولوژی‌های گوناگون برقرار است؟
جواب:

۱. هرگاه1|.| و2|.| دو نرم در Rn باشند، آنگاه  دو نرم معادل‌اند. بنابراین توپولوژی‌های یکسانی ایجاد می‌کنند که همان توپولوژی اقلیدسی است.بنابراین  قضیه هاینه برل برایT1 و T2   برقرار است.

۲. هرگاه d متریک بدیهی روی Rn باشد، آنگاه توپولوژی Td گسسته  ،برابر با (Rn) P ،خواهد بود. بنابراین Rnبا متریک بدیهی مجموعه ای بسته و کراندار است، ولی فشرده نیست.بنابراین قضیه هاینه- برل در فضای  متریک  برقرار نیست.

۳. در فضای توپولوژیکی گسسته، مجموعه‌های فشرده متناهی هستند وبر عکس.

 

 

(۱۹) توپولوژی  حاصلضرب  چیست؟

جواب:
۱.هرگاه(Ai)  خانواده ای از فضاهای  توپولوژیکی، برای i در I ، باشند و A اجتماع Ai
ها باشد.در این صورت مجموعه همه توابع
x:I-->A
را حاصلضرب Ai ها نامند.

۲.هرگاه
xi:=x(i)
در این صورت حاصلضرب Ai ها را به صورت زیر نمایش می دهند:
P(Ai):={(xi):Ai در xi}

۳.حاصلضرب متناهی از مجموعه های باز درAi و  Ajها (برای j#i )تشکیل یک پایه برای توپولوژی حاصلضرب  می دهد.
۴.در حالت خاص، اگر
I:={1,2,...,n}
آنگاه یک تناظر دوسوئی بین
P(Ai)
و
A1xA2x...xAn
تحت نگاشت،
x-->(x1,x2,...,xn)
وجود دارد.

(۲۰) آیا حاصلضرب  دلخواه  از مجموعه های باز، در توپولوژی  حاصلضرب،  یک مجموعه  باز است؟

جواب:
۱.هرگاه
Ai=(ai , bi)
با توپولوژی  اقلیدسی،برایi درN.دراین صورت
P(Ai)
در توپولوژی  حاصلضرب اقلیدسی باز نمی باشد، اگر چه هر فاصله باز در R مجموعه ای باز است.

۲.هرگاه(Xi ,Ti) فضاهای  توپولوژیکی  باشند ،آنگاه حاصلضرب  دلخواه از مجموعه های بسته در Xi، یک مجموعه  بسته است و بر عکس.در حقیقت:
Cl(P(Di))=P(Cl(Di))
برای مجموعه های Di در فضای توپولوژیکی Xi.

۳.همچنین،طبق قضیه  تیخونوف،
P(Ci)
در توپولوژی  حاصلضرب  فشرده است اگر و تنها اگر هر  Ci در Xi فشرده باشد.

(۲۱) توپولوژی  جعبه ای  چیست؟

جواب:
۱.هرگاه(Xi)  خانواده ای از فضاهای  توپولوژیکی، برای i در I ، باشند . در این صورت خانواده  حاصلضرب های دلخواه از مجموعه های باز در Xi، تشکیل یک پایه برای توپولوژی جعبه ای   می دهند.

۲.بر خلاف توپولوژی  حاصلضرب، 
P(Ui)
در توپولوژی  جعبه ای باز است اگر و تنها اگر هر Ui در Xi باز باشد.

۳.توپولوژی حاصلضرب ضعیف  تر از توپولوژی  جعبه ای است.
۴.در مباحث توپولوژی،  توپولوژی  جعبه ای  در مثال های نقض، بیشتر کاربرد دارد.بعلاوه در توپولوژی  عمومی، از اهمیت کمتری برخودار است.

(۲۲) میانگین پذیری نیم گروه ها چیست؟
جواب:
۱.هرگاه S یک نیم گروه گسسته و M تابعکی مثبت روی
loo(S)
بطوری که
الف)
M(1S)=1
ب)
M(xf)=M(f)
برای هرx در S و هر تابع مختلط-مقدار و کراندار f روی S.
در این صورت S را میانگین پذیر چپ گویند.

۲.بطریق مشابه S را میانگین پذیر راست است، اگر یک میانگین پایان راست روی
loo(S)
موجود باشد.
۳ نیم گروه S را میانگین پذیر گویند، اگر یک میانگین پایای دو طرفه روی
loo(S)
موجود باشد.

۴.می توان نشان داد که S میانگین پذیر است اگر و تنها اگر S میانگین پذیر چپ و راست باشد.

       برای اثبات و مطالعه  خواص میانگین پذیری نیم گروه ها ، خواننده را به مطالعه آنالیز هارمونیک مجرد  اثر  هویت و رأس توصیه می کنم.

 

 

(۲۳) مثال‌هایی از نیم گروه های میانگین  پذیر

۱. هر نیم گروه آبلی میانگین پذیر است.

۲.گروه های آزاد تولید شده توسط  دو عنصر، میانگین پذیر نیست.

۳. هرگاه S یک نیم گروه چپ باشد، آنگاه S میانگین پذیر چپ است ولی میانگین پذیر راست نیست.

۴.هرگاه گروه G میانگین پذیر چپ باشد، آنگاه G میانگین پذیر دو طرفه است.

۵.هر گروه متناهی
G={x1,..,xn} 
میانگین پذیر است و

M(f)=[f(x1)+...+f(xn)]/n
یک میانگین  پایا روی
loo(G)
می باشد.

(۲۴) میانگین  پذیری گروهای خارج قسمت

۱.هرگاه G یک گر وه توپولوژیکی موضعا فشرده و هاسدورف باشد بطوری که یک میانگین پایا روی
Loo(G)
موجود باشد، آنگاه G را میانگین پذیر گویند.

۲.هرگاه G میانگین پذیر و H زیر گروه G باشد، آنگاه H میانگین پذیر است.

۳.هرگاه G میانگین پذیر و H زیر گروه نرمال و بسته در G باشد، آنگاه گروه موضعا فشرده و هاسدورف خارج قسمت
G/H
میانگین پذیر است.

۴.گروه G میانگین پذیر است اگر و تنها اگر
G/H و H
میانگین پذیر باشند.

(۲۵) میانگین پذیری جبر باناخ چیست؟

جواب:
۱.هرگاه A یک جبر باناخ و X یک A-دومدول باناخ باشد،  بطوری که هر مشتق پیوسته از  A به A-دومدول دوگان
X*
یک مشتق درونی باشد.دراین صورتA را میانگین پذیر گویند.

۲.هرگاه هر مشتق پیوسته
D:A-->A*
درونی باشد، آنگاه A را میانگین  پذیر ضعیف  نامند.

۳.بدیهی است که اگر A  میانگین  پذیر باشد، آنگاه A میانگین پذیر ضعیف است، ولی عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.

۴.اکر جبر دوگان دوم ، **A  با ضرب آرنز، میانگین پذیر باشد آنگاه A میانگین پذیر است، ولی عکس آن در حالت کلی برقرار  نیست.

(۲۶) چند مثال از میانگین پذیری جبرهای باناخ

جواب:
هرگاه G یک گروه توپولوژیکی هاسدورف و موضعا فشرده  باشد. در این صورت:
۱.جبر باناخ گروهی
L1(G)
میانگین پذیر است اگر و تنها اگر گروه G میانگین پذیر باشد.

۲.جبر اندازه
M(G)
میانگین  پذیر است اگر و تنها اگر گروه G میانگین  پذیر و گسسته باشد.

۳.جبر گروهی،
L1(G)
همواره میانگین پذیر ضعیف است.

۴.جبر باناخ اندازه
M(G)
میانگین پذیر  ضعیف است اگر و تنها اگر G گسسته باشد.

۵.جبر اندازه
**M(G
میانگین  پذیر است اگر و تنها اگر
**L1(G)
میانگین پذیر باشد اگر و تنها اگر گروه G متناهی باشد.

     برای مطالعه میانگین  پذیری جبرهای  باناخ، خواننده را به مقالات دکتر فریدون قهرمانی و کتاب جبر باناخ دیلز ، ارجاع می دهم.

 

(۲۷) میانگین پذیری جبرهای باناخ خارج قسمتی

جواب:
هرگاه A یک جبر باناخ و I یک ایدآل بسته در A باشد.در این صورت:

۱.اگر A میانگین پذیر باشد،  آنگاه A دارای تقریب همانی کراندار است.

۲.هرگاه A میانگین پذیر و B یک زیر جبر بسته A با تقریب همانی کراندار باشد، آنگاه B میانگین پذیر است.

۳.هرگاه A میانگین پذیر باشد، آنگاه جبر باناخ خارج قسمتی A/I میانگین پذیر است.

۴.هرگاه ایدآل بسته I دارای تقریب  همانی کراندار باشد.در این صورت A میانگین پذیر است اگر و تنها اگر ایدآل I و جبر باناخ  A/I میانگین پذیر باشند.

   برای اثبات و مطالعه، میانگین پذیری جبرهای باناخ و میانگین  پذیر ی گروه ها، خواننده را به کتاب میانگین پذیری اثر پترسون ارجاع می دهم.

(۲۸) آرنز- منظم پذیری  جبر باناخ چیست؟

جواب:
هرگاه A یک جبر باناخ باشد، آنگاه دوگان دوم A، که با **A"= A نشان می دهند ، با دو عمل به نام های ضرب آرنز اول وضرب آرنز دوم ، جبرهای باناخ می باشند.

۲.در حالت کلی، این دو ضرب آرنز یکسان نمی باشند.چنانچه این دو عمل ضرب آرنز یکسان باشند، آنگاه جبر باناخ A را آرنز- منظم گویند.

۳.هرگاه **A ، یک جبر باناخ آرنز منظم باشد،آنگاه A آرنز- منظم است اما عکس آن در حالت کلی برقرار نیست.

۴.درحات کلی ، مرکز توپولوژیکی اول و دوم ، بین A و **A قرار دارند.جبر باناخ A آرنز - منظم است اگر  و تنها اگر
**Z1(A")=A
یا
**Z2 (A")=A
     برای مطالعه و خواص آرنز- منظم پذیری جبرهای باناخ، خواننده را به کتاب ، دوگان دوم جبرهای بیورلینگ، اثر دیلز و لائو در این خصوص  توصیه  می نمایم

 

 

 

(۲۹) چند مثال از جبرهای باناخ آرنز منظم

جواب
هرگاه G یک گروه توپولوژیکی  هاسدورف و موضعا  فشرده باشد.در این صورت:

۱.گروه جبری[ جبر اندازه]
L1(G) [M(G)]
آرنز منظم است آگرو تنها اگر
L1(G)" [M(G)"]
آرنز منظم باشد.اگر و تنها اگر گروه G متناهی باشد.

۲.گروه جبری وزندار[جبر اندازه وزندار]
L1(G,w) [M(G w)]
آرنز منظم  اگر و تنها اگر گروه G متناهی یا تابع
Q(x,y)=w(xy)/w(x)w( y)
صفر - حدی باشد.

۳.هرگاه
G=(Z×Z ,+)
و
w(n,m)=(1+|n|)(1+|m|)
در این صورت مرکز توپولوژیکی
l1(G ,w)**
بطور اکید بین
l1(G ,w)
و
**l1(G ,w)
قرار دارد.

(۳۰) آرنز- منظم پذیری برخی جبرهای باناخ

جواب:
۱.هرگاه I یک ایدآل بسته در جبر باناخ آرنز منظم A باشد، در این صورت ایدال I و جبرباناخ A/I آرنز منظم هستند.

۲.هر گاه
wap(A)
مجموعه تمام تابعک های تقریبا ضعیف  دوره ای روی A باشند.در اینصورت جبر باناخ A آرنز- منظم است اگر و تنها اگر
*wap(A)=  A

۳.هر *C -جبر باناخ، آرنز منظم می باشد.در حالت خاص، *C- جبر جابجائی
C.(X)
و جبر باناخ عملگرهای کراندار روی فضای هیلبرت
B(H)
آرنز منظم هستند.

(۳۱) جبرهای عملگری چیست؟

جواب:
هرگاه H یک فضای هیلبرت باشد، آنگاه:
🌻 ۱. جبر باناخ همهٔ عملگرهای پیوسته از H به خودش را با
B(H)

نشان می‌دهند.

🌸 ۲. زیرجبر باناخِ عملگرهای فشرده روی H را با
K(H)

نشان می‌دهند.

🌼 ۳. دوگانِ دومِ عملگرهای فشرده، به عنوان دو فضای باناخِ طولپا، با جبر عملگری پیوسته یکریخت‌اند. به عبارتی دیگر:
K(H)**= B(H)

🌺 ۴. جبر باناخِ عملگرهای متناهی‌المرتبه را با
F(H)

نشان می‌دهند.

🌷 ۵. دوگانِ دومِ عملگرهای متناهی‌المرتبه، به عنوان فضای باناخِ طولپا، با عملگرهای فشرده یکریخت است. به عبارتی دیگر:
F(H)**= K(H) 

 

(۳۲) توپولوژی  عملگری  چیست؟

جواب:
🔵 ۱. نرم-توپولوژی
هرگاه دنباله (Tn) در (B(H باشد، در این صورت:
Tn--> T اگر و تنها اگر
||Tn - T||-->0

🟢 ۲. توپولوژی قوی عملگری :
T--> T اگر و تنها اگر
  برای هر x درH
Tn(x)-->T(x)

🟣 ۳. توپولوژی ضعیف عملگری:
Tn-->T  اگر و تنها اگر
<Tx,y> --><Tx,y>
   برای هر x و y در H.

🟠 ۴. توپولوژی σ-قوی :
در فضاهای هیلبرت تعریف می‌شود:
Tn--> T اگر و تنها اگر
Tn*-->T* و Tn-->T

🔴 ۵. توپولوژی ضعیف - ستاره :
Tn-->T اگر و تنها اگر
Tn(x)-->T(x)
برای هر x در (T(H   بطوری که
  K( H)*=T( H)

(۳۳) دوگان دوم فضای عملگری فشرده چیست؟

جواب:
هرگاه X و Y فضاهای باناخ باشند، در این صورت:

🌷 ۱. اگر A(X,Y) فضای تمام عملگرهای تقریب‌پذیر از X به Y باشد، در این صورت:

K(X,Y)**= A(X,Y**)

🌹 ۲. اگر فضای X یا Y انعکاسی باشند، آنگاه:

K(X,Y)**= B(X,Y)

💐 ۳. اگر X دارای خاصیت تقریب باشد، در این صورت:

K(X,Y)**= K(X,Y**)

۴.برای اثبات و مطالعه جبرهای عملگری، خواننده را به کتاب نظریهٔ عملگرها، اثر دانفورد و شوارتز ارجاع می دهم.

فصل دوم

 

مقدمه 
در این فصل وارد یکی از بنیادی‌ترین شاخه‌های آنالیز ریاضی می‌شویم: آنالیز تابعی و توپولوژی عمومی.
در این بخش مفاهیمی بررسی می‌شوند که زیربنای بسیاری از نظریه‌های پیشرفته ریاضی، فیزیک ریاضی، معادلات دیفرانسیل، نظریه کوانتوم و حتی یادگیری ماشین هستند.
محور اصلی این فصل مطالعه‌ی فضاهای برداری با ساختار توپولوژیکی و اندازه‌ای است؛ یعنی فضاهایی که علاوه بر عملیات جبری، مفاهیم همگرایی، پیوستگی، فشردگی و اندازه نیز در آن‌ها معنا پیدا می‌کند.
در این فصل به موضوعات زیر می‌پردازیم:
قضیه هان–باناخ که یکی از ستون‌های اصلی آنالیز تابعی است و امکان بسط تابعک‌های خطی را فراهم می‌کند.
مفهوم فضای دوگان و نقش آن در مطالعه ساختار فضاهای برداری.
بررسی فضاهای توپولوژیکی برداری و ویژگی‌های مهم آن‌ها.
آشنایی با فضاهای هیلبرت که پایه ریاضیات کوانتومی و نظریه فوریه هستند.
مطالعه‌ی فضاهای  که در نظریه اندازه و انتگرال لِبِگ کاربرد اساسی دارند.
مفاهیم بنیادی توپولوژی مانند همبندی، فشردگی، همگرایی و تورها.
آشنایی با نظریه اندازه و اندازه‌پذیری و نقش آن در تحلیل توابع.
این فصل پلی است بین جبر خطی پیشرفته، توپولوژی و نظریه اندازه؛ و فهم دقیق آن برای ورود به مباحث پیشرفته آنالیز ضروری است.

 

(۳۴)قضیه  هان- باناخ چیست؟

جواب:
قضیۀ هان–باناخ یکی از بنیادی‌ترین قضایا در آنالیز تابعی است و چند صورت مختلف دارد. در ادامه، بیان‌های اصلی آن را به‌صورت ساده و دقیق می‌آوریم:

۱. 🌷 قضیۀ هان–باناخ (در فضای برداری)

اگر X یک فضای برداری روی R یا C باشد،و
p:X-->R
یک تابع زیرخطی باشد،.چنانچهYیک زیر فضای X باشد. هرگاه
f:Y-->R
یک تابع خطی باشد به‌طوری‌که برای هر y درY :

f(y)< p(y), 

آنگاه می‌توان f را به یک تابع خطی
F :X-->R
گسترش داد بطوری که برای هر  x در X:

F(x)< p(x). 

یعنی تابع خطی تعریف‌شده روی یک زیر فضا را می‌توان با حفظ نامساوی‌ها روی کل فضا گسترش داد.

۲.🌷  قضیۀ هان–باناخ (در فضای نرمدار)

اگر Y یک زیر فضا از فضای نرمدار X باشد،
و
f:Y-->C
یک تابع خطی کران‌دار باشد، آنگاه تابعی خطی کران‌دار
F:X-->C
وجود دارد به‌طوری‌که:

F|Y = f, 

|

|F|| = ||f||

یعنی هر تابع خطی کران‌دار روی یک زیر فضای نرمدار را می‌توان با همان نُرم به کل فضا گسترش داد.

۳.🌷قضیۀ هان–باناخ (تفکیک پذیری)

در یک فضای برداری توپولوژیک موضعا محدب، اگر A ,B دو مجموعهٔ محدب و جدا از هم باشند، آنگاه یک تابع خطی پیوسته وجود دارد که این دو مجموعه را از هم جدا می‌کند.

      قضیه هان باناخ، وجود تابع‌های خطی غیرصفر روی فضاهای برداری بزرگتر را تضمین می‌کند.و آن مبنای دوگان‌سازی در آنالیز تابعی است.
       در نظریۀ توابع خطی کران‌دار، فضاهای هیلبرت  ، فضای باناخ، و نظریۀ اندازه نقش کلیدی دارد.

(۳۵)
فضای دوگان چیست؟

جواب:
۱. 🌷هرگاه X و Y فضاهای نرم دار باشند.در این صورت  تابع خطی
T:X-->Y
پیوسته است اگر و تنها اگر T کراندار باشد.به عبارت دیگر مجموعه
{ T(x)  :| x|<1}
درY کراندار باشد.

۲. 🌷 مجموعه تمام توابع خطی کراندار از X به Y را با
B(X,Y)
نشان می دهند.

۳. 🌷هرگاه Y یک فضای باناخ باشد، آنگاه
B(X,Y)
یک فضای  باناخ است.

۴.🌷 در حالت خاص  اگر
Y=C
آنگاه
X*:=B(X,C)
را فضای دوگان X نا مند.

۵.هرگاه X یک فضای باناخ باشد، آنگاه با بکارگیری قضیه هان باناخ، فضای باناخ دوگان *X نقاط متمایز X را جدا می کند.

(۳۵)
چند مثال از فضای دوگان

جواب:
   هرگاه G یک گروه توپولوژیکی موضعا فشرده و هاسدورف باشد. در این صورت:

۱. 🌷دوگان جبر گروهیL1(G) :
L1(G)*=Loo(G)
به عنوان دو جبر باناخ طولپا.

۲. 🌷دوگان جبر C.(G) :
C.(G)*=M(G)
به عنوان دو جبر  باناخ طولپا.به عبارت دیگر جبر اندازه
M(G)
یک جبر دوگان است و
C.(G).M(G)
و
M(G).C.(G)
زیر مجموعه های
C.(G)
هستند.

۳.🌷  دوگان جبر اندازه M(G) :
M(G)*=Gl(G)
به عنوان  دوجبر باناخ طولپا بطوری که
Gl(G)
جبر باناخ توابع تعمیم یافته  اندازه پذیر روی G هستند،

۴.🌷 در حالت کلی،
C.(G)
پیش دوگان ندارد.

 (۳۷)
فضای توپولوژیکیِ برداری چیست؟

🌸 جواب:
۱. هرگاه  (. ,+,V) یک فضای برداری باشد و T یک توپولوژی هاسدورف روی  V تعریف شود، به‌گونه‌ای که اعمال جمع و ضرب اسکالر در آن پیوسته باشند، آنگاه V را یک فضای توپولوژیکیِ برداری می‌نامند.

🌸 ۲. اگر V دارای پایه‌ای موضعاً محدب در اطراف صفر باشد، در این صورت V را یک فضای برداریِ توپولوژیکیِ موضعاً محدب می‌گویند.

🌸۳.تابعک خطی غیر صفر،
f:V-->C
پیوسته  است اگر و تنها اگر هسته
Ker(f)
بسته باشد.

🌸 ۴. هر فضای توپولوژیکیِ برداریِ موضعاً فشرده ، یک فضای متناهی‌البُعد است.

     برای مطالعهٔ بیشتر و اثبات این مفاهیم در آنالیز تابعی، خواننده به کتاب آنالیز تابعی رودین ارجاع داده می‌شود.

(۳۸)
چند خاصیت فضاهای توپولوژیکی برداری

جواب:
      هرگاهV یک فضای  توپولوژیکی برداری  و A و B زیر مجموعه‌های V باشند. در اینصورت:

🌸 ۱.اگر A و B مجموعه های کراندار درV باشند، آنگاه A+B نیز کراندار است.

🌸 ۲.اگر A و B مجموعه های  فشرده درV  باشند، آنگاه A+B نیز فشرده  است.

🌸 ۳.اگر A  فشرده وB مجموعه ای بسته در V باشد ، آنگاه A+B بسته است.

🌸 ۴.اگر A و B مجموعه های بسته در V باشند، در حالت کلی A+B لزومی ندارد که بسته باشد.

(۳۹)
قضیه هان باناخ در فضاهای توپولوژیکی برداری چیست؟

جواب:
🌸 ۱.هرگاه p یک نیم نرم روی  یک فضای  توپولوژیکی حقیقی  (X,T)  و Y یک زیر فضای برداری X باشد.هرگاه
f:Y-->R
تابعکی خطی و پیوسته  باشد بطوری که f کمتر یا مساوی p روی Y باشد . در این صورت تابعک
F:X-->C
کمتر یا مساویp روی X وجود دارد بقسمی که
F|Y=f

🌸۲.هرگاه M و N زیر مجموعه های مجزا و محدب در فضای توپولوژیکی X باشند بطوری که M یا N حداقل یک نقطه درونی داشته باشند، آنگاه تابعک f در فضای  برداری *X وجود دارد بطوری که نقاط X را از هم جدا می کند.

🌸 ۳. در فضای برداری موضعا محدب،  فضای برداری *X، نقاطX را جدا می کند.

 (۴۰)
فضای هیلبرت  چیست؟

جواب
🌸 ۱.هرگاه H یک فضای برداری  مختلط ، مجهز به یک ضرب داخلی باشد. در این صورت H با نرم ایجاد شده توسط ضرب داخلی یک فضای نرمدار است. اگر H با توپولوژی ایجاد شده توسط  نرم ، کامل باشد.در اینصورت H را  یک فضای هیلبرت می نامند.

🌸 ۲.هرگاه f در دوگان *H باشد ، آنگاه عنصر یکتایی مانند h در H وجود دارد بطوری که
f(x)=<x,h>
برای هرx در H. به عبارت دیگر
H*=H

🌸 ۳.هرگاه H یک فضای  هیلبرت  دلخواه باشد، آنگاه H دارای پایه متعامد یکه ماکسیمال
B ={ur : A در r}
می باشد بطوری که
H=l۲(A)
تحت نگاشت
x-->x^
بقسمی که
x^(r)=<ur , x>
برای هر r در A.

(۴۱)

چند مثال از فضای  هیلبرت

جواب:
🌸 ۱.هرگاه G یک گروه توپولوژیکی  فشرده ، آبلی، و هاسدورف  باشد. در اینصورت:
L۲(G)=l۲(G^)
به عنوان دو فضای باناخ طولپا ، که در آن  ^G گروه توابع ضربی غیر صفر روی G می باشد.

🌸 ۲.در حالت خاص :
L۲(T)=l۲(Z)
کهT گروه فشرده دایره یکه در صفحه می باشد.

🌸 ۳.هرگاه G=T ، آنگاه
G^=Z
چنانچه G=Z، آنگاه
G^= T

🌸 ۴.هرگاه G یک گروه متناهی یا مجموعه اعداد حقیقیی با عمل جمع باشد ، آنگاه
G^=G


   برای اثبات و مطالعه فضای  هیلبرت و فضای دوگان گروه ، خواننده را به آنالیز هارمونیک مجرد ، جلد یک و دو ، هویت  رأس و آنالیز حقیقی  رودین ارجاع می دهم.

(۴۲)
فضای مشخصه چیست؟

جواب:
🌸 ۱ .هرگاه A یک جبر باناخ جابجایی  باشد ، آنگاه مجموعه تمام توابع  ضربی  غیر صفر روی A را فضای مشخصهA نامند و با
D(A)
نشان می دهند. بعلاوه توابع ضربی روی جبرهای باناخ جابجائی همواره پیوسته اند.

🌸 ۲.فضای مشخصه A با ضعیف- ستاره توپولوژی نسبی از *A ، یک فضای  موضعا فشرده و هاسدورف است.

🌸 ۳ .نگاشت گلفند
a-->a^
از
A-->C.(D(A))
یک همریختی است.

🌸 ۴.نگاشت گلفند یک به است اگر و تنها اگر جبر باناخ A نیم ساده باشد.

🌸 ۵.هرگاه A یک سی- استار جبر جابجائی باشد، آنگاه  نگاشت گلفند دو سوئی است.بنابراین:
A=C.(D(A))
به عنوان دو جبر باناخ طولپا.

   برای مطالعه و اثبات،  خواننده را به کتاب جبر باناخ جابجائی  اثر کانیوس ارجاع می هم.

 (۴۳)
چند مثال از فضای  مشخصه

جواب:
هرگاه G یک گروه توپولوژیکی آبلی موضعا فشرده و هاسدورف باشد. در این صورت:

🌸 ۱ .چنانچه
A=(L1(G) , *)
جبر گروهی  باشد.در این صورت A یک جبر باناخ جابجائی است.

🌸 ۲.فضای مشخصه A گروه دوگان ^G می باشد.به عبارت دیگر:
D(L1(G))=G^
به عنوان دو فضای  همانریخت.

🌸 ۳.جبر گروهی L1(G) ، نیم ساده است.بنابراین نگاشت گلفند یک به یک است.

🌸 ‌۴.نگاشت گلفند روی L1(G)  پوشاست اگر و تنها اگر G متناهی باشد.

🌸 ۵.هرگاه G گروه ماتریس های ۲x۲  با دترمینان یک باشد، آنگاه G با عمل ضرب یک گروه غیر جابجائی است و گروه مشخصه ^G تهی می باشد.بنابراین
D(L1(G))=Q
   این مثال نشان می دهد، که خاصیت جابجایی جبرهای باناخ ،  اهمیت زیادی در مطالعه فضای  مشخصه دارد.

(۴۴)
فضایLp چیست؟

جواب:
🌸 ۱. هرگاه
(X,S,u)
یک فضای  اندازه باشد و 0<p .در این صورت مجموعه  تمام توابع اندازه  پذیر
f:X-->C
که
|f|p<oo
را با
Lp(X):=Lp(X,u)
نشان  می دهند.

🌸۲.فضای
Lp( X,u)
یک فضای  باناخ است.

🌸 ۳.هرگاه q مزدوج p باشد، یعنی
۱/p+۱/q=۱
در این صورت :
Lp(X)*=Lq(X)
به عنوان دو فضای باناخ طولپا.

🌸 ۴. فضای (X )Lp یک فضای انعکاسی  است.بنابرین:
Lp(X)**=Lp(X)

    برای مطالعه  و اثبات، خواننده  را به کتاب آنالیز حقیقی رودین ارجاع می دهم.

(۴۵)
چند مثال از فضای Lp

جواب:
🌸 ۱.هرگاه X یک فضای گسسته و u اندازه شمارشی باشد.دراین صورت
Lp(X,u):=lp(X)
نشان می دهند.در حالت خاص، اگر
X=N
آنگاه می نویسند
lp:=lp(N)

🌸 ۲.هر گاه q مزدوج p باشد، آنگاه همواره

lp*=lq
و
(c.)*=l1
و
l1*=loo

🌸 ۳. در حالت کلی،
L1(X)
یک فضای انعکاسی  نیست.

🌸 ۴.جبر گروهی
L1(G)=L1(G,n)
یک فضای  انعکاسی  اگر و تنها اگر گروه G متناهی باشد، که در آن n اندازه هار روی گروه توپولوژیکی موضعا فشرده و هاسدورف G است.

🌸 ۵.همواره:
L1(G)*=Loo(G)
به عنوان دو فضای باناخ طولپا.

(۴۶)
چند خواص از فضای Lp

جواب:
🌸 ۱.هرگاه f در
Lp(u)
و تابع g در
Lq(u)
باشد،. در این صورت تابع fg در
L1(u)
می باشد.در حقیقت
|fg|1<=|f|p.|g|q
🌸 ۲. هرگاه p حداقل یک  باشد و توابع f و g در
Lp(X)
، دراین صورتf+g در (L(p(X است. در حقیقت:
|f+g|p<=| f|p+|g|p

🌸 ۳.هرگاه
۱<p<q<r
در این صورت
Lq(X)
زیر مجموعه
Lp(X)+Lr(X)

🌸 ۴.همچنین:
Lp(X)nLr(X)
زیر مجموعه
Lq(X)

 (۴۷)
فضای  اندازه چیست؟

جواب:
🌸 ۱. هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی  باشد، آنگاه سیگما- جبر تولید شده توسط مجموعه های باز در X را مجموعه های  برل نامند و با
B(X)
نشان می‌دهند.

🌸 ۲.هرگاه
u:B(X)-->[0 oo]
یک اندازه سیگما جمعی باشد ، آنگاه
(X,B(X),u)
را فضای برل- اندازه گویند.

🌸 ۳.هرگاه u یک اندازه مثبت برل باشد بطوری که روی مجموعه های فشرده متناهی و منظم درونی باشد، آنگاه u را اندازه رادن نامند.

🌸 ۴.  .هرگاه اندازه u منظم بیرونی و منظم درونی باشد، آنگاه  اندازه u را منظم نامند.

برای مطالعه مفاهیم اندازه و خواص آن، خواننده را به کتاب نظریهٔ اندازه اثر رویدن توصیه می شود.

(۴۸)
چند مثال از نظریه اندازه

جواب:
🌸 ۱.هرگاه G یک گروه توپولوژیکی هاسدورف موضعا فشرده غیر گسسته باشد و n اندازه هار در G باشد، آنگاه
n({x})=0
برای هر x در G.

🌸 ۲.در حالت خاص، اگر
G=(R,+)
آنگاه اندازه لبگ هر مجموعه شمارا صفر است.بنابراین اندازه مجموعه اعداد گویا صفر است.

🌸 ۳.هرگاه C مجموعه کانتور در R باشد، آنگاه مجموعهC ناشماراست و اندازه لبگ C صفر می باشد.

🌸۴.هرگاه G یک گروه گسسته باشد، آنگاه اندازه هار در G، همان اندازه شمارشی است.بنابراین
n(F)=|F|
برای هر زیر مجموعه متناهیF در G.


 (۴۹)
مفهوم همبندی در فضای توپولوژیکی چیست؟

جواب:
🌸 ۱. هرگاه (X,T)یک فضای توپولوژیکی باشد، به‌طوری که تنها مجموعه‌های هم باز و هم بستهٔ آن، فضای X و مجموعهٔ تهی باشد، در این صورت X را همبند گویند.

🌸 ۲. اگر یک فضای توپولوژیکی همبند نباشد، آن را ناهمبند گویند.

🌸 ۳. فضای توپولوژیکی X ناهمبند است اگر و تنها اگر X اجتماع دو مجموعهٔ بازِ غیرتهی و مجزا باشد.

🌸 ۴. هرگاه A زیرمجموعه‌ای از X باشد، به‌طوری که A با توپولوژی نسبی همبند باشد، در این صورت (A ,TA) را همبند گویند.

🌸 ۵.هرگاه A همبند و مجموعه B بین A و بستار A باشد، انگاه B همبند است.

  برای مطالعه  و اثبات مفاهیم توپولوژی،  خواننده را با کتاب توپولوژی، اثر  ویلارد توصیه می شود.

(۵۰)
چند مثال از همبندی

جواب:
🌸 ۱.هرگاه X=R، با توپولوژی  اقلیدسی  و A زیر مجموعه X باشد ، آنگاه A همبند است اگر و تنها اگرA یک فاصله  باشد.

🌸۲.اگر A و B زیر مجموعه های فضای توپولوژیکی X وY (به ترتیب) باشند، در این صورت
AxB
همبند است(در توپولوژی حاصلضرب نسبی ) اگر و تنها اگرA و B همبند باشند.

🌸 ۳.بطور کلی، حاصل  ضرب خانواده مجموعه های همبند غیر تهی با توپولوژی  حاصلضرب  یک مجموعه  همبند است و بالعکس.

🌸 ۴.هرگاهX و Y فضاهای توپولوژیکی باشند.در اینصورت  تابع
f:X-->Y
پیوسته است اگر و تنها اگر تصویر وارون هر مجموعه  باز در Y یک مجموعه باز در X باشد.

🌸 ۵.تصویر زیر مجموعه های  همبند در X در اثر تابع پیوسته f ، درY همبند است.

(۵۱)
فشردگی در فضای توپولوژیکی چیست؟

جواب:
هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی  هاسدورف  باشد ،آنگاه:

🌸 ۱.فضای X فشرده  است اگر و تنها اگر هر پوشش باز X، دارای یک زیر پوشش متناهی باشد.

🌸 ۲.زیر مجموعه K در X فشرده است ، اگر K با توپولوژی نسبی فشرده باشد.

🌸 ۳.هرگاه X , Y فضاهای توپولوژیکی هاسدورف باشند و مجموعه K در X فشرده و تابع
f:X-->Y
پیوسته باشد، آنگاه (f(K درY فشرده است.

🌸 ۴.حاصلضرب دلخواه از مجموعه های  غیر تهی و فشرده، یک مجموعه فشرده است اگر و تنها اگر هر مولفه حاصلضرب  فشرده باشد.

     برای  مطالعه و  اثبات مطالب ، خواننده را به کتاب توپولوژی  دو گنجی، توصیه می کنم.

(۵۲)
چند مثال از فشردگی مجموعه ها

جواب:
🌸 ۱.هرگاه X=Rn، فضای n-بعدی اقلیدسی با توپولوژی  نرم دار باشد.در این صورت زیر مجموعه K در X فشرده است اگر و تنها اگر K بسته و کراندار باشد.

🌸 ۲. هرگاه X یک مجموعه نامتناهی و T توپولوژی  متمم متناهی باشد.در این صورتX یک فضای هاسدرف نیست ولی فشرده  است.

🌸 ۳.هرگاه X یک فضای  گسسته توپولوژیکی باشد.در این صورتX فشرده است اگر و تنها اگر X متناهی باشد.

🌸 ۴.هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی هاسدورف و  فشرده  باشد . در این صورت  هر زیر مجموعه  بسته در X فشرده است.

🌸 ۵.هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی هاسدورف باشد. در اینصورت هر زیر مجموعه  فشرده از X، یک مجموعه بسته است.

🌸 ۶.هرگاه R مجهز به متر بدیهی باشد ،  آنگاه R بسته و کراندار است ولی فشرده نیست.

(۵۳)
قضیه نمایش ریز چیست؟

جواب:
🌸 ۱.هرگاه X یک فضای فشرده موضعی و هاسدورف  باشد، آنگاه هر تابعک خطی و پیوسته روی C.(X)
دارای نمایشی یکتا به صورت انتگرال  دارد.به عبارت دیگر

C.(X)*=Mb(X)

به عنوان دو  فضای باناخ طولپا ، بطوری که Mb(X)
مجموعه  تمام اندازه های مختلط منظم و کراندار می باشند.

🌸۲.هرگاه H  یک فضای هیلبرت باشد،  آنگاه هر تابعک خطی و پیوسته روی H ، نمایشی به صورت ضرب داخلی دارد. به عبارت دیگر
H*=  H
هرگاه
f: H-->C
تابعک خطی و پیوسته باشد، آنگاه عنصر یکتای h در H وجود دارد بقسمی که
f(x)=  < x,h>
برای هر xدرH.

     برای  مطالعه و اثبات قضایای ریز، خواننده را به آنالیز حقیقی رودین  ارجاع می دهم.

(۵۴)
قضیه نگاشت  باز چیست؟

جواب:
🌸 ۱.هرگاه X وY فضاهای  باناخ  و T:X-->Y یک عملگر خطی پیوسته باشد، آنگاه T  مجموعه های باز در X را به مجموعه های باز در Y می برد.

🌸 ۲.در حالت خاص ، اگرT  تابعی  یک به یک نیز باشد، آنگاه T  دارای وارون پیوسته است.

🌸 ۳.هرگاه نمودار T در توپولوژی  حاصلضرب بسته باشد، آنگاه  T پیوسته است ، بطوری که
G(T):={( x,Tx): X در x}

🌸 ۴.در حالت خاص ، اگر
X:=C1[0,1]
و
Y=C[0,1]
آنگاه 'T(f)=f دارای نمودار بسته است.بنابراین T  پیوسته است.
   برای مطالعه و اثبات مطالب، خواننده را به آنالیز تابعی کانوی ارجاع می دهم.

(۵۵)
مفهوم  تور در فضای توپولوژیکی چیست؟

جواب:
🌺 ۱.هرگاه (>,D) یک مجموعه  جهت دار و X یک مجموعه  باشد.یک تابع
x:D-->X
را یک تور در X نامند.

🌺 ۲. در حالت خاص، اگر D=N آنگاه" x" را یک دنباله در X گویند.

🌺 ۳.هرگاه D و 'D مجموعه های جهت دار باشند و u=( xr) توری از D به X و v=(xs) توری از 'D  به X باشد. چنانچه تابع
g:D'-->D
موجود باشد بقسمی که
الف) v=uog
ب) برای هرعنصر n در D یک عنصر'n در 'D موجود باشد بطوری که برای هر 'd از 'D با شرط
d'>n'
داشته باشیم:
g(d')>n
در این صورت v را زیر تور u نامند.

🌺 ۴.در حالت خاص، اگر
g:N-->N
تابعی یک به یک باشد، آنگاه v =uog را زیر دنباله u نامند و می نویسند:
v=( xnk)

(۵۶)
مفهوم  همگرایی  در فضای توپولوژیکی چیست؟
جواب:
🌸 ۱.هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی باشد و x عنصری از X باشد.در این صورت  تور (xr) از D به X را همگرا به x گویند، اگر برای هر همسایگی U از x ، عنصر d در D موجود باشد بقسمی که برای هر
r>d
اعضایxr در U باشند.
و می نویسند:
xr-->x

🌸 ۲.تور (xr) به x همگراست اگر و تنها هر زیر تور آن به x همگرا باشد.

🌸 ۳.اگر X یک فضای توپولوژیکی هاسدورف باشد،  آنگاه حد تور در  همگرائی یکتاست.

🌸 ۴.هرگاه X=N با توپولوژی  متمم متناهی،  آنگاه دنباله
xn=n
به هر عدد طبیعی  همگراست .بنابراین در این فضا حد در همگرایی تور ها یکتا نیست.

🌸 ۵.حد در همگرایی تور ها در فضای توپولوژیکی یکتاست  اگر و تنها اگر فضا هاسدورف باشد.

  برای مطالعه و اثبات،  خواننده را به کتاب توپولوژی، اثر  سیمونز ارجاع می دهم.

(۵۷)
نقش تورها در توپولوژی چیست؟

جواب
🌸 ۱.هرگاه (X,T) یک فضای توپولوژیکی و K زیر مجموعه ای  غیر تهی در X باشد.در این صورت مجموعه K فشرده است اگر و تنها اگر هر تور در K دارای یک زیر تور همگرا در K داشته باشد.

🌸 ۲.هرگاه X ,Y فضاهای توپولوژیکی هاسدورف باشند.در این صورت تابع
f:X-->Y
پیوسته است اگر و تنها اگر تور
xr-->x
آنگاه
f(xr)--> f(x)

🌸 ۳.هر گاهY و Xفضاهای  متریک باشند.در این صورت تابع f پیوسته است اگر و تنها اگر هر دنباله
xn-->x
آنگاه
f(xn)-->f(x)

🌸 ۴.هرگاه S و T دو توپولوژی  در X باشند ، آنگاه توپولوژی  T قوی تر از توپولوژی S است اگر و تنها اگر هر تور که در Tهمگرا باشد ، در S نیز همگرا باشد.

(۵۸)
مفهوم  انداز ه پذیری چیست؟
جواب:
🌸 ۱.هرگاه M خانواده ای از زیر مجموعه های X باشد،بطوری که تحت متمم گیری و اجتماع شمارا بسته باشد بقسمی که  شامل X نیز باشد.در این صورت M را یک سیگما- جبر در X گویند.

🌸 ۲. زوج(X,M) را یک فضای  اندازه و عناصر M را مجموعه های اندازه پذیر نامند.

🌸 ۳.هرگاه X یک فضای اندازه و Y یک فضای توپولوژیکی باشد. تابع f:X-->Y را اندازه پذیر  گویند، اگرتصویر وارون هر مجموعه باز در Y یک مجموعه  اندازه  پذیر درX باشد.

🌸 ۴.هر سیگما- جبر تحت اشتراک  شمارا بسته است.در صورتی که فضای توپولوژیکی  تحت اشتراک نامتناهی از مجموعه های باز ، بسته نمی باشد.

🌸 ۵.هر گاه(X,T) یک فضای توپولوژیکی باشد، آنگاه کوچکترین سیگما جبر تولید شده توسطTرا مجموعه های  برل گویند.
  

(۵۹)
اندازه  پذیری حد دنباله های توابع

جواب:
🌸 ۱.هرگاه fn:X-->R تابعی اندازه پذیر، برای هر n  باشد، آنگاه
Sup(fn)و  Inf(fn)
نیز اندازه پذیر  است.

🌸 ۲.همچنین
liminf(fn) و limsup(fn)
توابعی اندازه پذیر  هستند.

🌸 ۳.هرگاه fn--> f ، بطور نقطه ای، آنگاه f تابعی اندازه  پذیر است.

🌸 ۴.هرگاه سری دنباله (fn)  به تابع f همگرای نقطه ای باشد، آنگاه f اندازه پذیر است.

🌸 ۵.تابع مشخصه XA اندازه  پذیر است اگر و تنها اگر مجموعه A اندازه پذیر باشد. بنابراین تابع ساده
c1XA1+..+cnXAn
اندازه پذیر است اگر و تنها اگر هر Ak، اندازه  پذیر  باشد .
 

فصل سوم

مقدمه 
در این فصل، به بررسی مفاهیم بنیادین و در عین حال عمیق آنالیز تابعی، نظریه اندازه، توپولوژی و برخی جنبه‌های نظریه گروه‌ها می‌پردازیم. هدف این فصل ایجاد پیوندی منسجم میان ساختارهای جبری، توپولوژیکی و تحلیلی است؛ به‌گونه‌ای که خواننده بتواند درک روشنی از تعامل میان پیوستگی، اندازه‌پذیری، فشردگی، ساختار فضاهای نرم‌دار و هیلبرت، و نیز مفاهیم بی‌نهایت به دست آورد.
ابتدا رابطه میان پیوستگی و اندازه‌پذیری توابع بررسی می‌شود و نشان داده خواهد شد که چگونه این دو مفهوم، با وجود تفاوت ماهوی، در بسیاری از چارچوب‌ها به یکدیگر مرتبط‌اند. سپس به خواص توابع اندازه‌پذیر، توابع پیوسته روی فضاهای حاصل‌ضرب و فضاهای توابع پیوسته برداری–مقدار پرداخته می‌شود که زمینه‌ای برای تحلیل‌های پیشرفته‌تر فراهم می‌آورد.
در ادامه، با معرفی مفاهیمی از نظریه گروه‌ها و بررسی میانگین‌پذیری، به مطالعه ساختارهای تحلیلی روی گروه‌ها و جبرهای باناخ می‌رسیم. طرح تاریخی میانگین‌پذیری و اشاره‌ای به دیدگاه‌های ریاضی‌دانانی همچون پروفسور کادیسون، نشان‌دهنده جایگاه این مباحث در توسعه آنالیز مدرن است.
بخش دیگری از فصل به مباحث کلاسیک و اساسی آنالیز تابعی اختصاص دارد: قضیه نگاشت باز، شرط پوشایی، و مثال‌هایی از عملگرهایی که برد بسته ندارند. همچنین به بررسی دقیق مفاهیم فشرده‌سازی تک‌نقطه‌ای، عملگر الحاق در فضاهای هیلبرت و باناخ، و شرایطی که تحت آن فضاهای Lp(G)جبر باناخ می‌شوند، خواهیم پرداخت.
در ادامه، مفاهیم مربوط به بی‌نهایت — از تمایز میان بی‌نهایت بالقوه و بالفعل تا داستان مشهور هتل هیلبرت — و نیز اعداد کاردینال و مجموعه اعداد حقیقی توسعه‌یافته بررسی می‌شود. این مباحث دیدگاهی عمیق‌تر نسبت به ساختار مجموعه‌ها و رفتار حدی توابع فراهم می‌کنند.
در پایان، پرسش‌هایی اساسی درباره فشردگی موضعی، متریک‌پذیری، وجود اندازه هار روی مجموعه اعداد گویا، و ناوردایی اندازه لبگ نسبت به انتقال و دوران مطرح و تحلیل می‌شوند؛ پرسش‌هایی که نقش کلیدی در پیوند میان توپولوژی، نظریه اندازه و آنالیز هارمونیک دارند.
این فصل کوششی است برای تلفیق مفاهیم انتزاعی با شهود ریاضی، و فراهم آوردن بستری نظری برای مطالعات پیشرفته‌تر در آنالیز تابعی و ساختارهای وابسته به آن.

 

 

(۶۰)
ارتباط  پیوستگی و اندازه  پذیری توابع چیست؟

جواب:
🌸 ۱.هرگاهX,Y فضاهای توپولوژیکی باشند و تابع f:X-->Y پیوسته باشد، آنگاه f، برل- اندازه  پذیر است.

🌸 ۲.ترکیب دو تابع اندازه پذیر،  تابعی اندازه پذیر است.

🌸 ۳.اگر تابع f:X-->Y اندازه پذیر و تابع g:Y-->Z پیوسته باشد، آنگاه تابع gof اندازه پذیر است.

🌸 ۴.ترکیب دو تابع برل- اندازه پذیر،  تابعی برل- اندازه پذیر است.

🌸 ۵.هرگاه توابع مختلط- مقدار f , g ، اندازه پذیر باشند، آنگاه
f.g , f+g , |f|

توابعی اندازه پذیرند.

(۶۱)
خواص توابع اندازه پذیر  چیست؟

جواب:
🌸 ۱..هرگاه f:X-->[0,oo] تابعی اندازه پذیر باشد،  آنگاه دنباله توابع ساده اندازه پذیر مثبت (sn) وجود دارد بطوری که
sn-->f
بطور صعودی و نقطه ای.

🌸 ۲.هرگاه f تابعی کراندار باشد، این همگرایی، یکنواخت است.

🌸 ۳.هرگاه u  اندازه مثبت و
fn-->f
بطور صعودی و نقطه ای.در اینصورت
/ fnd(u)-->/ fd(u)

🌸 ۴.هرگاه
fn:X-->[0,oo]
دنباله ای از توابع اندازه پذیر باشند، آنگاه
/(f1+..+ fn+..)d(u)=/f1d(u)+..+/fnd(u)+...


(۶۲)
توابع پیوسته روی فضاهای  حاصلضرب

جواب
۱.هرگاهX, Y فضاهای فشرده  موضعی هاسدورف  باشند.در این صورت:

🌸 ۱.حاصل ضرب تنسور تزریقی :
C.( XxY)=C.(X)@e C.(Y)

🌸 ۲.  هرگاهG,H گروه های توپولوژیکی فشرده  موضعی  هاسدورف  باشند، آنگاه حاصل ضرب تنسور تصویری

L1(GxH)=L1(G)@ ^L1(H)

🌸 ۳.هرگاه S وT نیم گروه‌های  گسسته  باشند، آنگاه حاصل ضرب تنسور تصویری:

l1(SxT)=l1(S)@^l1(T)

(۶۳)
توابع برداری- مقدار چیست؟

جواب
🌸 ۱.هرگاه A یک جبر باناخ و X یک فضای فشرده موضعی هاسدورف  باشد، آنگاه
C.(X,A)=C.(X)@e A

🌸 ۲.هرگاه G یک گروه توپولوژیکی موضعا فشرده و هاسدورف باشد، آنگاه
L1(G,A)=L1(G)@^A

🌸 ۳.هر گاه S یک نیم گروه گسسته باشد، آنگاه
l1(S,A)=l1(S)@^A

🌸 ۴.هرگاه X یک فضای فشرده موضعی و هاسدورف باشد،  آنگاه

Cb(X,A)=Cb(X)@eA

برای اثبات و  مطالعه،  خواننده را به کتاب جبرهای باناخ جابجائی  اثر کانیوس دعوت می کنم.

تهیه و تنظیم
دکتر علی رجالی (دانشگاه اصفهان )
۱۴۰۴/۱۰/۵

(۶۴)
مفاهیمی از نظریه گروه ها

جواب:
🌸 ۱.هرگاه G مجموعه ای غیر تهی همراه با یک عمل
* :  GxG-->G
شرکت پذیر که دارای عضو همانی و وارون باشد.در این صورت زوج
G:=(G,*)
را یک گروه نامند.

🌸 ۲.هرگاه R یک مجموعه غیرتهی مجهز به اعمال جمع
+:RxR-->R
و  ضرب
.: RxR-->R
با خواص
الف) گروه (+, R)=R جابجائی باشد.
ب) ضرب نسبت به جمع خاصیت  پخشی داشته باشد.
ج) عمل ضرب شرکت پذیر باشد.
دراین صورت سه تائی
R:=(R ,+, .)
را یک حلقه گویند.

🌸 ۳.هرگاه R یک حلقه باشد بطوری که
(R\{0}, .)
یک گروه جابجائی باشد، آنگاهRرا یک میدان گویند.

(۶۵)
معرفی توابع اندازه پذیر

جواب:
🌸 ۱.تعریف  اندازه پذیری توابع(رودین)
هرگاه X یک فضای اندازه پذیر و Y یک فضای توپولوژیکی باشد، آنگاه تابع
f:X-->Y

اندازه پذیر است اگر و تنها اگر تصویر وارون هر مجموعه باز درY, یک مجموعه اندازه پذیر در X باشد.

🌸 ۲.تعریف  اندازه پذیری توابع( فولند)
هرگاهX,Y فضاهای  اندازه باشند، آنگاه تابع
f:X-->Y
اندازه پذیر است، اگر  و تنها اگر  تصویر وارون هر مجموعه  اندازه پذیر درY,یک مجموعه اندازه پذیر در X باشد.

🌸 ۳. هرگاه X یک فضای اندازه پذیر ، Y یک فضای  توپولوژیکی، و
f:X-->Y
به مفهوم رودین اندازه پذیر باشد.چنانچه B
زیر مجموعه  ای برل در Y باشد. در این صورت؛

f-۱(B)
اندازه پذیر است.پسf به مفهوم فولند اندازه پذیر است.

🌸 ۴.هرگاهX فضایی اندازه پذیر،  Yفضائی توپولوژیکی  باشد. در این  صورت با فرضY به عنوان  فضای برل اندازه پذیر، دو مفهوم اندازه پذیری رودین و فولند یکسان هستند.

(۶۶)
معرفی حاصلضرب  تنسوری جبرهای باناخ

جواب:
🌸 ۱.تعریف: اگرA و B فضاهای باناخ باشند، وa درA و b در B باشد، آنگاه
a@b: A*xB*-->C
با ضابطه
a@b(f,g):=f(a)g(b)
برایf در *A و g در *B تعریف  می شود.فضای برداری تولید شده توسط این تنسور ها را با
A@B
نشان می دهند.

🌸 ۲. تعریف : هرگاه
  u:=x1@ y1+..+  xn@yn
در
A@ B
  باشد، آنگاه
   p( u)= Inf{| a1|.| b1| +....+|an|.| bn| :
u= a1@ b1+.. an@ bn}
در این صورت:
(A@B, p)
یک فضای  نرمدار است.که آن را حاصل ضرب تنسوری تصویری
A@B
نامند.و کامل شده آن توسط این نرم را با
A@^B:=A@ p B
نشان می دهند.

🌸 ۳.هر گاهA و Bجبرهای باناخ باشند، آنگاه
A@^B
یک جبر باناخ است. چنانچه A,B جابجائی باشند، آنگاه فضای مشخصه
D(A@^B)=  D(A)xD(B)
بطوری که اگرp در
D(A)
وqدر
D(B)
باشد.در این صورت تابعک
pxq(a@b)=p(a) q( b)
یک تابع ضربی روی
A@^B
می باشد.

🌸 ۴.فضای A@B را می توان با دو نرم تزریقی و تصویری به فضای نرمدار تبدیل کرد. کوچکترین نرم در حاصل ضرب تنسوری را ،نرم تزریقی گویند.کامل شده آن توسط این نرم را با
A@ eB
نشان می دهند.

علاقه مندان به مطالعه و  اثبات، در خصوص  حاصل  ضرب تنسوری  را به کتاب جبرهای نرمدار اثر بونسال و دانکن دعوت می کنم.

(۶۷)
معیارها ی میانگین پذیری چیست؟

جواب:
🌸 ۱.هرگاه G یک گروه فشرده موضعی و هاسدورف  باشد. در این صورت میانگین M را پایای توپولوژیکی  چپ گویند، اگر
M(g*f)=M(f)
برای هر f  در
Loo(G)
و هر g در P(G). بطوری که P(G) شامل تما م توابع مثبت در L1(G) با نرم یک می باشد.

🌸 ۲.گر وه G را میانگین پذیر توپولوژیکی چپ گویند، اگر یک میانگین  پایای  چپ توپولوژیکی  روی
Loo(G)
موجود باشد.

🌸 ۳.گروه G میانگین پذیر  توپولوژیکی  است اگر و تنها اگر G میانگین پذیر  باشد.

🌸 ۴.وجود میانگین  پایا روی فضای Cb(G) با میانگین پذیری گروه  معادلند.
  برای مطالعه  و اثبات ، خواننده را به کتاب  میانگین پذیری  اثر گرینلیف و نیز میانگین پذیری اثر پیر ارجاع می دهم.

 (۶۸)
تاریخچهٔ میانگین‌پذیری

جواب:
🌸 ۱. مفهوم میانگین‌پذیری حدود یک قرن پیش، در سال ۱۹۲۹ میلادی، مطرح شد. جان فون نویمان نخستین کسی بود که این ایده را معرفی کرد. اندیشهٔ اصلی او این بود که اگر یک سیستم را در بازه‌ای طولانی از زمان بررسی کنیم، میانگین رفتار زمانی آن می‌تواند با میانگین زمانی برابر باشد. این دیدگاه بعدها به یکی از پایه‌های مهم نظریهٔ سیستم‌های دینامیکی تبدیل شد.

🌸 ۲. دهه‌های ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰
پس از فون نویمان، ریاضی‌دانانی مانند م.م. دی و دیگران این مفهوم را گسترش دادند و نشان دادند که میانگین‌پذیری تنها به گروه‌ها محدود نمی‌شود، بلکه می‌توان آن را به نیم‌گروه‌ها نیز تعمیم داد. در این مرحله، نقش آنالیز ریاضی پررنگ‌تر شد.

🌸 ۳. دههٔ ۱۹۶۰
در این دوره، پژوهشگران متعددی ـ از جمله گرین‌لیف ـ مطالعات گسترده‌تری دربارهٔ گروه‌های میانگین‌پذیر انجام دادند و ارتباط این مفهوم را با ساختارهای جبری و تحلیلی مورد بررسی قرار دادند.

🌸 ۴. دههٔ ۱۹۷۰
نقطهٔ عطف مهم بعدی با آثار ب. ای. جانسون رقم خورد. او مفهوم میانگین‌پذیری را وارد نظریهٔ جبرهای باناخ کرد و نشان داد که این ایده پیوندی عمیق با همولوژی و ساختارهای بنیادی‌تر ریاضی دارد.

🌸 ۵. از دههٔ ۱۹۸۰ تاکنون
میانگین‌پذیری دیگر صرفاً یک مفهوم مجرد نیست. کاربردهای آن در آنالیز، هندسه، نظریهٔ عملگرها و حتی برخی شاخه‌های فیزیک ریاضی گسترش یافت و همچنان یکی از موضوعات فعال پژوهشی به شمار می‌رود.

 (۶۹)
منظور کادیسون از جمله‌ی
«کارهای اُفّه هاگرپ در کل ریاضیات چگال است»
چیست؟

جواب:
منظور کادیسون این است که آثار و ایده‌های اُفّه هاگرپ محدود به یک شاخه‌ی خاص از ریاضیات نیست، بلکه به‌صورت عمیق، پیوسته و اثرگذار در بخش‌های گسترده‌ای از ریاضیات مدرن نفوذ کرده است.

🌸 به بیان دقیق‌تر، نتایج هاگرپ آن‌چنان بنیادی و پرمغز هستند که در حوزه‌هایی چون جبرهای عملگری، آنالیز تابعی، نظریه‌ی گروه‌ها، هندسه و شاخه‌های مرتبط به‌طور مستقیم یا غیرمستقیم حضور دارند؛ به‌گونه‌ای که هر جا این حوزه‌ها بررسی می‌شوند، اثری از ایده‌ها، روش‌ها یا مفاهیم برگرفته از کارهای او دیده می‌شود.

🌸 واژه‌ی «چگال» در این جمله، اشاره به گستردگی همراه با عمق دارد؛ یعنی اندیشه‌های هاگرپ نه پراکنده و سطحی، بلکه فراگیر، پیوسته و در تار و پود ریاضیات مدرن تنیده شده‌اند. یادش گرامی و نامش ماندگار .

(۷۰)
ترتیب  در اعداد حقیقی چیست؟

جواب:
🌸 ۱. یک زیر مجموعه  غیر تهی از مجموعه اعداد حقیقی مانند P وجود دارد، موسوم به اعداد حقیقی  مثبت، بطوری که دارای خواص زیر است.
الف) اگر a و b در P باشند، آنگاه a+b در P است.
ب) اگر a و b در P باشند، آنگاه a.b در P است.
ج) اگر a یک عدد حقیقی  باشد.در اینصورت:a در P، یا a- در P، و یا 0=a

۲.عدد حقیقی a را مثبت گوئیم، اگرa درP باشد.چنانچه a- در P
باشد، آنگاهa را منفی می گوئیم.

🌸 ۳.اگر a مثبت باشد، می نویسیم:
a>0
چنانچه a منفی باشد، می نویسیم:
a<0

🌸 ۴.هرگاه تفاضل a_b مثبت باشد، می نویسیم:
a>b
چنانچه قرینه a-b در P باشد، می نویسم:
a<b

(۷۱)

معرفی  اعمال حسابی در اعداد چیست؟

جواب:
برای  معرفی  اعمال حسابی در اعداد طبیعی،  نیاز به قضیه بازگشتی است.

🌸 ۱.اگر X یک مجموعه و
f:X-->X
یک تابع باشد، و c یک عنصر دلخواه در X باشد.دراین صورت تابع یکتایی مانند
g:N.-->X
وجود دارد بقسمی که  در شرایط زیر صدق می کند.
الف)    g(0)= c
ب)
g(s(n))=f(g(n))
برای هر n در .N، بطوری که
s:N.-->N.
تابعی است یک به یک و غیر پوشا که در اصل پئانو وجودش آمده است.

🌸 ۲.هرگاه c:=m یک عدد طبیعی و f:=s
در قضیه بازگشتی باشد، آنگاه
Pm:N.-->N.
توسط
m+n:=Pm(n)
به صورت زیر تعریف می شود.
الف)
Pm(0)=m
ب)
Pm(s(n))=s(Pm(n))

🌸 ۳.هرگاه
c:=0
و
f(r)=r+m
در قضیه بازگشتی، آنگاه
Qm:  N.-->N.
توسط
الف)
Qm(0)=0
ب)
Qm(s(n))=Qm(n)+m
بنابراین
m.n:=Qm(n)

(۷۲)
آیا هر نگاشت خطی و باز پوشاست؟

جواب:
🌸 ۱. یک نگاشت خطی و باز بین دو فضای نرم‌دار ، همواره پوشاست.زیرا:
هرگاهX,Y فضاهای  نرم دار و نگاشت خطی
T:X--> Y
تابعی باز باشد.در این صورت
T(X)

یک مجموعه باز و زیر‌فضای خطی از  Y است. اما در فضای برداری توپولوژیکی ، تنها زیر‌فضای خطی که باز است، کل فضاست.بنابراین
T(X)=Y
و لذاT پوشاست.

🌸 ۲.شرط باز بودن در قسمت اول را نمی توان حذف کرد.زیرا:
هرگاه
T l۲--->l۲
توسط
T( xn)=( xn/ n)
تعریف  شود.در این صورت  T خطی و نرم کاهشی است و لذا پیوسته است.همچنین برد تابع:
R(T)={( xn):( nxn) در l ۲}
و لذاT پوشا نیست.در حقیقت: اگر
xn=1/ n 3/2
آنگاه
nxn=1/n1/2
و لذا
x= (xn)
در
l2
است ولی در برد تابعT نمی باشد.

(۷۳)
آیا شرط پوشائی در قضیه  نگاشت باز قابل حذف است.

جواب
🌸 هرگاه X وY فضاهای باناخ و
T:X-->Y
خطی و پیوسته باشد .دراین صورت:
۱.عملگرTپوشاست اگر و تنها اگر T نگاشتی باز باشد.

🌸 ۲.عملگرT دو سوئی اگر و تنها اگرنگاشتT همانریخت باشد.در این حالت
X=Y
به عنوان دو فضای  باناخ با نرم های معادل.

🌸 ۳.هرگاه برد عملگر T بسته باشد،آنگاه نگاشتT تحدید به برد، با توپولوژی  نسبی، باز می باشد.

🌸 ۴.در حالت خاص، اگر
T:R-->R2
توسط
T(x)=(x,0)
تعریف  شود.در این صورت
T:R-->ren(T)
باز است ولی Tباز نیست.در حقیقت
T(-1,-1)=(-1 1)×{0}
در صفحه باز نیست.

🌸 ۵.هرگاه
T: l1-->l2
نگاشت جادهی باشد، آنگاه Tخطی، نرم کاهشی، و لذا پیوسته است.همچنین غیر پوشاست بطوری که تصویر هر مجموعه باز غیر تهی درl1 در l2 باز نمی باشد.

(۷۴)
بی‌نهایت بالقوه و بی‌نهایت بالفعل چیست؟

جواب:
در ریاضیات، مفهوم «بی‌نهایت» یگانه و ساده نیست، بلکه به دو صورت متمایز فهم می‌شود:
🌸 بی‌نهایت بالقوه
به فرایندی اطلاق می‌شود که همواره قابلیت ادامه دارد، اما در هیچ مرحله‌ای به‌صورت «کامل» تحقق نمی‌یابد.
در این دیدگاه، در هر لحظه تنها با مقادیر متناهی سر و کار داریم، هرچند هیچ کران نهایی‌ای وجود ندارد.
نمونه‌ها:
۱.شمردن اعداد طبیعی (۱، ۲، ۳، …)
۲. بی‌نهایت در حدها، مانند

🌸 بی‌نهایت بالفعل
به یک کلّ ریاضی گفته می‌شود که به‌طور کامل در نظر گرفته می‌شود و دارای بی‌نهایت عضو است.
در این معنا، بی‌نهایت یک فرایند تدریجی نیست، بلکه ویژگیِ یک مجموعه یا ساختار ریاضی است.
نمونه‌ها:
۱. مجموعه اعداد طبیعی
۲.مجموعه اعداد حقیقی

🌸 تفاوت اساسی
بی‌نهایت بالقوه ناظر به «شدن و ادامه‌پذیری» است،
در حالی که بی‌نهایت بالفعل ناظر به «بودنِ یک کل نامتناهی» است.

🌸 از نظر تاریخی، ارسطو تنها بی‌نهایت بالقوه را می‌پذیرفت، اما در ریاضیات جدید (به‌ویژه پس از کانتور) بی‌نهایت بالفعل نیز به‌عنوان مفهومی دقیق و سازگار پذیرفته شده و مبنای نظریه مجموعه‌ها و بسیاری از شاخه‌های ریاضیات قرار گرفته است.

🌸 نتیجه
بی‌نهایت در حدها و فرایندها، بی‌نهایت بالقوه است،
و بی‌نهایتِ مجموعه‌ها (مانند شمار اعضای اعداد طبیعی)، بی‌نهایت بالفعل.
ریاضیات مدرن هر دو مفهوم را، هر یک در جایگاه خود، به‌کار می‌گیرد.

(۷۵)
داستان هتل هیلبرت و بی‌نهایت چیست؟

جواب:
🌸 هتل هیلبرت یک مثالِ فکری مشهور در ریاضیات است که برای توضیح ماهیت «بی‌نهایتِ شمارا» (ℵ₀) به‌کار می‌رود و نشان می‌دهد که قواعد بی‌نهایت با قواعد دنیای متناهی تفاوت اساسی دارند.

🌸 فرض کنید هتلی وجود دارد با بی‌نهایت اتاق (اتاق‌های ۱، ۲، ۳، …) و همه‌ی اتاق‌ها پر هستند.

🌸 سناریوی اول: ورود یک مهمان جدید
در حالت عادی، هتلِ پر جا ندارد؛ اما در این هتل، مدیر از هر مهمان می‌خواهد از اتاق n به اتاق n+1 برود.
در نتیجه، اتاق ۱ خالی می‌شود و مهمان جدید بدون بیرون رفتن هیچ‌کس اسکان داده می‌شود.

🌸 سناریوی دوم: ورود بی‌نهایت مهمان جدید
مدیر از مهمانان می‌خواهد از اتاق n به اتاق 2n منتقل شوند.
به این ترتیب، تمام اتاق‌های زوج پر می‌شوند و تمام اتاق‌های فرد خالی می‌مانند.
از آنجا که اتاق‌های فرد بی‌نهایت‌اند، می‌توان بی‌نهایت مهمان جدید را نیز در هتل جا داد.

🌸 نتیجه‌ی ریاضی
این مثال نشان می‌دهد که برای بی‌نهایتِ شمارا داریم:
ℵ₀ + 1 = ℵ₀
ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
این امر نه به‌دلیل ناسازگاری ریاضیات، بلکه به‌سبب تفاوت بنیادین قوانین بی‌نهایت با قوانین مجموعه‌های متناهی است.

🌸 نکته‌ی کلیدی
در داستان هتل هیلبرت، بی‌نهایت به‌عنوان یک عدد به‌کار نمی‌رود، بلکه «قابلیت شمارش» ملاک است؛ یعنی میان مهمانان و اتاق‌ها یک تناظر یک‌به‌یک برقرار می‌شود. این همان مفهوم «هم‌اندازه بودن» در نظریه مجموعه‌هاست.

🌸 ارتباط با مفهوم بی‌نهایت
بی‌نهایت در این داستان، نمونه‌ای از بی‌نهایتِ بالفعل و شماراست (ℵ₀)،
در حالی که بی‌نهایت در حدها بیشتر ناظر به یک فرایند بی‌پایان (بی‌نهایت بالقوه) است.


(۷۶)
اعداد کاردینال چیست؟

جواب:
    بی نهایت، چون اعداد طبیعی، یک نماد است.اگر کسی بتواند عدد یک را معرفی کند، من بی نهایت را برایش تعریف می کنم.لذا نباید انتظار معرفی دقیق بی نهایت و انواع آن را داشته باشیم.

🌸 ۱.اعداد طبیعی، توسط اصل پئانو، وجودشان پذیرفته شد.لذا ما متناظر یک شی، عدد یک را نظیر می کنیم.همچنین به مجموعه ای با n عضو،
Sn={1,2,..,n}
عدد n را متناظر می کنیم.و می نویسم
Card(Sn)=n

🌸 ۲.اگر مجموعه ای متناظر با مجموعه
اعداد طبیعی باشد،  نماد الف زیرو
N.
را نسبت می دهیم.

🌸 ۳.بطور کلی ، اگر مجموعه ای A در تناظر با مجموعه اعداد طبیعی  باشد.به آن مجموعه نماد.N را نسبت می دهیم و می‌نویسیم
.Card(A)=N.

🌸 ۴.اگر مجموعهAمتناظر مجموعه اعداد حقیقی  باشد،نماد"c" به آن نسبت می دهند و می نویسند
Card(A)=c

🌸 ۵.اگر مجموعه ای n عضو داشته باشد، آنگاه مجموعه توانی آن ، دو به توان n,عضو دارد.با عنایت به تناظر دو سوئی بین مجموعه اعداد حقیقی R و مجموعه توانی
P(N)
بهR نماد ، توان .N-ام عدد 2 را نسبت می دهند.

🌸 ۶.با ادامه این کار، می توان نماد های۰
N.,N1,N2,....
متناظرمجموعه های
N,P(N),P(P(N))
قرار داد.

(۷۷)
چرا نگاشت  جادهی از l1 بهl2 باز نیست؟

جواب:
هرگاه U=B1(0,1) گوی یکه در l1 باشد.بدیهی است کهU یک مجموعه باز  است. هرگاه
T:l1-->l2
نگاشت همانی باشد ،آنگاهTخطی و نرم کاهشی است.بنابراین Tپیوسته است.همچنین
T(U)
شامل عناصری مانندxدرl2 است به طوری که
| x|1<1

حا نشان می دهیم
T(U)
باز نیست. از برهان خلف استفاده می کنیم.فرض کنید در
T(0)=0
باز باشد.لذا
T(U)
شامل گوئی به مانند
B2(0,2r)
درl2، بر ای یک r>0 . هرگاه
zn=(r/n1/2,...,r/n1/2,0,0,...)
بطوری که بعد از مولفه n- ام، عناصر دنباله صفر باشد

در این صورت
|zn|2=r
برای هر عدد طبیعی n. همچنین
|zn|1=r.n1/2-->oo
بنابراین از مرحله ای به بعد دنباله
(zn)
در (T(U قرار نمی گیرد.پس وجود داردzk درU بقسمی که
T( zk)=zk
در
T(U)
نیست.و این تناقض  با فرض خلف است.

(۷۸)
چند مثال از عملگرهای که برد بسته ندارند.

جواب:
۱.هرگاهX فضای هاسدورف ، فشرده موضعی و غیر فشرده  باشد.دراین صورت نگاشت همانی
T: C..(X)-->C.(X)
خطی، نرم کاهشی، و لذا پیوسته است.اما برد آن بسته نیست.

۲.بطور کلی، اگرX زیر فضای نرمدار متمایز در فضای باناخ Y و غیر چگال باشد.دراین صورت نگاشت جادهی از XبهY عملگری با برد بسته نمی باشد.

۳.در حالت خاص،  نگاشت  همانی،
T:l1:-->l2
دارای برد بسته نمی باشد.

۴.عملگر
T: L1[0,1]-->C[0,1]
که
T(f)x)=/D f(t)dt
که دامنه انتگرال
D:=[0,x]
برای  x در [0,1].در این صورت بردT بسته نیست.زیرا:


(۷۸)
چند مثال از عملگرهای که برد بسته ندارند.

جواب:
۱.هرگاه X فضای هاسدورف ، فشرده موضعی و غیر فشرده  باشد.در این صورت نگاشت همانی
T: C..(X)-->C.(X)
خطی، نرم کاهشی، و لذا پیوسته است.اما برد آن بسته نیست.

۲.بطور کلی، اگر X زیر فضای نرمدار متمایز در فضای باناخ Y و غیر چگال باشد.در این صورت نگاشت جادهی از X به Y عملگری با برد بسته نمی باشد.

۳.در حالت خاص،  نگاشت  همانی،
T:l1:-->l2
دارای برد بسته نمی باشد.

۴.عملگر
T: L1[0,1]-->C[0,1]
که
T(f)x)=/D f(t)dt
که دامنه انتگرال
D:=[0,x]
برای  x در [0,1].در این صورت بردT بسته نیست.زیرا:

هرگاه
fn(t)=1/2(t+1/n)1/2
در این صورت:

T(fn)(x) :=gn(x) =(x+1/n)1/2-(1/n)1/2

در این صورت gn بطور مطلق پیوسته و
gn(0)=0

و لذا gn در برد عملگرT می باشد.

چنانچه
g(x):=(x)1/2
(جذر x).در این صورت g در برد T نمی باشد.

دنباله (gn) به طور یکنواخت به g همگراست.

بنابراین برد T با زبرینه- نرم بسته نمی باشد.

(۷۹)
مفهوم بی نهایت در حد توابع

جواب:
هرگاه تابع
f:R-->R
تعریف شده باشد.دراین صورت:
۱.وقتی می نویسیم:
limx-->oo f(x)=L
به این معناست که،  برای هر عدد مثبت "r" عدد مثبتKوجود دارد بقسمی که ، وقتی
|x|>K
آنگاه
|f(x)-L|<r

۲.به عبارت دیگر برای هر همسایگی حول "L" به مانند:
V:=(L-r,L+r)
یک همسایگی حول بی نهایت، به مانند

U:=R\[-K ,K]
موجود باشد ، بقسمی که
f(U)
زیر مجموعه Vباشد.

باسمه‌تعالی
پرسش و پاسخ
سوال ریاضی(۸۰)
مجموعه  اعداد حقیقی  توسعه یافته چیست؟

جواب:
۱.هرگاه
R~:=Ru{-oo , +oo}
با اعمال معمولی درR و اعمال زیر تعریف  کنیم:
الف)اگرxدرRباشد، آنگاه:
x+(+oo)=(+oo)+x= +oo
x+(-oo)=(-oo)+x=-oo
ب)اگرxیک عدد حقیقی  مثبت باشد، آنگاه
x.(+oo)=(+oo).×=+oo
x.(-oo)=(-oo),x=- oo
ج)اگرxیک عدد حقیقی  منفی باشد، آنگاه:
x.(-oo)=(-oo).x=+ oo
(- oo).x=x.(-oo)=+oo
د)همچنین:
(+oo)+(+oo)= +oo
(- oo)+(-oo)=-oo
ه) حاصل ضرب،  و یا تقسیم صفر بر مثبت بی نهایت یا منفی بی نهایت(و بر عکس) تعریف نشده است.
و)در خصوص  اعمال در بی نهایت:
(+oo)+(+ oo)=+oo
(-oo)+(-oo)=-oo
ز) همچنین:
(+oo).(+oo)=+oo
(-oo).(-oo)=+oo
ح)بعلاوه
(+oo).(--oo)=-oo
(-oo).(+oo)=-oo
ط)خارج قسمت مثبت بی نهایت بر مثبت بی نهایت یا منفی بی نهایت(و برعکس) تعریف  نشده است.

ی)همچنین: حاصل جمع و حاصل  ضرب  مثبت بی نهایت و منفی بی نهایت تعریف  نشده است.

    بنابراین، می توان گفت مجموعه ~R  دارای ترتیب است و با اعمال جمع و ضرب فوق یک حلقه یا میدان نمی باشد.


(۸۱)

عملگر الحاق  در فضای هیلبرت  چیست؟

جواب:
      عملگر الحاق در فضای هیلبرت:

فرض کنید H یک فضای هیلبرت باشد و
T: H-->H
یک عملگر خطی کراندار باشد. عملگر  *T را عملگر الحاق  T می‌گویند اگر:
<Tx,y>=<x ,T*y>
برای هر x,y در H. در حقیقت  تابعک
Ty(x):=<Tx,y>
در *H است.لذا طبق قضیه نمایش ریز در فضای هیلبرت، عنصر یکتایی در H مانند
T*y
وجود دارد بطوری که
Ty(x)=<x,T*y>
به عبارتی دیگر:
<Tx,y>=<x,T*y>

بدیهی است که نگاشت *T  خطی و کراندار است و

∥T*∥= ∥T∥
بعلاوه عملگر T را خود الحاق گویند، اگر
T*=T
همچنین عمل
* :B(H)-->B(H)

یک عمل برگشتی در فضای باناخ عملگرهای کراندار در H است.لذا B(H) یک *- جبر باناخ با عمل ترکیب است.در حقیقت یک *C- جبر غیر جابجائی است بطوری که

B(H)=K(H)**=T(H)

یک جبر دوگان نیز می باشد بقسمی که K(H) زیر جبر بسته از B(H) شامل عملگر های  فشرده  است.همچنین T(H) زیر جبر بسته B(H) شامل عملگرهای رده هاست. بنابراین B(H) یک جبر وان - نیومن است.

(۸۲)
عملگر الحاق در فضای  عملگرها روی فضاهای باناخ چیست؟

جواب:
۱.در فضای هیلبرت ، فضا دارای ضرب داخلی است و عملگر الحاق با استفاده از ضرب داخلی تعریف می‌شود. به کمک قضیه‌ی ریز می‌توان دوگان فضای هیلبرت را با خود فضا یکی دانست.

۲.در فضای باناخ ، فضا لزوماً ضرب داخلی ندارد. لذا عملگر الحاق با استفاده از فضای دوگان تعریف می‌شود.فرض کنید X و Y فضاهای  باناخ و
T:X-->Y
یک عملگر کراندار باشد.در این صورت
T* :Y*-->X*
توسط
T*(f)(x):= f(Tx)
برای هر x در X و هر f در *Y تعریف  می شود.

۳.می توان نشان داد که عملگر خود الحاق *T پیوسته و لذا کراندار است و
∥T*∥= ∥T∥
همچنین عملگر *(*T )از دوگان دوم X به دوگان دوم Y عملگری کراندار است و
∥T**∥= ∥T∥

۴.در حالت خاص،  اگر A یک جبر باناخ باشد و
f:A-->C
در*A باشد.در این صورت:

f⋆⋆ :A⋆⋆-->C

تابعکی پیوسته است. بعلاوه فضای ⋆⋆A با ضربهای آرنز یک جبر باناخ است و A در فضای دوگان   ⋆⋆A با *ضعیف-توپولوژی چگال است .

(۸۳)
چه موقع Lp(G) یک جبر باناخ است؟

جواب
۱.هرگاه G یک گروه توپولوژیکی هاسدورف  موضعا فشرده باشد.چنانچه 1≤p<∞ .در این  صورت
Lp(G)
شامل تمام توابع برل- اندازه پذیر f روی G می باشند، بطوری که
∥f∥p <∞

۲.می توان نشان داد که Lp(G) یک فضای باناخ می باشد.در حالت کلی
Lp(G)
با عمل پیچش یک جبر باناخ نمی باشد.

۳.این یک سوال بازی بود ، تا اینکه نشان داده شد
(Lp(G),*)
یک جبر باناخ است اگر و تنها اگر G فشرده باشد.

۴.با کاری که به اتفاق، خانم دکتر ابطحی، در دورهٔ دکتری انجام شد، ما حالت وزندار
Lp(G,w)
را مورد مطالعه و تحقیق قرار دادیم.

(۸۴)
آیا فضایی که موضعا فشرده  نیست، قابل فشرده سازی تک نقطه ای است؟

جواب:
۱.طبق قضیه الکساندروف، فضای توپولوژیکی X
دارای  فشرده سازی  تک نقطه ای است اگر و تنها  اگر X یک فضای هاسدورف،  فشرده موضعی و غیر فشرده باشد.

۲.هرگاه
X= Q
مجموعه  اعداد گویا ،با توپولوژی  نسبی اقلیدسی، باشد.دراین صورت هر نقطه دارای همسایگی پایه به صورت:
V:= (a,b)nQ
می باشد.بعلاوه بستار V در X فشرده نیست، چون دنباله‌های گویا می‌توانند به اعداد گنگ میل کنند و در X حد نداشته باشند.بنابراین Q فشرده موضعی  نیست.

۳.اگرX فضای  فشرده موضعی  نباشد، امکان ساخت فضای تک نقطه ای
X∞:= Xu{∞}
وجود دارد ولی لزومی ندارد که این فضا هاسدورف  گردد.

۴.برای مثال، وقتی
X=Q
در این صورت:
نقاطX با بی نهایت، امکان جدا شدن توسط مجموعه های باز ندارند.بنابراین، فشرده سازی تگ-نقطه ای  مجموعه اعداد گویا هاسدورف  نمی باشد.

۵.فرض کنید فشرده سازی تک نقطه ای مجموعه اعداد گویا  هاسدورف باشد.اگر
U:=(a,b)nQ
همسایگی یک عدد گویای   q و مجموعه  W یک همسایگی  بی نهایت باشد بطوری که

UnW=∅
در این صورت:

W:=(Q\K)u{∞}

برای یک مجموعه فشرده K در Q.بنابراین مجموعه U زیر مجموعه K است. اما مجموعه های فشرده در Q شامل هیچ فاصله غیر تهی نمی باشند و این تناقض است. کافی است دنباله ای گویا در
(a,b)
اختیار کنید که به یک عدد اصم همگرا باشد.

(۸۵)
آیا روی فشرده سازی تک- نقطه ای یک مجموعه  شمارا ، می توان یک متری قرار داد که آن را فشرده و هاسدورف کند.

جواب:
۱.فرض کنید،
X:={a1,a2,..}
تعریف  می کنیم:
d(ai,aj)=|1/i - 1/j|
d(ai,∞)=1/i=d(∞,ai)
d(∞,∞)=0

بسادگی می توان نشان داد که  d یک متر روی
X∞;=Xu{∞}
می باشد.

۲.در فضای متریک، فشردگی فضا با کراندار کلی و کامل بودن آن معادل است.به سادگی می توان نشان داد که
X∞
کامل است.چنانچه دنباله (xn) در فشرده سازی X کوشی باشد، می توان نشان داد که آن همگراست.

۳.حال نشان می دهیم
X∞
کراندار کلی است.فرض کنید
r>0
در این صورت وجود داردN بطوری که
1/N<r
بنابراین مجموعه
{aN+1,aN+2,...}
توسط گوی
Bd(∞,r)
پوشیده می شود.بعلاوه مجموعه متناهی
{a1,a2,...,aN}
توسط اجتماع  متناهی
Bd(ai,r)
پوشیده می شوند.بنابراین
X∞
کراندار کلی است.
۴.در حالت خاص، فشرده سازی تک- نقطه ای اعداد گویا متریک پذیر است.


(۸۶)
آیا اندازه هار در مجموعه اعداد گویا وجود دارد؟

جواب:
۱.وجود اندازه هار ، در گروه های توپولوژیکی موضعا فشرده و هاسدورف می باشد.ولی گروه مجموعه اعداد گویا با توپولوژی  نسبی اقلیدسی ، موضعا فشرده نمی باشد.اما متریک و لذا فضای کاملا منظم است.

۲.آیا با توپولوژی های دیگر، روی Q، امکان وجود اندازه هار هست.جواب مثبت است.مجموعه Q با توپولوژی  گسسته یک گروه توپولوژیکی هاسدورف و موضعا فشرده است.اندازه شمارشی، همان اندازه هار است.

۳.آیا یک اندازه مثبت و غیر صفر که تحت انتقال پایا باشد، در Q با توپولوژی  اقلیدسی وجود دارد. جواب منفی است.فرض کنید اندازه پایای m  تحت انتقال در گروه جمعی اعداد گویا موجود باشد.در اینصورت

m ({q})= m({q+0})= m({0}):=c

برای هر عدد گویای q. فرض کنید  c غیر صفر باشد.در این صورت با توجه به سیگما- جمعی اندازه m می توان گفت:
الف)  اگر مجموعه A در Q متناهی باشد ، آنگاه
m(A)=c|A|

ب) اگر مجموعه A در Q نامتناهی باشد، آنگاه
m(A)=∞

۴.اگر
K:={1/n : n∈N}u{0}
آنگاه K فشرده است ولی
m(K)=∞

بنابراین m نمی تواند یک اندازه منظم و رادن باشد.  در نتیجه در شرایط اندازه هار صدق کند.

۵.از آنجائیکه
C.(Q)={0}
لذا
C.(Q)*# Mb(Q)
اما با توپولوژی اکید روی
Cb(Q):=Cβ(Q)
داریم
Cβ( Q)*=Mb(Q)

به عنوان دو جبر باناخ طولپا.

۶.از طرفی
m({q})=lim m([q,q+1/n]nQ)=∞
بنابراین
c=0
یا
c=∞
در نتیجه تنها اندازه ثابت صفر یا بی نهایت ، تحت انتقال پایاست.

  برای مطالعه و اثبات خواننده را، به کتاب دزینوشوی ، انتشارات ریسرچ نوت لندن ارجاع می دهم.

(۸۷)
آیا اندازهٔ لِبِگ یک مجموعه تحت دوران و انتقال پایاست؟

جواب:
۱.هرگاه
T: ℝn-->ℝm
یک نگاشت خطی باشد .دراین صورت  ماتریس

mxn

مانند A وجود دارد بطوری که T(x)=Ax  برای هر x در ℝn.بنابراین عدد
M>0
وجود دارد بقسمی که
∥Tx∥≤M∥x∥
برای هر x در ℝn . در نتیجه نگاشت Tپیوسته  است.

۲.هرگاه
T:Rn-->Rn
یک تبدیل خطی باشد و u اندازهٔ لبگ درRn.در این صورت:

u(T(B))=|det(T)|.u(B)

برای هر مجموعه لبگ- اندازه پذیر B  بطوری که

det(T):= det(A)
بقسمی که
Tx=Ax

۳.چنانچه
det(T)=1
وماتریس متناظر بهTعمود باشد، یعنی
At=A-1
آنگاهT را عمد گویند. بنابراین در این حالت
u(T(B))=u(B)

به عبارت دیگر، اندازه لیگ تحت دوران پایاست.

۴.هرگاه B یک مجموعه لبگ- اندازه پذیر در Rn باشد، آنگاه B اجتماع شمارا از مکعب های n- بعدی دو به دومجزا از هم می باشند.هرگهCیک مکعب و a در Rn باشد.دراین صورت به راحتی می توان نشان داد:
u(C+a)=u(C)

بنابراین با توجه به خاصیت سیگما- اندازه پذیری  اندازه لبگ، داریم:
u(B+a)=u(B)

در نتیجه اندازه مجموعه های  لبگ-اندازه پذیر، تحت انتقال پایاست.

(۸۸)
آیا فضای هیلبرت موضعا فشرده است؟

جواب:
۱.اگر H یک فضای هیلبرت متناهی البعد باشد. در این صورت H با نرم ایجاد شده توسط ضرب داخلی، یک فضای  نرمدار است.همچنین تمام نرم ها در فضای  متناهی البعد معادلند. بنابراین H با فضای اقلیدسی Rn همانریخت است. و لذا H موضعا فشرده است.زیرا طبق قضیه  هاینه - برل، گوی بسته حول یک نقطه، یک مجموعه بسته و کراندار است.بنابراین فشرده است.

۲.اگرفضای هیلبرت H متناهی البعد نباشد.در این صورت یک دنباله (en) از عناصر دو به دو متعامد یکه در H وجود دارد.بنابراین
∥en∥=1
و
∥en-em∥=√2
برای
n#m

و لذا دنباله (en) در گوی یکه و بسته
S=B[0,1]
هیچ زیر دنباله  همگرا ندارد.در نتیجه S فشرده نیست و H دارای یک همسایگی با بستار فشرده حول صفر  ندارد.بنابراین  H  فشرده موضعی  نیست.

۳.بنابراین یک فضای هیلبرت فشرده موضعی  است اگر و تنها اگر متناهی  البعد  باشد.

(۸۹)
لم ریز در فضای  نرم دار چیست؟

جواب:
۱.لم ریز :
فرض کنید X یک فضای نُرم‌دار باشد و Y یک زیر‌فضای محض ، بسته ، حقیقی و ناصفر باشد،
آنگاه برای هر
0<r<1
عنصری مانند x وجود دارد به‌طوری که:
∥x∥=1
و
∥x-y∥≥r
برای هر x#y .

۲.فرض کنید z در
X\Y
قرار دهید:
d:=d(z,Y)
از اینکه Y یک زیر مجموعه بسته در X است، لذا فاصله z تا Y مثبت است. بعلاوه
0<r<1
لذا با توجه به تعریف  زیرینه ، عنصر .y درY وجود دارد بقسمی که
∥ z-y.∥> d/r
قرار دهید:
x:=( z-y.)/∥z-y.∥
در این صورت:
∥x∥=1
و
∥x-y∥> d/∥z- y.∥>r
بر ای هر x#y.

(۹۰)
چه موقع فضای نرم دار موضعا  فشرده است.

جواب:
۱.اگر X یک فضای نرمدار متناهی البعد باشد. .از اینکه تمام نرم ها در فضای  متناهی البعد معادلند. بنابراین  X با فضای اقلیدسی Rn همانریخت است. و لذا X موضعا فشرده است.زیرا طبق قضیه  هاینه - برل، گوی بسته حول یک نقطه، یک مجموعه بسته و کراندار است.بنابراین فشرده است.

۲.اگرفضای نرمدار X متناهی البعد نباشد.چنانچه
0<r<1

در این صورت، طبق لم ریز  ، یک دنباله ( xn) درX وجود دارد بطوری که:
∥xn∥=r
و
∥xn-xm∥≥r/2
برای
n#m

و لذا دنباله (xn) در گوی بسته
S=B[0,r]
هیچ زیر دنباله  همگرا ندارد.در نتیجه S فشرده نیست و X دارای یک همسایگی با بستار فشرده حول صفر  ندارد.بنابراین  Xموضعا فشرده نیست.

۳.بنابراین یک فضای نرمدار فشرده موضعی  است اگر و تنها اگر متناهی  البعد  باشد.
 

فصلی  چهارم

مقدمه 
فصل چهارم به بررسی مفاهیم بنیادین در نظریه‌ی فضاهای نُرمدار، فضاهای باناخ و هیلبرت می‌پردازد؛ مفاهیمی که ستون فقرات آنالیز تابعی مدرن را تشکیل می‌دهند. در این فصل، ساختار جبری و توپولوژیکی فضاهای برداری مجهز به نرم بررسی شده و پرسش‌های اساسی درباره‌ی معادل بودن نرم‌ها، مفهوم بعد، پایه‌ها، و ارتباط میان ساختارهای مختلف مطرح می‌شود.
۱. جبرهای باناخ و توابع ضربی
یکی از موضوعات مهم، مطالعه‌ی جبرهای باناخ و توابع ضربی (multiplicative functionals) بر روی آن‌هاست. در این زمینه، ارتباط میان ساختار جبری و توپولوژیکی فضا بررسی می‌شود. به عنوان نمونه، فضای
C[0,1]
که شامل توابع پیوسته روی بازه � با نرم سوپریمم است، نمونه‌ای کلاسیک از یک جبر باناخ جابجایی می‌باشد.
۲. معادل بودن نرم‌ها
یکی از پرسش‌های اساسی این فصل آن است که چه زمانی دو نرم روی یک فضای برداری معادل‌اند. نشان داده می‌شود که:
در فضاهای متناهی‌البعد، همه‌ی نرم‌ها با یکدیگر معادل‌اند.
اما در فضاهای نامتناهی‌البعد، می‌توان نرم‌هایی ساخت که معادل نباشند.
این تمایز نقش اساسی در آنالیز تابعی دارد و تفاوت عمیق میان هندسه‌ی فضاهای متناهی و نامتناهی‌بعد را نشان می‌دهد.
۳. پایه‌ها در فضاهای نرمدار
در ادامه، مفهوم پایه هامل و پایه شودر بررسی می‌شود:
پایه هامل مفهومی جبری است و هر فضای برداری دارای چنین پایه‌ای است.
پایه شودر مفهومی تحلیلی است و به نمایش سری همگرا وابسته است.
برای مثال، فضاهای دنباله‌ای مانند lp، دارای پایه شودر طبیعی هستند.
۴. فضاهای مهم در آنالیز تابعی
در این فصل، برخی فضاهای کلاسیک بررسی می‌شوند، از جمله:
ℓ^∞ — فضای دنباله‌های کراندار
C[0,1] — فضای توابع پیوسته
فضاهای چندجمله‌ای
همچنین شرایطی بررسی می‌شود که تحت آن یک فضای باناخ، فضای هیلبرت است (یعنی نرم آن از ضرب داخلی ناشی می‌شود).
۵. بعد، تفکیک‌پذیری و توپولوژی
از دیگر موضوعات مهم این فصل:
مفهوم بعد در فضاهای باناخ
وجود یا عدم وجود فضاهای باناخ با بعد شمارای نامتناهی
شرط‌های تفکیک‌پذیری در فضاهای متریک
امکان گسترش نرم یا توپولوژی از یک زیر فضا به کل فضا
جمع‌بندی
این فصل پلی میان جبر خطی، توپولوژی و آنالیز تابعی برقرار می‌کند و نشان می‌دهد که چگونه مفاهیمی مانند نرم، پایه، بعد، تفکیک‌پذیری و ضرب داخلی ساختار فضاهای تابعی را شکل می‌دهند.
مطالعه‌ی این مباحث، زمینه را برای درک عمیق‌تر نظریه‌ی عملگرها، طیف عملگرها و کاربردهای گسترده‌ی آنالیز تابعی در ریاضیات و فیزیک فراهم می‌کند.

 

 

(۹۱)
معرفی توابع ضربی در جبرهای باناخ

جواب:
۱.هرگاه A یک جبر باناخ جابجائی  باشد، آنگاه هر تابع خطی و ضربی روی A پیوسته است.

۲.هر گاه A یک فضای  باناخ باشد و آن را مجهز به ضرب صفر کنیم، آنگاه A یک جبر باناخ جابجائی است  که تنها تابع صفر روی A ضربی است.

۳.هرگاه A یک جبر باناخ جابجائی  باشد، آنگاه مجموعه تمام تابعک های خطی ، ضربی و غیر صفر روی A را با
D(A)
نشان می دهند.

۴.هر گاه A یک فضای باناخ و تابعک f در *A  باشد.چنانچه عمل ضرب
  x.y: =f(x)y
تعریف کنیم، آنگاه f تابعی ضربی است.

۵.هرگاه A یک جبر باناخ  جابجائی  یکدار باشد، آنگاه فضای مشخصه D(A) غیر تهی است.

۶.هرگاه D(A)  را مجهز به  *ضعیف- ستاره توپولوژی در *A کنیم و A یکدار باشد، آنگاه D(A) فشرده است.

   برای مطالعه و اثبات، خواننده را به کتاب جبرهای های باناخ  جابجائی اثر کانیوس ارجاع می‌دهیم.

(۹۲)
آیا همه نرم ها در فضای C[0,1] معادلند؟

جواب
۱.هرگاه A:=C[0,1] ، فضای تمام توابع پیوسته مختلط- مقدار روی [0,1] باشد،آنگاهAبا ضرب نقطه ای و نرم های زیر فضاهای  نرمدار است.
∥f∥1:=∫|f(x)|dx
و
∥f∥∞:=max{|f(x)| :x∈[0,1]}

۲.فضای A با نرم- یک، کامل نمی باشد.در حقیقت چگال در L1[0,1] می باشد.


۳.جبر A با نرم بی نهایت یک *C-جبر می باشد.

۴.فضای A متناهی البعد نمی باشد، و دو نرم -یک و نرم- بی نهایت معادل نمی باشند.بدیهی که
∥f∥1≤∥f∥∞
فرض کنید
∥f∥∞≤c∥f∥1
برای یک c>0 و هر f در A.چنانچه دنباله (fn) در A باشد بطوری که
∥fn∥1=1/n
مثلا
fn(x)=1-n|x-1/2|
وقتی x در
[1/2-1/n,1/2+1/n]
تغییر کند و در سایر نقاط صفر باشد.در اینصورت
∥fn∥∞=1=fn(1/2)
در نتیجه:
1≤c/n
برای هر n، و لذا c=0 ، که تناقض است.

۵.بنابراین دو نرم-یک و نرم-بی نهایت در فضای نرمدار
C[0,1]
معادل نیستند

 

(۹۳)
چرا همهٔ نرم ها در فضای نرمدار متناهی البعد معادلند؟

جواب:
۱.هرگاهV یک فضای برداری نرمدار و
dim(V)=n
در این صورت V دارای یک پایه
B:={v1,v2,...,vn}
می باشد.فرض کنید
T:Rn-->V
توسط
T(x1,x2,..,xn)= x1v1+x2v2+...+xnvn

تعریف شود.در اینصورت T خطی، دوسوئی و پیوسته است.بنابراین وارونTپیوسته است.در نتیجه اعداد مثبتMوN وجود دارند بقسمی که
N∥x∥2≤∥T(x)∥≤M∥x∥2
بنابراین فضایV با R n همانریخت می باشند.

۲.در حالت  خاص، هر دو نرم در فضای  Rn ، توپولوژی یکسان ایجاد می کنند.بنابراین هر گوی بسته و کراندار با هر نرمی در Rn ، طبق قضیه هاینه برل فشرده است.

۳.فرض کنید فضای Rn مجهز به نرم دیگری به مانند:
x-->∥x∥
باشد.در اینصورت گوی
S:={x∈Rn : ∥x∥2=1}
در Rn فشرده است.از اینکه نگاشت
f : Rn-->R
با ضابطه
f(x)=∥x∥

پیوسته است.لذا
f(S)
فشرده است.در نتیجه حداقل و حداکثر خود را اختیار می کند.بنابراین اعداد مثبتmوn وجود دارند بقسمی که

m≤∥x/∥x∥2)∥≤n
برای هر xدر Rn.بنابر این
m∥x∥2≤∥x∥≤n∥x∥2
۴.بنابراین هر دو نرم دو فضای متناهی البعد معادلند.

(۹۴)
هرگاه X یک فضای نرم دار و Y زیر فضای آن باشد.آیا یک نرم رویY را می توان به یک نرم در X توسیع داد؟

جواب
۱.هرگاه
f:Y-->C
تابعک خطی و پیوسته باشد، آنگاه طبق قضیه هان - باناخ  تابعک خطی و پیوسته
F:X-->C
وجود دارد بقسمی که
F|Y=f
و
∥F∥=∥f∥

۲.با توجه به قضیه هان- باناخ ، می توان نشان داد که
∥y∥=∥y^∥=sup{|f(y)| : f∈Y*, ∥f∥≤1}
برای هرy در Y.

۳.چنانچه برای هر
h :Y-->C
در گوی یکه *Y، و هر x در X تعریف کنیم:

∥x∥ₕ:=sup{|F(x)| :F∈X*  ,F|Y=h  ,∥F∥≤1}
و
∥ x∥':=sup{∥x∥ₕ :h∈Y*,∥h∥≤1}
در این صورت:
x-->∥x∥'
یک توسیع نرم
y-->∥y∥
رویYمی باشد.

(۹۵)
آیا در فضای نرمدار نامتناهی البعد، می توان نرمی ساخت که معادل نرم اصلی نباشد؟

جواب:
۱.فرض کنید
(X ,∥.∥)
یک فضای نرمدار نامتناهی البعد  باشد. در این صورت یک دنباله مستقل خطی
(xn)
در X وجود دارد.

۲.هرگاه Y زیر فضای خطی تولید شده توسط
{yn : n∈N}
باشد بطوری که
yn:=(1/n)(xn/∥xn∥)
بنابراین
∥yn∥ =1/n-->0
در اینصورت برای هر yدرY:

y:=a1y1+a2y2+...+anyn
تعریف می کنیم،:
∥y∥':=|a1|+|a2|+...+| an|

به راحتی می توان نشان داد که
y-->∥y∥'
یک نرم درY است.

۳.بدیهی است که
∥y∥≤∥y∥'
و با بکار بردن قضیه هان - باناخ، نرم درY قابل توسیع به یک نرم
x-->∥x∥"
در کل فضای X است.

۴.در این صورت
∥yn∥' =1
برای هرn. از طرفی
yn-->0
در
(X,∥.∥)
ولی دنباله
(yn)
در فضای
(X,∥.∥'' )
به صفر همگرا نیست.
بنابراین دو نرم در فضای X معادل نمی باشند.

(۹۶)
چه موقع دو نرم در فضاهای نرمدار معادلند؟

جواب:
هرگاه
X1:=(X,∥.∥1):=(X,T1)
و
X2:=(X,∥.∥2):=(X,T2)

فضاهای  باناخ  باشند، آنگاه عبارت  زیر  معادلند:

۱.توپولوژی T1=T2 ،

۲.توپولوژیT1 ضعیف‌تر  از T2 است

۳.توپولوژیT2ضعیف تر از T1 است.

۴.دو نرم معادلند

۵.عدد مثبت C موجود است، بطوری که
∥x∥1≤C∥x∥2
برای هر x در X.

۶.عدد مثبت D موجود است بطوری که
∥x∥2≤D∥x∥1
برای هر x در X.

برهان
با بکار بردن قضیه نگاشت باز، برای نگاشت همانی، براحتی اثبات می شود.

 (۹۷)
پایه های همل و شودر چیست؟

جواب:
      در فضای نرم‌دار (همچنین فضاهای برداری و فضاهای برداری توپولوژیک) معمولاً دو نوع پایه مطرح می‌شود:

۱. پایهٔ همل
مجموعه‌ای از بردارهاست به‌طوری‌که هر عضو فضا را می‌توان به‌صورت مجموع خطی متناهی از این عناصر بطور یکتا نوشت. در حقیقت  یک زیر مجموعه  ماکسیمال و مستقل در فضای برداری را یک پایه همل گویند.

      پایهٔ همل در همهٔ فضاهای برداری وجود دارد، اما معمولاً شمارش ناپذیر است و در فضاهای نرم‌دار کاربرد عملی کمی دارد.

۲. پایهٔ شودر
دنباله‌ای از اعضای فضاست به‌طوری‌که هر عنصر فضا را می‌توان به‌صورت مجموع خطی شمارا از آن‌ها نوشت؛ همگرایی این مجموع نسبت به نرم فضا تعریف می‌شود و نمایش آن عنصر یکتا است.

     پایهٔ شودر مخصوص فضاهای نرم‌دار و توپولوژیک است و نقش مهمی در آنالیز تابعی دارد.

(۹۹)
هرگاه  (Y,T)  یک فضای  توپولوژیکی  باشد و مجموعه X شاملY باشد.آیا یک توپولوژی روی X وجود دارد که توسیع T باشد؟

جواب:
هرگاه
T':={VuA : V∈T, A⊆X\Y}
در این صورت:
الف)
∅=∅u∅
ب)
X=Yu(X\Y)
ج)
(VuA) nY=V
بنابراین
T'|Y=T
ج) بدیهی است که'T تحت اجتماع دلخواه و اشتراک متناهی بسته است.
    بنابراین فضای توپولوژیکی  ('X,T) توسیع فضای توپولوژیکی (Y,T) است.

(۱۰۰)
چند مثال از پایه های شودر
جواب:

۱.هرگاه X=lp،

1≤p<∞
و
en:=(0,0,...,1,...)
بطوری که عدد 1  در مولفه n-ام دنباله باشد، آنگاه
{en :n∈N}

یک پایه شودر(یا شادور) برای lp است.هرگاه
x=(xn)
در lp باشد، آنگاه x دارای نمایش یکتای
x=  x1e1+x2e2+...+xnen+...
می باشد.

۲ قضیه گرودنتیک: در حالت کلی فضای
L∞(X,μ)
دارای پایه شودر نمی باشد.

۳.در حالت خاص،
L∞[ 0,1]
دارای یک زیر مجموعه  شمارا چگال است.بنابراین دارای پایه شودر است.بالاخص زیر فضای
C[0,1]
دارای پایه شودر است.

۴.بطور کلی هر فضای باناخ که دارای یک زیر مجوعه چگال شمارش پذیر باشد، دارای پایه شودر است.

۵. با توجه به قضیه استون- وایرشتراس، فضای C[0,1] دارای پایه شودر
B={pn : n∈N}
می باشد، بطوری که
pn(x)=xⁿ
برای هر x در [0,1].

 

(۱۰۱)

برخی از خواص فضای باناخ loo

جواب:
۱.فضای تمام دنباله های کراندار
l∞=(c.)**
یکرجبر وان- نیومن است و لذا با ضرب نقطه ای یک *C- جبر است.همچنین یک جبر دوگان با پیش دوگانl1 می باشد و
l∞ =l₁*

۲.فضای
l∞#c.
و لذا .c یک *C- جبر  است که یک فضای انعکاسی نمی باشد و هیچ پیش دوگانی ندارد. بنابراین .c یک جبر وان- نیومن نیست.

۳.هرگاه {en}= B مجموعه استاندارد باشد،آنگاهBیک پایه شودر برای فضای باناخ lp است، بطوری که
1≤p<∞
ولی یک پایه برای
l∞
نمی باشد.فرض کنید
x=(1,1,...)
و B یک پایه برای ∞l باشد.پس اعداد cn وجود دارند بقسمی که
c1e1+c2e2+..=x
بنابراین
sn-->x
بطور یکنواخت،  بطوری که
sn=( c1,c2,..,cn,0,0,0,..)
بنابراین
∥sn-x∥∞= max{| c1-1|,...|cn-1|,1}-->0
در نتیجه
cn=1
برای هرn. در نتیجه

∥sn-x∥∞=1
که تناقض است.

۴.بنابراین، اگر چه B در
l∞
مستقل خطی است ولی فضای تولید شده توسطB برابر
l∞
نمی باشد.پسB نمی تواند یک پایه شودر برای

l∞
باشد.

(۱۰۲)
آیا هر فضای باناخ که پایه شودر داشته باشد تفکیک پذیر است؟

جواب:
۱.هر گاه
B={x1,x2,..}
یک پایه شودر برای فضای باناخ X باشد.چنانچه C مجموعه تمام ترکیبات متناهی از عناصر B با ضرایب گویا باشد.در این صورت C زیر مجموعه  شمارا و چگال در X است.بنابراین X تفکیک پذیر است.

۲.هرگاه
X=l∞
فضای باناخ از همه دنباله های کراندار با زبرینه- نرم باشد، آنگاه X تفکیک پذیر نیست و لذا یک فضای  شودر نیست.

۳.هرگاه  s, t زیر مجموعه های از اعداد طبیعی باشند و
xₛ(n)=1
اگر و تنها اگر n در s باشد.بعلاوه
xₛ(n)=0
وقتی n در s نباشد.در این صورت
∥xₛ - xₜ∥∞=1
برای هر
s# t
قرار دهید:
A:={xₛ : s⊆N}
در این صورت مجموعه A ناشمارا در
l∞
است.بنابراین هیچ زیر مجموعه  شمارا و چگال در
l∞
وجود ندارد.در غیر این صورت، اگرD شمارا و چگال در
l∞
باشد، آنگاه برای هر a در A وجود دارد
d(a)
در D بطوری که
∥d(a)-a∥<1/2
در نتیجه نگاشت
a--> d(a)
یک به یک است.بنابراین
Card(A)≤Card(D)
و تناقض است.

(۱۰۳)
بُعد در فضای باناخ چیست؟

جواب:
در آنالیز تابعی، وقتی از فضای باناخ صحبت می‌کنیم (فضای برداری نُرم‌دارِ کامل)، منظور از بُعد معمولاً بُعد همِل است.

🌸 ۱.تعریف بُعد همِل
بُعد یک فضای باناخ برابر است با عدد اصلی  مجموعه عناصر یک پایهٔ همِل آن.پایهٔ همِل مجموعه‌ای از بردارهاست که مستقل خطی هستند و هر بردار در فضا به‌صورت ترکیب خطی متناهی از آن‌ها نوشته می‌شود.

🌼۲. حالت متناهی‌ البعد:
اگر فضای باناخ متناهی‌بعد باشد، آنگاه بُعد آن یک عدد طبیعی است؛ همه نُرم ها در روی فضای نرمدار متناهی البعد معادل است؛ فضا به‌طور خودکار کامل است؛ پایهٔ همِل و پایهٔ شاوْدر این حالت بر هم منطبق‌اند.

🌷۳. حالت نامتناهی البعد
بیشتر فضاهای باناخ مهم در آنالیز بی‌نهایت‌بعد هستند، مانند:
l p ، و loo

در این حالت، بعد همِل این فضاها شمارش پذیر نمی باشد.

🌺۴. فضای l2 یک فضای باناخ (حتی هیلبرت) است؛ تفکیک پذیر است. ولی بعد آن نا شماراست.

🌺۵. قضیهٔ اساسی
اگر یک فضای نُرم‌دار دارای پایهٔ همِلِ شمارا باشد، آن فضا متناهی‌بعد است. بنابراین، هر فضای باناخ نا متنای البعد، دارای بعد همِل غیرقابل‌شمارش است.

(۱۰۴)
آیا فضای باناخ با بعد شمارای بی پایان وجود دارد؟

جواب:
فرض کنید X یک فضای باناخ با بعد شمارای بی پایان
B={ x1,x2,...}
در این صورت:
yn:= x1+(1/2)x2+..+(1/2ⁿ)xn

کوشی است ولی در X همگرا نیست.زیرا بدون کاهش از کلیت می توان فرض کرد که
∥xn∥=1
برای هر  n.بنابراین برای
m> n
  داریم:

∥ym- yn∥<1/2ⁿ
در نتیجه دنباله (yn)  کوشی  است.پس عنصر y در X وجود دارد بطوری که
yn--> y
  در نتیجه
y= x1+1/2 x2+...+1/2ⁿxn+...

بنابراین y را نمی توان به صورت ترکیب متناهی از عناصر پایه B نوشت، زیرا نمایش یکتاست و این تناقض است.لذا B باید متناهی باشد.پس X متناهی البعد است.

(۱۰۵)
چه موقع یک فضای  متریک تفکیک پذیر است؟

جواب:
۱.در فضای متریک، «تفکیک‌پذیری» ؛ یعنی دارای یک زیرمجموعهٔ شمارا و چگال است.در زیر شرایط لازم و کافی برای تفکیک پذیر ی فضای متریک (X,d)ارائه می گردد.عبارات زیر معادلند:

الف) فضای X تفکیک پذیر است .

ب) فضایX دارای خاصیت دوم شمارا است ، یعنی دارای یک پایه توپولوژیک شماراست.

ج) برای هر ε>0 ،فضای X توسط تعدادی شمارا ε- گوی باز پوشیده می شود.

د)فضای X لیندلف است، یعنی هر پوشش باز آن دارای یک زیر پوشش شما راست.

  برای اثبات و جزئیات، خواننده را به کتاب های توپولوژی، از جمله ویلارد ارجاع می دهم.

(۱۰۷)
آیا فضای  C[0,1] مجهز به ضرب داخلی است؟

جواب:
۱.فضای   C[0,1]  با زبرینه-نرم در قانون متوازی الاضلاع صدق  نمی کند.زیرا برای
f(x)=x
و
g(x)=1-x
داریم:
∥f∥∞=∥g∥∞=1
همچنین
∥f+g∥∞ = ∥ f-g∥∞=1

بنابر این قانون متوازی‌الاضلاع  صادق نیست.پس فضای C[0,1] مجهز به ضرب داخلی  نیست.

۲.فضای نرمدار [C[0,1 با نرم-دو، مجهز به ضرب داخلی است.در حقیقت
<f,g>=∥f-g∥₂
یک ضرب داخلی است.اما هیلبرت نمی باشد.

۳.کامل شده [C[0,1 برابر
L₂[0,1]
می باشد، که یک فضای هیلبرت است.

(۱۰۶)
چه موقع  یک فضای باناخ، یک فضای  هیلبرت  است؟

جواب:
۱.هرگاه H یک فضای  هیلبرت حقیقی(مختلط) باشد، آنگاه قانون متوازی‌الاضلاع  برقرار  است.

۲.فرض کنید X یک فضای باناخ حقیقی باشد، که در قانون متوازی الاضلاع  صدق کند.در این صورت ضرب داخلی:
<x,y>:=1/4[ ∥x+y∥²-∥x-y∥²]
در شرط
∥x∥=√<x,x>
صدق می کند.

۳.هرگاه X یک فضای باناخ مختلط  باشد، آنگاه تعریف  می کنیم:

<x,y>:=1/4[ ∥x+y∥²-∥x-y∥² +i∥x+iy∥²-i∥x-iy∥²]
در شرط

∥x∥=√<x,x>
صدق می کند.
   براحتی می توان نشان داد که تابع
(x,y)--> <x,y>
در شرایط ضرب داخلی صدق می کند.

۴.بنابراین یک فضای  نرمدار مجهز به یک ضرب داخلی است اگر و تنها اگر در قانون متوازی الاضلاع صدق کند.

(۱۰۸)
آیا فضای کثیرالجمله ها یک فضای  باناخ  است؟

جواب:
۱.هرگاه
ℝ[x]:={ p:ℝ--> ℝ :کثیرالجمله p}
در اینصورت
  p(t)=a.+ a₁t+...+ aₙtⁿ
را یک کثیرالجمله  گویند.

۲.چنانچه دامنه کثیرالجمله  را به
[a,b]
  محدود کنیم، آنگاه
ℝ[x]
یک زیر فضای نرمدار و چگال در
C[a,b]
می باشد.

۳.هرگاه
B:={ p1,p2,....}
بطوری که
pₙ( t)= tⁿ
برای t درℝ. در این صورتB یک پایه همل شمارا برای فضای برداری
ℝ[x]
می باشد.

۴.هرگاه
fₙ(x)=1+×/2+ ...xⁿ/nₗ
برای x در
[ a,b]
در این صورت دنباله
(fₙ)
در
ℝ[x]
کوشی  است و به
f(t):=exp(t)
همگرای یکنواخت است.اما f در
ℝ[x]
نمی باشد.لذا فضای کثیرالجمله ها کامل نیست.بنابراین یک فضای باناخ روی [a,b] با زبرینه-نرم نیست.

 (۱۰۹)
ارتباط بین انواع پایه‌های فضاها چیست؟

جواب:
🌸 ۱. اگر (X,T) یک فضای توپولوژیکی باشد، زیرمجموعه‌ای  B ازT را پایهٔ توپولوژیکی فضای X می‌نامند، هرگاه هر مجموعهٔ باز در X به صورت اجتماع (دلخواه) اعضایی از B بیان شود.

🌸 ۲. اگر X یک فضای برداری باشد، زیر مجموعه‌ای B از X را پایهٔ همِل می‌نامند، هرگاه عناصر B مستقل خطی باشند و هر عضو X ترکیب خطی متناهی از عناصر B باشد. ساختار پایه همل، جبری است.

🌸 ۳. اگر  X یک فضای هیلبرت باشد و B  زیرمجموعه‌ای از عناصر دو به دو متعامد (معمولاً متعامد–نرمال) باشد به‌طوری که که فضای خطی تولیدشده توسط B در کل فضا چگال باشد، آنگاه B را پایهٔ هیلبرتX نامند.ساختار پایه هیلبرت، هندسه- آنالیزی است.

🌸 ۴. اگر X یک فضای نرم‌دار باشد، دنباله‌ای شمارا (xn) در X را پایهٔ شودر برای X می‌نامند، هرگاه برای هر x در X ، ضرایب یکتای aₙ وجود داشته باشد به‌طوری که
x= a1x1+ a2x2+....
ساختار پایه شودر، توپولوژیکی- آنالیزی است.

🌸 ۵.اگر فضای هیلبرت X تفکیک پذیر باشد ، آنگاه X دارای یک پایه شودر (en) است  بطوری که برای هر x در X داریم:
x=<x,e1> e1+< x,e2>e2+....

فصل پنجم

مقدمه
ریاضیات، زبانی است برای صورت‌بندی اندیشه‌های دقیق؛ زبانی که در طول تاریخ، همزمان با گسترش نیازهای فکری بشر، لایه‌به‌لایه غنی‌تر و انتزاعی‌تر شده است. آنچه امروز از آن با عنوان «ریاضیات مجرد» یاد می‌کنیم، نه گریزی از واقعیت، بلکه تلاشی آگاهانه برای کشف ساختارهای مشترک پدیده‌های گوناگون و فهم عمیق‌تر مفاهیم بنیادین است. مفاهیمی چون عدد، تابع، همگرایی، پیوستگی و عمل، در این مسیر بارها بازتعریف شده‌اند تا بتوانند پاسخ‌گوی پرسش‌های ظریف‌تر و گسترده‌تر باشند.
این نوشتار پنجمین بخش از مجموعه «شرحی بر مفاهیم ریاضیات» است و می‌کوشد پلی بزند میان جبر تابعی، آنالیز حقیقی و آنالیز غیر استاندارد. از یک‌سو با مفاهیمی نسبتاً پیشرفته در جبرهای باناخ، همچون حاصل‌ضرب تنسوری، توابع ضربی و نگاشت گلفند روبه‌رو می‌شویم، و از سوی دیگر وارد قلمرو میدان‌های مرتب، اعداد فراحقیقی کانوی و ابزارهای آنالیز غیر استاندارد می‌گردیم؛ قلمرویی که در آن «بی‌نهایت کوچک» و «بی‌نهایت بزرگ» نه صرفاً استعاره، بلکه موجوداتی دقیقاً تعریف‌شده‌اند.
هدف اصلی این مجموعه، ارائه‌ی شهود مفهومی در کنار دقت ریاضی است. پرسش‌هایی از این دست که «چرا ریاضی‌دانان گروه، حلقه و میدان را معرفی کردند؟»، «چه زمانی نگاشتی طول‌پاست؟» یا «آیا همه‌ی میدان‌های مرتب بی‌پایان یکریخت‌اند؟» صرفاً فنی نیستند؛ بلکه بازتابی از تلاش ریاضیات برای فهم ساختارهای عمیق و مشترک‌اند. همچنین، بررسی مشتق، انتگرال و همگرایی در چارچوب آنالیز غیر استاندارد، نگاهی تازه به مفاهیمی می‌دهد که در ظاهر آشنا، اما در باطن بسیار غنی‌اند.
این نوشته‌ها بیش از آن‌که در پی ارائه‌ی اثبات‌های طولانی باشند، قصد دارند خواننده را با ایده‌ها، انگیزه‌ها و پیوندهای میان شاخه‌های مختلف ریاضیات آشنا سازند؛ به‌گونه‌ای که مطالعه‌ی آن‌ها هم برای دانشجویان علاقه‌مند و هم برای خوانندگانی که به دنبال درک عمیق‌تر مفاهیم ریاضی‌اند، سودمند باشد.

(۱۱۲)
آرنز منظم  پذیر ی حاصلضرب  تنسوری جبرهای های باناخ  چیست؟

۱.هرگاه A یا B جبرهای باناخ یکدار باشند، بطوری که حاصلضرب جبرهای  تنسوری A@rB یک جبر باناخ باشد. در این صورت A@rB آرنز- منظم است  اگر و تنها اگر A و B آرنز- منظم باشند.

۲.حاصلضرب تصویری A@^B آرنز منظم است  اگر و تنها اگر A و B آرنز- منظم باشد.

۳.هرگاه X یک فضای فشرده موضعی و A یک جبر باناخ یکدار باشد، آنگاه C.(X,A) آرنز- منظم اگر و تنها اگرA آرنز منظم باشد.

۴. اگر G یک گروه توپولوژیکی فشرده موضعی  هاسدورف باشد  و A یک جبر باناخ یکدار باشد، آنگاه L1(G,A) آرنز - منظم است اگر و تنها اگر G متناهی و A آرنز - منظم باشد.

۵.اگر G یک گرو ه توپولوژیکی  فشرده موضعی و هاسدورف  ، A یک جبر باناخ  وp>1.در این صورت Lp(G,A) آرنز منظم است اگر و تنها اگرA آرنز منظم باشد.

(۱۱۳)
نقش توابع ضربی  در جبرهای باناخ جابجائی چیست؟
جواب

هرگاه A یک جبر باناخ جابجائی یکدار باشد و D(A) خانواده تمام توابع ضربی غیر صفر  روی A باشد.در اینصورت:

۱.هر تابع ضربی روی A پیوسته است.

۲.هرگاهp در D(A) باشد، آنگاه Ker(p) یک  ایدآل ماکسیمال درA است.

۳.هر ایدآل ماکسیمال در A، مجموعه ای بسته است و هسته ای یک تابع ضربی رویA می باشد.

۴.عنصر x در A وارون پذیر است اگر و تنها اگر p(x)#0 برای هر p در D(A).

۵.هرگاه D(A) مجهز به *ضعیف-توپولوژی باشد، آنگاه D(A) مجموعه  ای فشرده است.

   برای مطالعه و  اثبات، خواننده را به  کتاب جبر باناخ جابجائی،  اثر کانیوس ارجاع می دهم.

(۱۱۴)
چه موقع نگاشت  گلفند طولپاست؟
جواب:

هرگاهA یک جبر باناخ جابجائی و x در A باشد ، آنگاه

۱.چنانچه x^(p)=p(x) برای هر pدر D(A).در این صورت
∥x^∥∞=lim∥xⁿ∥¹/n

۲.هرگاه ∥x^∥∞=∥x∥ ، آنگاه

∥x²∥=∥x∥²
و بالعکس.

۳.هرگاه
∥x²∥=∥x∥²
آنگاه
∥x²ⁿ∥=∥x∥²ⁿ
برای هر n.

۴.نگاشت گلفند طولپاست  اگر و تنها اگر
∥x²∥=∥x∥²
برای هر x در A.

۵.نگاشت گلفند پوشاست اگر و تنها اگرA یک *C-جبر جابجائی باشد.

۶.نگاشت گلفند یک به یک اگر و تنها اگر جبر باناخ A نیم ساده باشد.

 (۱۱۵)
چرا ریاضی‌دانان  «گروه»، «حلقه» و «میدان» را در جبر مجرد معرفی نمودند؟
جواب:
    پاسخ را مرحله‌به‌مرحله مورد بررسی قرار می دهیم.
۱. تاریخچه معرفی  گروه:
قبل از قرن نوزدهم، جبر یعنی کار با اعداد و نمادها بود  ، مثل حل معادلات چندجمله‌ای، کار با اعداد مختلط، و قواعد ساده حساب. اما ریاضی‌دانان به پدیده‌هایی رسیدند که خواصی مانند گروه ها را داشت.همانند حرکت ساعت، که پس از دوازده  ساعت تکرار می شود.در این لحظه نیاز به روشی پدید آمد که بتواند تمام این ساختار ها را سازماندهی کند.

         ایوارِست گالوا ، در دهه‌ی ۱۸۳۰، هنگام بررسیِ اینکه چرا بعضی معادلات درجه‌ی پنجم قابل حل نیستند، فهمید مسئله به «ساختار تقارن ریشه‌ها» برمی‌گردد نه صرفاً به عددها.او مفهوم گروه را معرفی نمود.او مجموعه‌ای از تبدیلات که تحت عمل ترکیب و وارون بسته باشد را گروه نامید. ایده‌ی گالوا به طرز غیرمنتظره‌ای، روح تازه‌ای به ریاضیات داد. از عددها باید فراتر رفت و ساختار عملیات را باید دید.هدف او نظم دادن نبود؛ بلکه دنبال فهم عمیق‌تری از قابل‌حل بودن معادلات بود.

۲.تاریخچه معرفی حلقه و میدان
پس از گالوا، ریاضی‌دانان مثل ریشارد ددکایند  و دیوید هیلبرت، در اواخر قرن نوزدهم دیدند که مفاهیمی مثل عدد صحیح، اعداد مختلط، چندجمله‌ای، و ماتریس، همگی رفتار مشابهی دارند تحت عمل جمع و ضرب دارند.اینجا بود که برای توصیف این ساختارها، دو مفهوم تازه ساخته شد:

الف) حلقه R مجموعه‌ای که در آن دو عمل جمع و ضرب وجود دارد که نسبت به جمع تشکیل گروه آبِلی  می‌دهد و ضرب نسبت به جمع خاصیت  پخشی دارد.

ب) میدان F ، مثل حلقه است، ولی هر عنصر به جز صفر وارون ضربی دارد.

     این مفاهیم را امی نوتر  در دهه‌ی ۱۹۲۰ به شکل امروزی‌شان معرفی نمود. امی نوتر نبوغ خارق‌العاده‌ای داشت و مأموریتش اساساً نظم دادن به ریاضیات با یک زبان واحد ساختاری بود ، نه فقط برای نظم بلکه چون فهمیده بود قانون‌های بنیادیِ بسیاری از شاخه‌های ریاضیات ، از عدد تا هندسه تا فیزیک ، ساختار جبر یکسانی دارند.

 (۱۱۶)
مجموعه اعداد فرا حقیقی چیست؟
قسمت اول
جواب

مجموعه اعداد فراحقیقی که توسط جان اچ. کانوی در سال ۱۹۷۶ معرفی شد، یک مجموعه عددی فوق‌العاده غنی و گسترده است که تقریباً تمام انواع اعداد شناخته شده در ریاضیات (اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد گویا، اعداد حقیقی و حتی بی‌نهایت‌های اولیه و انتهایی) را در بر می‌گیرند. این مجموعه ساختاری بسیار شبیه به مجموعه اعداد ترتیبی دارد، اما با قوانین جمع و ضرب تعریف می‌شود.

۱.معرفی مجموعه اعداد فراحقیقی
هر عدد فراحقیقی x به صورت یک زوج مجموعه
x={L|R}
تعریف می‌شود: که در آن:
۱.مجموعهL، یک مجموعه فرا ریختی چپ، و R یک مجموعه  فرا ریختی راست است.

۲.هر عضو L کوچکتر از هر عضو R است.

۳.عدد x از هر عنصر R کوچکتر است .همچنین از هر عنصر L بزرگتر می باشد.یعنی
x:=sup(L)=inf(R)

۴.عدد فراحقیقی  صفر ، زوج مرتب از مجموعه های تهی است.
{Q|Q}=0
۵.همچنین عدد یک   زوج مرتب از صفر و تهی است.
1:={0|Q}={{Q|Q}|Q}
۶.بطور مشابه، منفی یک، زوج مرتب تهی و صفر است.
-1={Q|0}={Q|{Q|Q}}
۷.بعلاوه، عدد دو، زوج مرتب یک و تهی است.
2={1|Q}
۸.همچنین کسر ۱/۲ ، زوج مرتب یک و صفر می باشد.
{1|0}=1/2
۹.بطریق مشابه، منهای۱/۲ ، زوج مرتب صفر و منهای یک است.
{0|-1}=-1/2

(۱۱۷)

اعمال حسابی در میدان اعداد فراحقیقی  چیست؟

جواب:

در آنالیز غیر استاندارد که نخستین‌بار توسط آبراهام رابینسون در دهه‌ی ۱۹۶۰ معرفی شد. مجموعه‌ی اعداد فراحقیقی را با نماد زیر نشان داد.
∗R∗R:=R~
این مجموعه، توسیعی از مجموعه‌ی اعداد حقیقی ‌R‌ است که در آن اعداد بی‌نهایت کوچک و بی‌نهایت بزرگ نیز وجود دارند.

1. تعریف دقیق اعداد فراحقیقی‌:

یک عدد فراحقیقی x به‌صورت یک کلاس هم‌ارزی از دنباله‌های حقیقی:
x=[xn]
که در آن رابطه‌ی هم‌ارزی با استفاده از فرافیلتر غیراصلی روی مجموعه‌ی اعداد طبیعی‌ N تعریف می‌شود.

دو دنباله‌ی حقیقی (xn​) و (yn​) هم‌ارز گوئیم،
هرگاه مجموعه‌ی
{n:xn=yn}

عضوی از یک  فرافیلتر به مانند U درN  باشد.

۲. تعریف عمل جمع
اگر دو عدد فراحقیقی را داشته باشیم:
a=[an]، , b=[bn​]
جمع آن‌ها چنین تعریف می‌شود:
a+b:=[an+bn]
که در آن جمع داخل کلاس ها به‌صورت مؤلفه به مؤلفه انجام می‌شود. با نظریه فرافیلتر ها ثابت می‌شود که عمل جمع خوش تعریف  است.

۳.تعریف عمل ضرب
بطور مشابه

axb:=[an.bn]

که در آن ضرب داخل کلاس ها به‌صورت مؤلفه به مؤلفه انجام می‌شود. با نظریه فرافیلتر ها ثابت می‌شود که عمل حاصل ضرب خوش تعریف  است.

۴.عدد فرا حقیقی
a=[an]
را غیر صفر گویند، اگر
{n:an#0}
در یک مجموعه فرا فیلتر باشد.

۵.هرگاه

a=[an]
غیر صفر باشد،  آنگاه
a-1=[(an)-1]
و
|a|=[|an|]
با توجه به خواص فرا فیلتر ها،  می توان نشان داد که اعمال وارون و قدر مطلق خوش تعریف هستند.

۶.هرگاه
a=[an]، , b=[bn​]
اعداد فراحقیقی باشند.دراین صورت
a>b
اگر و تنها اگر
{n:an>bn}
در یک فرا فیلتر قرار گیرد.

۷.مجموعه تمام اعداد فرا حقیقی،  یک میدان مرتب می باشد.

(۱۱۸)
قسمت استاندارد یک عدد فراحقیقی  چیست؟

جواب:
۱.عدد فراحقیقی  xرا کراندار گوئیم، اگر عدد حقیقی M موجود باشد بقسمی که
|x|<M
چنانچه  x کراندار نباشد، یعنی
|x|>r
برای هر عدد حقیقی r.در اینصورت عدد فرا حقیقی x را بی نهایت  بزرگ نامند.

۲.عدد فرا حقیقی xرا بی نهایت  کوچک گوئیم، اگر
|x|<r
برای هر عدد حقیقی مثبت r.

۳.دو عدد فراحقیقی x,y را بی‌نهایت  بهم نزدیک گوئیم،  اگر
x-y
یک عدد بی نهایت کوچک باشد.

۴.برای هر عدد فراحقیقی کراندار x، عدد حقیقی  یکتای r ، قسمت استاندارد x، موجود است بطوری که
x-r
یک عدد فراحقیقی بی نهایت کوچک است.قرار می دهیم
st(x):= r

۵.در حالت خاص، اگر x یک عدد حقیقی  باشد، آنگاه
st(x)=x
چنانچه  x بی نهایت کوچک باشد، آنگاه
st(x)=0

 

(۱۱۹)
اعداد بی‌نهایت کوچک و بی‌نهایت بزرگ چیست؟

جواب:

۱. یک عدد فراحقیقی x را بی‌نهایت کوچک می‌گوییم ، اگر صفر نباشد ولی از هر عدد حقیقی مثبت کوچک‌تر باشد.برای مثال  اگر
xn:=1/n
آنگاه
x=[(xn)]:=[1,1/2,1/3,...]
یک عدد فراحقیقی بی نهایت کوچک است.

۲.یک عدد فراحقیقی x را بی‌نهایت بزرگ می‌گوییم اگر از هر عدد حقیقی بزرگ‌تر باشد.برای مثال، اگر
xn=n
آنگاه
x=[(xn)]:=[1,2,3,...]
یک عدد فراحقیقی بی نهایت بزرگ  است.

۳. برای هر عدد فراحقیقی کراندار x ،یک عدد فرا حقیقی بی‌نهایت کوچک یکتای r وجود دارد به
به‌طوری که
x= st(x)+ r

۴.بی نهایت یک نماد است ولی بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک، اعداد فرا حقیقی  هستد.بنابراین جمع و ضرب در میدان فرا حقیقی ~R  دارای معناست.در صورتی که با نماد بی نهایت رفتار یک تابع را به نمایش می گذاریم.

(۱۲۰)
مشتق توابع با استفاده از  آنالیز غیر استاندارد  چیست؟
جواب:

۱.هرگاه
f:ℝ-->ℝ
تابعی مشتق پذیر در a باشد و "ε" یک عدد فراحقیقی بی نهایت کوچک باشد، آنگاه
f'(a)=st [f( a+ε) -f(a)]/ε

۲.برای مثال، اگر
f(x)=x²
آنگاه
f(x+ε)-f(x)=2xε+ε²
و لذا
st[f(x+ε)-f(x)/ε]=st[2x+ε]=2x
بنابراین
f'( x)=2x

۳.بطور کلی، حد تابع f در a عبارتست از:
Limx-->a[f(x)]=L
اگر و تنها اگر
st f*(a+ε)=L

۴.هرگاه *R مجموعه اعداد فراحقیقی  باشد، آنگاه f قابل توسیع به
f*: R*-->R*
با ضابطه
f*[(xn)]:=[(f(xn)]
می باشد.

۵.مشتق تابع f در a را می توان  بطور دقیق بصورت زیر تعریف  کرد.
(f*)'(a) := st (f*(a+ε)-f*( a))/ε

۶.لازم به ذکر است که R تحت نگاشت ثابت
r-->[(r,r,r...)]
زیر مجموعه *R می باشد .

۷.تابع f در a پیوسته است اگر و تنها اگر
st f*(a+ε)=f(a)


مثال

مجموعه توابع گویا با ضرایب حقیقی را در نظر بگیرید

R(x) ={f(x)/g(x); چندجمله ای اندf و g }

این مجموعه با جمع و ضرب توابع گویا یک میدان است. برای تعریف ترتیب در این میدان ، باید مجموعه اعداد مثبت آن را تعریف کنیم .

در این میدان، مجموعه اعداد مثبت را کسرهای f(x)/g(x) می گیریم به طوری که  ضرایب پیشرو (ضرایب جملات با بزرگ‌ترین توان)هم علامت باشند.

مثلا چند جمله ای  (2x+3/(4x^2-5 یک چند جمله ای مثبت است. اکنون رابطه ترتیب > را به صورت زیر تعریف می کنیم.

f(x)<g(x) iff g(x)-f(x)>0

مثلا
2/x+1 <3x/2x+5
زیرا
3x/(2x+5)-2/(x+1)
=(3x^2-x-10)/(x+1)(2x+5)>0
ضرایب پیشرو هم علامت اند


میدان R(x) با این رابطه ترتیب یک میدان مرتب است.

حالا نشان می دهیم که تابع گویای  یک ایکسم
1/x
یک بی نهایت کوچک است.

برای این کار نشان می دهیم که این تابع از هر عدد حقیقی مثبت r کوچکتر است. یعنی
1/x<r
برای این کار داریم:
r-1/x>0
r-1/x=(rx-1)/x>0
زیرا ضرایب پیشرو صورت و مخرج هم علامت اند(توجه داریم که r یک عدد حقیقی مثبت است).


(۱۲۱)
مفهوم انتگرال در آنالیز غیر استاندارد چیست؟
جواب:

۱.هرگاه
f:[a,b]-->ℝ
تابعی پیوسته باشد، آنگاه

∫f(x)d(x)=Lim n-->∞ Sₙ(f)
بطوری که
Sₙ(f)=(b-a)/n .[f(a) + f(a+(b-a)/n) + f(a+2(b-a)/n) +...+f(b)]

۲.هرگاه m یک عدد بی نهایت بزرگ از اعداد طبیعی باشد، آنگاه

∫f(x)d(x)=st(Sₘ(f))
برای  مثال
m:=[(1,2,3,...)]

۳.از اینکه mخیلی بزرگ است، لذا وارون آن خیلی کوچک است.بنابراین
Sₘ(f)
جمع مستطیل های با طول بی نهایت کوچک است.که با حذف اعداد بی‌نهایت کوچک تر از مجموع، سطح زیر منحنی، یعنی انتگرال حاصل می شود.

۴.هرگاه
f:[0,1]-->ℝ
و H یک عدد فراحقیقی از اعداد طبیعی باشد، آنگاه
S(f)=1/H.[(1/H)²+..+(i/H)²+...]
=1/H³.[(1)²+(2)²+...]
=1/H³.[H.(H+1)(2H+1)/6]
=1/3+1/2H+1/6H²
اما H بی نهایت بزرگ است، و لذا وارون آن بی نهایت کوچک می شود.بنابراین
st(S(f))=1/3
و لذا
∫f(x)d(x)=1/3

(۱۲۲)
مفهوم همگرایی دنباله در آنالیز غیر استاندارد چیست؟
جواب:

هرگاه  دنباله
xₙ--> x
  آنگاه برای هر عدد فراحقیقی بی نهایت بزرگ H، داریم:
st( xH)= x
و بالعکس.


۲.در حالت  خاص،  اگر
  xn=1/n
آنگاه
xH=1/H
که بی نهایت کوچک است.بنابراین:
st(xH)=0
و لذا
1/ n-->0

۳.بطور کلی، اگر
xn-->x
در این صورت ،
xn-x
بی نهایت کوچک است بنابراین
st (xH-x)=0
و لذا
  st(xH)=x
 

(۱۲۳)
آیا تابع استاندارد  در مجموعه اعداد فراحقیقی  حافظ ترتیب است؟

جواب:
در زیر نشان می دهیم که تابع استاندارد صعودی است ولی یک به یک نمی باشد.

۱.هرگاه x≤y ، در مجموعه اعداد فراحقیقی متتاهی(کراندار) ، آنگاه
st(x)≤st(y)

۲.هرگاه
st(x)=st(y)
آنگاه عدد فراحقیقی x-y بی نهایت کوچک می باشد و بالعکس.

۳.هرگاه  x-y بی نهایت کوچک باشد ، اصطلاحا گویند که x و y بی نهایت به هم نزدیک هستند و می نویسند:
x≈y

۴.هرگاه
ε₁#ε₂
اعداد بی نهایت کوچک و متمایز باشند، آنگاه
st( ε₁)=0=st(ε₂)
بنابراین  تابع استاندارد یک به یک نمی باشد.

۵.نگاشت
x-->st( x)
حافظ رابطه ترتیت، روی مجموعه اعداد فراحقیقی  محدود، است.زیرا:
هرگاهx وy اعداد فراحقیقی محدود باشند، بطوری که
st(x)<st(y)
قرا دهید
r:=st(x)-st(y)<0
فرض کنید
x=st(x)+ε1
y= st(y)+ε2
در این صورت:
x-y=r +(ε1-ε2)
از طرفی
|ε1-ε2|<-r/2
بنابراین
x-y<r/2<0
و لذا
x<y



(۱۲۴)
آیا تابع استاندارد از جذر عبور می کند؟
جواب:

۱.هرگاه
f:[a,b]-->R
پیوسته باشد، آنگاه دنباله کثیرالجمله (pn) وجود دارد بقسمی که
pn-->f
بطور یکنواخت. اما تابع استاندارد خطی است و
st(xⁿ)=st(x)ⁿ
بنابراین
st(pₙ(x)=pₙ (st(x)
برای هر عدد طبیعی n.با توجه به پیوستگی تابع  خطی  و لذا  پیوستگی تابع استاندارد
st( pₙ(x))--> st(f(x))
بعلاوه
pₙ( st(x))-->f(st(x))
بنابراین
st(f(x))=f(st(x))

۲.در حالت  خاص، چون تابع جذر پیوسته است.بنابراین برای هر عدد فراحقیقی مثبت x، داریم
st(√x)=√st(x))
لازم به ذکر است که
st(x)>0

 

(۱۲۵)
آیا میدان های مرتب بی پایان یکریخت هستند؟
جواب:

مجموعه اعدا گویا با دو ترتیب زیر میدان های مرتب می باشند که یکریخت نیستند.


۱.اعداد
m/n< p/q‌

اگر و تنها اگر
mq< np


۲همچنین

m/n<' p/q

اگر و تنها اگر
p/q-m/n=(pn- mq)/nq>'0
یعنی اعداد صورت و مخرج
pn-mq
و nq هم علامت باشند.

۳.بنابراین
Q1=(Q , <)
و
Q2=(Q , <')
دو میدان شمارای بی پایان مرتب  هستند که یکریخت نمی باشند.

۴.درQ1 خاصیت ارشمیدسی برقرار است ولی درQ2 خاصیت ارشمیدسی برقرار نیست.

(۱۲۶)

مفهوم فیلتر و فرا فیلتر چیست؟
جواب:

۱.هرگاه X یک مجموعه غیرتهی باشد.یک فیلتر F روی X ، خانواده ای غیر تهی از زیر مجموعه های X است که در شرایط زیر صدق می کند :

الف)F تحت زبر مجموعه  بسته است.چنانچهE زیر مجموعه X شامل عضوی از  F باشد،آنگاه E در F است.
ب) F تحت اشتراک  متناهی  بسته است.
ج)همه اعضای F، غیر تهی است.

۲.عنصر ماکسیمال ، با رابطه شمول ،در خانوده
همه فیلترها روی X را یک فرافیلتر  گویند.

۳.هرگاهM یک فرافیلتر  رویX و
AuB
در M باشد، آنگاه A یا B در M است.

۴.هرگاه M یک فرافیلتر  روی X است وA زیر مجموعه ای در X باشد، آنگاهA یا متمم آن  X\A در M است.

        هر فرافیلتر نوعی «فیلترِ ماکسیمال» است که دیگر قابل گسترش نیست، و در منطق و توپولوژی کاربرد فراوان دارد .

(۱۲۸)
فیلتر ها روی مجموعه اعداد طبیعی  چگونه است؟

جواب:
۱.هرگاه n یک عدد طبیعی باشد، آنگاه
Fₙ={A⊆ℕ : n∈A}
یک فرا فیلتر روی ℕ می باشد.

۲.خانواده
Fc={A: ⊆ℕ : ℕ\A  متناهی}
یک فیلتر رویℕ است.

۳.اگر A زیر مجموعه N و
FA={B⊆ℕ: A⊆B}
آنگاهFA، یک فرافیلتر است .

۴.فیلتر F اصلی است، اگر به فرم
FA
برای یک مجموعه  متناهی A باشد.

۵.فیلتر F را غیر اصلی گویند،اگر
الف)  F اصلی نباشد ،
ب) هیچ زیر مجموعه متناهی درF نباشد،
ج) همه مجموعه های  هم- متناهی را شامل شود،
د)  برای هر زیر مجموعه A  ، مجموعه  A در F یا متمم A در F است.

۶.وجود فرا فیلتر غیر اصلی از اصل انتخاب است و شهودی نیست.

۷.در تعریف  اعداد فراحقیقی، فرا فیلتر  ها باید غیر اصلی باشند.چنانچهU فرا فیلتر  اصلی باشد،آنگاه
S/U~ℝ
که S مجموعه  همه دنباله ها در ℝ است.و لذا اعدادبی‌نهایت بزرگ  و کوچک  قابل تعریف  نیستند.

(۱۲۹)
ساخت تابع استاندارد چگونه است؟
جواب:

۱.اگر U یک فرا فیلتر  غیر اصلی باشد ، آنگاه
R*=S/U:={[xn)] :xn∈ℝ}
بطوری کهS خانواده تمام دنباله های حقیقی است.

۲.عددفراحقیقی
x=[(xn)]
محدود گویند، اگرعدد M موجود باشد بطوری که
{n: |xn|<M}
در U باشد.

۳.عدد فرا حقیقی
e=[(en)]
بی نهایت کوچک است، اگر برای هر r حقیقی و مثبت
{n:|en|<r}
در U باشد.یا بطور معادل برای هر k،
{n: |en|<1/k}
در Uباشد.

۴. طبق تعریف،  تقریبا برای هر n عنصر   xn، در
[-M,M]
قرار دارد.یعنی
{n: |xn|<M}
در U است.

۵.بنابراین ،اگر x محدود باشد،  دنباله کراندار (yn) و دنباله بی نهایت کوچک(en)  وجود دارد بقسمی که تقریبا برای هر n داریم:

xn=yn+en

در نتیجه زیر دنباله همگرای (y'n) وجود دارد بقسمی که
y'n-->r
en-->0
۶.حال تعریف  می کنیم:
  st(x)=r
و
e=(en)
بطوری که
x=r+e

 (۱۳۰)
چرا تابع استاندارد یک یکریختی بین میدان های مرتب و کامل اعداد حقیقی  و خارج قسمت
S/U
برای یک فرا فیلتر  اصلی U از اعداد طبیعی است؟
جواب:

می دانیم که هر عدد حقیقی،  کلاسی از یک دنباله ای  کوشی از اعداد گویاست.همچنین هر دنباله کوشی کراندار است.لذا طبق قضیه استون- وایراشتراس دارای یک زیر دنباله همگرا می باشد.بنابراین تابع
st: R-->S/U
پوشاست.به عبارت دیگر ، اگر
x=[(xn)]
در S/U باشد، آنگاه دارای زیر دنباله همگرای
x'n-->r
برای یک عدد حقیقی r.بنابراین
st(r)=r=[(r,r,...)]=[(xn)]=x
و لذا تابع استاندارد  پوشاست.حال نشان می دهیم که تابع استاندارد  یک به یک است.چنانچه
st( x)=st( y)
بر ای دو عدد حقیقی xوy. باتوجه به خطی بودن تابع استاندارد و حقیقی بودن x- y داریم

x-y= st( x-y)= st( x)- dt(  y)=0
بنابراین x=y، و لذا تابع استاندارد یک به یک است.
همچنین  تابع استاندارد  همواره ضربی است.بنابراین تابع استاندارد یک یکریختی  است.

 (۱۳۱)
چرا  میدان  مرتب  اعداد فراحقیقی  با خارج قسمت
S/M
برای یک فرا فیلتر غیر اصلی M از اعداد طبیعی یکریخت  است؟

جواب:
۱.هرگاه S خانواده همه دنباله های  حقیقی باشد و M (به ترتیبU) یک فرا فیلتر غیر اصلی( به ترتیب اصلی)در مجموعه اعداد طبیعی باشد. در اینصورت:
می خواهیم نشان دهیم
R*≃S/M
و قبلا نشان دادیم
R≃S/U

۲.می دانیم که هر عدد فرا حقیقی x،   به صورت
x= st( x)+  ε
قابل نمایش است، بطوری که ε یک عدد فراحقیقی بی‌نهایت کوچک است.چنانچه
F:R*--> S/M
  با ضابطه
x-->[( xn)]+ ε
تعریف شود  بطوری که دنباله (xn) از اعداد گویا و همگرا به st(x) باشد.ابتدا نشان می دهیم کهFخوش تعریف  است.چنانچه
xn-->st(x)
و
yn--> st(x)
در این صورت
xn-yn-->0
و لذا
(xn)~(yn)
بنابراین
[(xn)]=[( yn)]

حال نشان می دهیم که تابعF پوشاست.فرض کنید
x=[(xn)]
در S/M باشد.قرار دهید
ε:=x-st(x)
در اینصورت
F( st(x)+ε)=x
و لذا پوشاست.

حال نشان می دهیم که تابع F یک به یک است.چنانچه
F( x)=F( y)
  و دنباله های گویای(xn) و  (yn) به ترتیب به y,x همگرا باشند.در این صورت
[( xn)]+ ε₁=[(yn)]+ ε₂
بنابراین
[(xn- yn)]
یک عدد بی نهایت کوچک  است پس
( xn)~( yn)
در نتیجه
[(xn)]=[( yn)]
و لذا
ε₁= ε₂
بنابراین
x=[( xn)]+ ε₁=[(  yn)]+ ε₂=  y
در نتیجه تابع F  یک به یک است.

(۱۳۲)

تفاوت همگرایی  نقطه ای و یکنواخت  چیست؟
جواب:

۱. کرانداری  و کرانداری یکنواخت:
هرگاه f:R-->R یک تابع باشد، آنگاه
الف) کرانداری:
تابع f روی مجموعه‌ای A کران‌دار است، اگر بتوان عددی مانند M پیدا کرد بطوری که:

∣f(x)∣≤M (برای هر x∈A)
مثال:
تابع f(x)=sin(x) روی ℝ کران‌دار است، زیرا:
∣sin⁡x∣≤1
ولی تابع g(x)=x²  روی ℝ کراندار نیست (ولی روی [0,2] کران‌دار است) .

ب) کرانداری یکنواخت :
دنباله (fₙ) از توابع را کرانداری یکنواخت گوئیم، اگر  عدد M وجود دارد بطوری که برای همهٔ n و همهٔ x،
∣fn(x)∣≤M
مثال:
دنباله توابع:
 fₙ(x)=sin(nx)
 به طور یکنواخت کران‌دارند ، زیرا:
fₙ(x)∣≤1(برای همهٔ n,x)

۲. همگرایی نقطه ای و همگرایی یکنواخت :
الف)  همگرایی نقطه‌ای
می‌گوییم دنباله (fₙ) به  تابع f بطور نقطه ای همگراست اگر و تنها اگر برای هر x،
 fₙ(x)→f(x)
 اگر و تنها اگر
∀x ∀ε>0 ∃ N , ∀ n≥N, |fₙ(x)-f(x)|<ε
در ابن حالت می نویسیم:
lim​ n→∞ fₙ(x)=f(x)
مثال :
دنباله  توابع
fₙ(x)=xⁿ
روی بازهٔ [0,1]. برایx<1، داریم
 limn→∞​ xⁿ=0
اما برای x=1، داریم:
 limn→∞​ xⁿ=1
پس:
fₙ( x)--> f(x)
بطوری که
f(x)=0(برایx∈[0,1))
و
f(x)=1 (برایx=1​)

ب) همگرایی یکنواخت:
اگر  برای هر ε>0، عددی مانند N وجود داشته باشد بطوری که برای همهٔ n>N و همهٔ x:
∣fₙ(x)−f(x)∣<ε
دراینصورت دنباله (fₙ) بطور یکنواخت  به تابع f میل می کند و می نویسیم
fₙ-->f
در حقیقت:
∀ε>0 ∃N ,∀n≥N , ∥fn-f∥∞<ε
مثال :
دنباله توابع  fₙ(x)=x​ⁿ روی (0,1] داریم:
Limn→∞ x​ⁿ=0
و برای همهٔ x:
∣fn​(x)−0∣=∣x∣​ⁿ
بنابراین
fₙ(x)-->f(x)
اما روی بازهٔ  [0,1]:
∥fn- f∥∞=1
بنابراین دنباله(fₙ) به طور نقطه ای به تابع f همگراست ولی همگرای یکنواخت  نمی باشد.

(۱۳۳)
تفاوت پیوستگی معمولی و پیوستگی یکنواخت چیست؟
جواب:

۱. تابع f در نقطهٔ a پیوسته است اگر و تنها اگر وقتی x به a نزدیک می‌شود، آنگاه f(x) هم به f(a) نزدیک شود اگر و تنها اگر
∀ε> ∃δ>0:|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε
ولی این δ ممکن است برای هر نقطه فرق کند.

۲. پیوستگی یکنواخت:
تابع f به‌ طور یکنواخت پیوسته است اگر و تنها اگر
∀ε>0,∃δ>0∀x∀y: ∣x−y∣<δ⇒∣f(x)−f(y)∣<ε

مثال:
تابع f(x)=x² روی [0,1] بطور یکنواخت پیوسته است، اما روی  ℝ پیوسته یکنواخت نمی باشد.

۳.بطور کلی، اگر
f:K-->ℝⁿ
برای یک مجموعه فشرده K در ℝⁿ پیوسته باشد، آنگاهfپیوسته یکنواخت  است.

۴.تابع
f: ℝⁿ-->ℝⁿ
پیوسته  یکنواخت نیست اگر و تنها اگر
∃ε>0 ∀n ∃xₙ ∃yₙ: ∥xₙ−yₙ∥<1/n⇒∥f(xₙ)−f(yₙ)∥>ε


(۱۳۴)
همگرایی  ضعیف  و *ضعیف در فضای نرم دار چیست؟

جواب:
۱.هرگاه X=(X,∥.∥) یک فضای  نرمدار باشد و دنباله (xₙ) در X باشد.در این صورت
xₙ-->x
در توپولوژی ضعیف(w- توپولوژی ) اگر و تنها اگر
f(xn)-->f(x)
برای هرf در *X.

۲.هرگا ه دنباله (fₙ) در*X، آنگاه
fₙ-->f
در توپولوژی  *ضعیف(*w- توپولوژی)،  اگر
fₙ(x)-->f(x)
برای هر x  در فضای X.

۳.در حالت خاص، اگر X یک فضای  انعکاسی باشد، یعنی
X**=X
تحت نگاشت
x-->x^
بطوری که
x^(f)=f(x)
برای هر f در *X.در این صورت  توپولوژی  ضعیف و توپولوژی  *ضعیف  یکسان می باشند.در نتیجه همگرایی  ضعیف و   همگرایی*ضعیف  یکسان می باشند.

۴.هرگاه
X=Lp(μ)
برای یک اندازه  مثبت سیگما-متناهیμ،آنگاه X یک فضای انعکاسی  است.

(۱۳۵)
انواع  همگرایی در (B(H چیست؟

جواب:
هرگاه( Tn) دنباله ای در فضای عملگرها ی کراندار (B(H باشد،آنگاه
۱.دنباله
Tn-->T
در نرم- توپولوژی  اگر و تنها اگر
∥Tn-T∥-->0

۲.دنباله
Tn-->T
در قوی- توپولوژی(SOT-توپولوژی )
اگر و تنها اگر

∥Tn(x)-T(x)∥-->0
برای هرxدرH.

۳.دنباله
Tn-->T
در ضعیف- توپولوژی((WOT-توپولوژی )
<Tnx,y>--><Tx,y>
برای هرx,y درH.

۴.دنباله
Tn-->T
در*قوی- توپولوی(S*OT-توپولوژی ) اگر و تنها اگر دنباله های(Tn) و(*Tn)بهTو*Tدر قوی- توپولوژی  همگرا باشند.

۵.دنباله
Tn-->T
در*ضعیف  توپولوژی(W*OT-توپولوژی ) اگر و تنها اگر
Tr(Tn(x))-->Tr(T(x))
برای هرxدر
*T(H)=K(H)

(۱۳۶)
پیوستگی در فضای توپولوژیکی  چیست؟
جواب:

۱.هرگاه(X,T) یک فضای توپولوژیکی هاسدورف  باشد.در این صورت تور
xα-->x
اگر و تنها اگر برای هر همسایگیU از x ، یک .α
موجود باشد بطوری که برای هر .α≥α  داشته باشیم
xα∈U

۲.هرگاه (X,d) یک فضای  متریک باشد، آنگاه دنباله
xₙ-->x
اگر و تنها اگر
∀ε>0 ∃ N :∀n>N ,d(xₙ , x)<ε

۳.هرگاه (X,T1) و(Y,T2) فضاهای  توپولوژیکی هاسدورف  باشند.در این صورت تابع
f: X-->Y
پیوسته است اگر و تنها اگر تور
xα-->x
آنگاه
f(xα)-->f( x)
برای هر x در X.

۴.هرگاه(X،d1) و(Y،d2) فضاهای  متریک باشند.در این صورت
الف)   تابع
f:X-->Y
پیوسته است اگر و تنها اگر برای هر دنباله
xₙ-->x
داشته باشیم
f(xₙ)-->f(x)
برای هر x در X.

ب)تابع f پیوسته یکنواخت است، اگر
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∀y: d1(x,y)<δ-->d2(f(x),f(y))<ε

( ۱۳۷)

چرا فضای اعداد فراحقیقی  تفکیک پذیر نیست؟
جواب:
۱.هرگاه*ℝ  را مجهز به توپولوژی  ترتیبی  کنیم که دارای پایه ناشمارای از فواصل باز و نیم باز بی کران است.در اینصورت بر خلافℝ که دارای پایه شمارا و تفکیک پذیر است، فضای*ℝ چنین نیست.

۲.هرگاه H یک عدد بی نهایت بزرگ باشد، آنگاه U اجتماع ناشمارااز فواصل
  UH=(H- 1/2,  H+1/2)
یک مجموعه باز از فواصل  دو به دو مجزا می باشد.

۳.هرگاهHوK اعداد بی نهایت بزرگ باشد و
H<K
در این صورت K -H یک عدد بی‌نهایت بزرگ  است.بنابراین:
K-H>1
و لذا
K-1/2>H+1/2
در نتیجه
UH ∩ UK=∅

۳.هرگاه D   مجموعه  شمارا و چگال در *ℝ باشد، آنگاه
D∩UH≠∅
غیر تهی است.اما خانواده اعداد بی‌نهایت بزرگ ناشماراست.بنابراین D ناشماراست و تناقض می باشد.

(۱۳۸)
چرا میدان مرتب اعداد  فرا حقیقی  فشرده موضعی  نیست؟
جواب:

فضای توپولوژیکی *ℝ با توپولوژی  ترتیبی  هاسدورف است ولی موضعا فشرده نیست.

۱.هرگاه x , y دو عدد فراحقیقی حقیقی  متمایز باشند. در این صورت
x<y
و یا
y<x
چنانچه
x<y
باشد، آنگاه وجود
z₁ , z ₂ ,z
بطوری که
z₁<x<z<y<z₂
بنابراین
(z₁,z)∩(z,z₂)=∅
بنابراین *ℝ  یک فضای  هاسدورف  است.


۲.در حالت خاص، هرگاه H و K اعدادی بی نهایت بزرگ و متمایز باشند، آنگاه

(H-1/2,H+1/2)∩(K-1/2,K+1/2)=∅

بنابراین H,K توسط مجموعه های باز  از هم جدا می شوند.

۳.بطور کلی، زیر مجموعه K در فضای *ℝ با توپولوژی ترتیبی  فشرده است اگر و تنها اگر A  کراندار و بسته ترتیبی باشد.

۴.هرگاه H یک عدد بی‌نهایت بررگ  باشد، و
U=(H-r, H+r)

یک همسایگی پایه ازH باشد، آنگاه

Cl(U)=[H-r,H+r]:=K
فشرده نیست.زیرا
در توپولوژی  ترتیبی فاصله
[a,b]
فشرده است اگر و تنها اگر بسته ترتیبی باشد. در حالت خاص اگر
A:={  x∈K :  x< H ،H-xمحدود باشد}
و
s:=sup(A)
در این صورت s  در A نمی باشد و لذا Kفشرده نیست.زیرا:
الف) اگر
s∈A
آنگاه s<H ، و لذا عنصر t در A وجود دارد بطوری که
t>s
که تناقض است.

ب) اگر s=H ، آنگاه H در A نیست که تناقض است.زیرا برای هر t  در A داریم:
t<H،
داریم:
H-t
نامحدود است و این تناقض است.

(۱۴۰)
چرا فضای اعداد فراحقیقی  متریک پذیر نمی باشد
جواب:
۱.مجموعه اعداد فراحقیقی با توپولوژی ترتیبی دارای خاصیت اول شمارا نمی باشند.یعنی در هر نقطه x در فضا نمی توان یک پایه شمارا برای مجموعه های باز شامل x پیدا نمود.

۲.هر فضای متریک دارای خاصیت  شمارارای اول است.در حقیقت اگر (X,d) یک فضای  متریک باشد، آنگاه مجموعه های
Bd(x,1/n)={y: d(x,y)<1/n}
یک پایه شمارا حولx است.

۳.هرگاهx در *ℝ باشد، آنگاه
m(x)={y: x-y بی نهایت کوچک باشد}
ناشماراست و مشابه همسایگی حول نقطهx عمل می کند.

۴.هرگاه x در *ℝ و ε  بی نهایت کوچک باشد ، آنگاه
Uε(x)={y: |x-y|<ε}
یک همسایگی  باز حولx می باشد.

۵. اگر خانواده B از
Nk=Uεk(x)
یک پایه شمارا حول x تشکیل دهند .در این صورت با توجه به خواص  فرا فیلتر
ε:=min{εk}>0
و همسایگی
Uε(x)
هیچ
Nk
را شامل نمی شود ، و این تناقض با وجود پایه موضعی B حول x است.

(۱۴۲)
عدد اصلی مجموعه اعداد فراحقیقی چیست؟

جواب:
۱. هرگاه A , B دو مجموعه باشند بطوری که
|A|≤|B|
و
|B|≤|A|
آنگاه طبق قًضیه برنشتاین ، یک تابع دو سوئی بینA و B وجود دارد و لذا
|A|=|B|

۲بدیهی است که نگاشت همانی
r-->[(r,r,...)]
یک به یک است.بنابر این
|ℝ|≤|ℝ*|

۳.هرگاه
aₙ=1/(2)²ⁿ
در این صورت
  aₙ > aₙ₊₁ +aₙ₊₂ +....
آنگاه نگاشت f
[(xₙ)]-->a₁x₁+a₂x₂+....
از
ℝ*-->ℝ
بطوری که
1≥xₙ≥0
برای هر n، یک به یک است.

۳.لازم به ذکر است که
|ℝ|=|P(N)|=|[0,1]|

۴.هرگاهx , y اعداد فراحقیقی  باشند و k اولین
اندیسی باشد که
xk≠yk
با فرض
xk>yk
داریم:
|xₙ-yₙ|<1
و لذا
∑n>k aₙ(xₙ-yₙ) >-∑n>k aₙ
بنابراین
ak(xk-yk)>ak+1(xk-yk)+...≥ak+1+....
در نتیجه
f( x)-f(y)>
ak(xk-yk)-(ak+1+ak+2 +..)>0
و لذا
f(x)≠f(y)
.پس f تابعی یک به یک است.بنابراین
|ℝ*|≤|ℝ|

۵.هرگاه S خانواده تمام دنباله های حقیقی باشد و M یک فرافیلتر  اصلی  باشد،  آنگاه
|S|=|S/M|=|ℝ|=|ℝ*|

(۱۴۳)
ساخت اعداد طبیعی چگونه است؟
جواب:

۱.پئانو با ارائه اصلی وجود اعداد طبیعی با اصل استقرایی ریاضی  را می پذیرد.سپس اعداد حقیقی و اعمال حسابی  معرفی می گردد.

۲.وان- نیومن با استفاده از مجموعه تهی، مجموعه اعداد طبیعی را با مجموعه  تهی می سازد.در حقیقت با قرداد
0:=∅
و با تعریف  عمل جانشین:
S(x):=x∪{x}
هر عدد طبیعی را با پذیرش اصل استقرایی ریاضی  می سازد.
1:=S(0)={0}
2:=S(1)={0,1}
بطور کلی
n+1:=S(n)={0,1,2,...,n}

۳.جان کانوی، با استفاده از روش ددکیند، اعداد حقیقی  را معرفی می کند.او هر عدد ماورائی  x به صورت یک زوج مجموعه
x={L|R}
که هر عضو L کوچکتر از هر عضو R است.و
x:=sup(L)=inf(R)
با تعریف:
0:={∅|∅}
و
1:={0|∅}={{∅|∅}|∅}
بطور مشابه،
-1={∅|0}={∅|{∅|∅}}
همچنین:
2={1|∅}={={{∅|∅}|∅}|{∅|∅}}
بعلاوه:
1/2={1|0}={={{∅|∅}|{∅|∅}

-1/2:={0|-1}={∅|{∅|∅}}|{∅|{∅|∅}}


(۱۴۴)
اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها  چیست؟
جواب:

اصول موضوعه نظریه مجموعه ها، از اصول اولیه در ریاضیات است.بدون پذیرش آنها ، حتی ساخت اعداد طبیعی به روش وان- نیومن مقدور نیست.لذا سیزده اصول آن به اختصار در زیر آمده است.هرگاه x یک کلاس باشد بطوری که x∈X، برای یک کلاسX.در این صورت x را یک مجموعه گویند.

۱.تساوی کلاس ها:
دو کلاس برابر هستند اگر و تنها اگر اعضای یکسان داشته باشند.

۲.مجموعه تهی:
هرگاه
∅:={x:x≠x}
آنگاه تهی یک مجموعه  است.

۳.زوج مرتب:
هرگاه x,y دو مجموعه  باشند، آنگاه
{x,y}:={u: u=x یا u =y}
یک مجموعه  است، در حالت خاص
{x}={x,x}
یک مجموعه  است.بنابراین زوج مرتب
(x,y):={{x},{x,y}}
یک مجموعه  است.

۴.عضویت:
کلاسی چون M از زوج های مرتب
(x,y)
وجود دارد بقسمی که
(x,y)∈M
اگر و تنها اگر
x∈y

۵.اشتراک کلاس ها:
اگر X و Y دو کلاس باشند، آنگاه اشتراک  آنها یک کلاس است.

۶.متمم مجموعه ها:
اگرA زیر مجموعه X باشد، آنگاه
A':={x∈X: نیست A در x}
یک مجموعه  است.

۷.اصل دامنه:
اگر X کلاسی از  زوج های مرتب باشد، آنگاه کلاسی چون Z وجود دارد که به ازای یک v،  داریم:
(u,v)∈X
اگر و تنها اگر
u∈Z

۸.وجود کلاس:
هرگاه
x-->p(x)
یک گزاره نما روی مجموعه ها باشد، آنگاه
{x: p(x)}
یک کلاس است.

۹.اجتماع دو مجموعه،  یک مجموعه  است.

۱۰.اگر X یک مجموعه باشد ، آنگاه مجموعه  توانی
P(X)
شامل تمام زیر مجموعه های X یک مجموعه  است.

۱۱.اگر X یک مجموعه وY یک کلاس باشد،  آنگاه اشتراک آنها یک مجموعه است.

۱۲.اگر
f:X-->Y
یک تابع و X یک مجموعه باشد.آنگاه برد تابع f ، یک مجموعه  است.

۱۳.اصل بی نهایت:
مجموعه ای  چون X وجود دارد بطوری که شامل مجموعه تهی است و اگر
y∈X
آنگاه
yu{y}∈X

(۱۴۵)
مجموعه  استقرایی  چیست؟

جواب:
۱.اصل پئانو، وجود مجموعه اعداد طبیعی  با خاصیت استقرای ریاضی را می پذیرد. اما وان- نیومن، با معرفی مجموعه های استقرایی وجود اعداد طبیعی  با اصل استقرای ریاضی را نشان می دهد.

۲.مجموعه استقرایی :
الف) هرگاه X یک مجموعه و
S(X):=X∪{X}
آنگاه S(X) را تالی(جانشین) مجموعه X نامند.بدیهی است که
X⊆S(X)
و
X∈S(X)
مجموعه Ω را استقرایی  گویند، اگر شامل مجموعه  تهی باشد و اگر
X∈Ω==>S(X)∈Ω

۳.اصل وان- نیومن(اصل موضوع  بی نهایت):
این اصل  وجود  مجموعه استقرایی  را می پذیرد و به کمک آن اصل پئانو را ثابت می کند.

۴.هرگاه Nᵥ، کوچکترین مجموعه  استقرایی  باشد، یعنی اشتراک تمام زیر مجموعه های استقرایی  در Ω باشد. در این صورت نگاشت
S: Nᵥ-->Nᵥ
نگاشت  یک به یک است بطوری که اگر A زیر مجموعه Nᵥ باشد بقسمی که
n∈A==>S(n)∈A
در این صورت
A=Nᵥ
۵.هرگاه
0ᵥ:=∅
و
1ᵥ:=S(0ᵥ)={0ᵥ}
و بطور کلی
(n+1)ᵥ:=S(nᵥ)={0ᵥ,1ᵥ,...,nᵥ}
در اینصورت:
Nᵥ={0ᵥ,1ᵥ,...}=N.
با مجموعه اعداد طبیعی  هم عدد می باشند.

(۱۴۷)

فرض پیوستار در نظریه مجموعه‌ها چیست؟
جواب:
۱.فرض پیوستار می گوید که هیچ زیر مجموعه ای  از اعداد حقیقی  مانند B وجود ندارد بطوری که
|N|<|B|<|R|

۲.فرض پیوستار(CH) نه قابل رد است و نه قابل اثبات.اگر بگوئیم فرض پیوستار درست( یاغلط) است، آنگاه هیچ تناقضی ایجاد نمی شود.
۳.هرگاه
C:={|B| : |A|<|B|≤|P(A)|}
آنگاهCغیر تهی است و هر زنجیر در آن دارای کران بالاست، لذا دارای کو چکترین کران بالاست.بطور مشابه دارای بزرگترین کران پائین است.

۴.هرگاهm مینیمال در مجموعه خوش ترتیبCباشد، آنگاه مجموعه Bوجود دارد بطوری که
m=|B|
در اینصورت
|A|<|B|≤|P(A)|
سوالی که باز است این است که چه موقع
|B|<|P(A)|

۵.با عدم پذیرش، فرض پیوستار،می توان گفت
|A|<|B|<|P(A)|

۶.با پذیرش فرض پیوستار می توان دنباله ای
(An)
از مجموعه پیدا کرد بطوری که
|A|<|A1|<|A2|<..

(۱۴۹)
مفهوم  اعداد  اصلی و اعداد ترتیبی چیست
جواب

۱.هرگاه رابطه هم ارزی در خانواده مجموعه ها به صورت زیر تعریف  شود:
A~B
اگر و تنها اگر
|A|=|B|
یعنی یک تابع دو سوئی  بینAوBوجود دارد.در این صورت
Card(A):=[A]:={B : B~A}:=|A|

۲.هرگاه
A=(A,≤)
یک مجموعه کاملا مرتب  باشد  بطوری که هر زیر مجموعه  غیر تهی آن دارای کوچکترین عضو باشد، آنگاهAرا خوش ترتیب گویند.

۳.هرگاه رابطه زیر را در خانواده مجموعه ها ی خوش  ترتیب به صورت زیر تعریف کنیم
A≈B
اگر و تنها اگر یک تابع دو سوئی حافظ تر تیب بین آن‌ها موجود باشد، یعنی تابع یک به و پوشا
f:A-'>B
بطوری که
a≤b<==>f(a)≤f(b)
به عبارت دیگر یک یکریختی ترتیبی بین آن‌ها موجود باشد.در این صورت :
Ord(A)=[A]={B :B≈A}

۴. برای هر مجموعه A، عدد ترتیبی  یکتای α وجود دارد بقسمی
Card(A)=Nα
همواره داریم:
N.<N1<..
بطوری که .N  اولین عدد اصلی نامتناهی است.


۵. برای هر مجموعه  خوش تر تیب A, عدد یکتای ترتیبیα وجود دارد بقسمی  که
Ord(A)=α
همواره داریم
w.<w1<...
بطوری که.w، اولین عدد ترتیبی نامتناهی  است.بنابراین
|wk|=Nk

(۱۵۰)
چرا اصل انتخاب، لم زرن  و اصل خوش ترتیبی
در ریاضیات معادلند
جواب


اینکه اصل انتخاب، اصل زرن (لم زرن)و اصل خوش‌ ترتیبی(لم زرملو) معادل یکدیگرند، به این دلیل است که هر کدام از این اصول در نهایت به توانایی انتخاب یک عنصر خاص از مجموعه‌ها، ترتیب دادن مجموعه‌ها به نحوی خاص یا ساختارهای خاص در نظریه مجموعه‌ها و ریاضیات مدرن مرتبط هستند. این سه اصل در سیستم‌های مختلف نظریه مجموعه‌ها معادل یکدیگرند، به این معنی که اگر یکی از این اصول را بپذیریم، می‌توانیم بقیه آن‌ها را از روی آن اثبات کنیم و بالعکس.برای اثبات ، خواننده را به کتاب توپولوژی  اثر دو گنجی ارجاع می دهم.

۱.اصل انتخاب :
اصل انتخاب می‌گوید که اگر مجموعه‌ای از مجموعه‌های غیر تهی داشته باشیم، می‌توانیم از هر یک از این مجموعه‌ها یک عنصر انتخاب کنیم، در حقیقت وجود یک تابع انتخاب تضمین می‌شود، نه لزوماً روش صریح یا سازنده، و می توان یک عنصر از هر مجموعه انتخاب کنیم.

۲.اصل خوش‌ ترتیبی (لم زرملو):
اصل خوش‌ ترتیبی بیان می‌کند که هر مجموعه غیر تهی می‌تواند به گونه‌ای مرتب شود که هر زیرمجموعه غیر تهی آن حداقل یک عنصر مینیمال داشته باشد. به عبارت دیگر، مجموعه‌ها می‌توانند به گونه‌ای مرتب شوند که یک ترتیب خوش‌ ترتیب روی آن‌ها برقرار باشد.

۳.اصل زرن (لم زرن):
اصل زرن می‌گوید که اگر یک مجموعه بطور جزئی مرتب  داشته باشیم به طوری که هر زنجیره آن از بالا کراندار باشد، آنگاه این مجموعه یک عنصر ماکسیمال دارد.

نتیجه‌گیری:
این سه اصل در نظریه مجموعه‌ها به هم نزدیک و مرتبط هستند.در حقیقت، این سه اصل در بسیاری از مباحث ریاضی و نظریه مجموعه‌ها ابزاری اساسی برای ساختاردهی و تحلیل مجموعه‌ها به شمار می‌روند.بنابراین هر یک از این اصول را می‌توان از دو اصل دیگر اثبات کرد و از نظر منطقی هم‌ارز هستند.

(۱۵۱)
اعمال حسابی در مجموعه  اعداد اصلی چیست؟
جواب:

۱.هرگاه m,n اعداد اصلی باشند، آنگاه مجموعه های محزایA , B وجود دارند  بقسمی که
|A|=m
و
|B|=n

۲.عدد اصلی مجموعه  A∪B را با
m+n:=|A∪B|
نمایش می هتد.

۳.عدد اصلی حاصلضرب  دکارتی AxB را با
mn:=|AxB|
نمایش  می دهند.

۴.عدد اصلی مجموعه کلیه توابع از B به A را با
mⁿ
نمایش می دهند.

۵.اعمال جمع و ضرب دارای خواص  جابجائی و شرکت پذیری می باشند.چنانچه "0" عدد اصلی مجموعه  تهی و "1" عدد اصلی مجموعه  تک عضوی باشد.در این صورت صفر[به ترتیب یک]همانی عمل جمع[ به ترتیب ضرب] می باشند.

۶.قوانین توان در اعداد  حقیقی،  برای اعداد اصلی نیز برقرار است.

۷.عمل تفریق را نمی توان بطور یکتا برای اعداد اصلی  تعریف نمود.هرگاه n یک عدد طبیعی  باشد، آنگاه
N.+n=N.

(۱۵۲)

چرا اصل انتخاب  و اصل خوش ترتیبی  معادلند؟
جواب:
قسمت اول

۱.با فرض برقراری اصل انتخاب ،  نشان می هیم که اصل خوش‌ ترتیبی برقرار است.هرگاه خانواده
A=:{Aᵢ}ᵢ∈I
خانواده  ای از مجموعه غیر تهی باشد، اصل انتخاب می گوید که حاصل  ضرب عناصر  خانواده A غیر تهی است.بنابراین طبق تعریف  حاصل  ضرب، تابع انتخاب
c: l -->∪Aᵢ
وجود دارد بقسمی که
c(i)∈Aᵢ

۲.فرض کنید X یک مجموعه غیر تهی باشد.نشان می دهیم که یک رابطه بطور جزئی مرتب روی X وجود دارد بقسمی که هر زیر مجموعه  غیر تهی از X دارای عنصر مینیمال است.

۳.با بکار بردن اصل انتخاب برای خانواده
P(X)\{∅}
تابع انتخاب
c: P(X)\{∅}-->X
وجود دارد بقسمی که  برای هر زیر مجموعه  غیر تهی A از X، عنصر
c(A)∈A⊆X
وجود دارد.

۳.حال با بکار بردن قضیه باز گشتی، قرار میدهیم:
x.=c(X)
x1:=c(X\{x.})
x2:==c(X\{x.,x1})
و الی آخر.

۴.بنابراین با توجه به بند(۳)، می توان عناصر X را باز تولید کرد و یک ترتیب جزئی  روی X ایجاد نمود.هرگاه B یک زیر مجموعه  غیر تهی از X باشد،اولین عضو B که در فرآیند ساخت فوق ظاهر می شود، عنصر مینیمال A می باشد.
بنابراین اصل خوش تریبی برقرار است..

(۱۵۴)
چرا لم زرن و اصل خوش ترتیبی  معادلند؟
جواب
قسمت اول

۱.فرض کنید لم زرن برقرار باشد. در این صورت  نشان می دهیم که اصل خوش ترتیبی برقرار است.فرض کنید X یک مجموعه غیر تهی باشد.هرگاه W خانواده تمام زوج های از زیر مجموعه های  بطور جزیی مرتب
(A , <A)
در X باشد.در اینصورت  مجموعه W با رابطه زیر یک مجموعه بطور جزئی مرتب است.
(A ,<A) < (B ,<B)
اگر و تنها اگر
A⊆B
و  رابطه B> توسیع  رابطه A> باشد.

۲.هرگاه
{Aᵢ}ᵢ∈I
یک زنجیر در W باشد، آنگاه
A:=∪Aᵢ
یک کران بالای زنجیر می باشد.لذا طبق فرض، Wدارای عنصر ماکسیمال M است.حال نشان می دهیم که
M=X
در غیر اینصورت وجود دارد
x∈X\M
از اینکهMخوش ترتیب است، می توان
N:=(N,<N)=M∪{x}

را خوش ترتیب نمود( با قرار دادنxبعد ازM).بنابراین 
N>M
و تناقض است.در نتیجه
(X ,<X)
خوش ترتیب است.

 (۱۵۵)
چرا لم زرن و اصل خوش ترتیبی معادلند
جواب:
قسمت دوم

۱.فرض کنید اصل خوش‌ ترتیبی برقرار باشد.در این صورت  نشان می دهیم که لم زرن برقرار است.یعنی هرگاه F خانواده ای غیر تهی از زیر مجموعه های X باشد بطوری که هر زنجیر در آن دارای کران بالا باشد.آنگاه نشان می دهیم کهF دارای عنصر ماکسیمال  است.

۲.عنصر مینیمال ، عنصری است که هیچ عنصرِ دیگری در مجموعه از آن کوچک‌تر نباشد.عنصر ماکسیمال عنصری  است که هیچ عنصر ی بزرگ‌تر از آن  نباشد.

۳.مجموعه C یک زنجیر در F است، اگر هر دو عضو A , B در C قابل مقایسه  باشند، یعنی
A⊆B
و یا

B⊆A
همچنین
M∈F
یک کران بالای C است، اگر
A⊆M
برای هر A در C.

۴.طبق فرض ، اصل خوش ترتیبی ، یک رابطه رویF وجود دارد بطوری که F خوش ترتیب است.حال با استفاده از استقرا ترتیبی ، روی مجموعه اعداد ترتیبی، یک زنجیر صعودی C در F می سازیم.

هرگاه .A کوچکترین عضو  F باشد. برای هر عدد ترتیبی α ، چنانچه Aβ ،برای هر β<α، تعریف  شده باشد. آنگاه قرار دهید
Uα:=∪{Aβ :β<α}
از اینکه
{A: Uα⊆A}={A: Aβ⊆A ,β<α}
یک زنجیر درF است، لذا طبق  تعریف F ، دارای کران بالاست.بنابراین مجموعه
{A: Uα⊆A}
غیر تهی است.چنانچه
Aα:=min{A∈F: Uα⊆A}
قرار دهید
C:={Aα}
آنگاه  وجود دارد δ بقسمی که
C={Aβ: β<δ}
زیرا: در غیر اینصورت  زنجیری به طول ترتیبی F ساختیم، که با فرض اینکه هر زنجیر در F کراندار است متناقض است.

چونC یک زنجیر درF است، لذا طبق تعریف  F،زنجیر C دارای کران بالایی، مانند M است.حال نشان می دهیم که M عنصر ماکسیمال  F است. در غیر این صورت عنصر N درF وجود دارد بقسمی  که
N>M
پس N کران بالای C است.بنابراین
Aδ⊆M⊂N
پس N عضوی از
{A:Uδ⊆A}
از طرفی
Aδ:=min{A: Uδ⊆A}
و
Aδ⊂N
اما زنجیر C در Aδ متوقف می شود و این تناقض است. بنابراین F دارای عنصر  ماکسیمال M است.



(۱۵۶)
چرا اصل  انتخاب و لم زرن معادل هستند؟
چواب:
قسمت اول

۱.فرض کنید اصل انتخاب  برقرار باشد.حال نشان می دهیم، هر مجموعه  مرتب جژیی
(P, ≤)
که در آن هر زنجیر دارای کران باشد ،آنگاه P دارای عنصر ماکسیمال است.

۲.فرض کنید C  خانواده تمام زنجیر های در P باشد.برای هر D در C، مجموعه همه کران های بالای D را در P با
U(D)
نشان می دهیم.حال اصل انتخاب را برای خانواده
{U(D)}
به طوری کهD در C تغییر کند، بکار می بریم.فرض کنید
xD∈U(D)
در این  صورت، تابع
f :  C-->P
توسط
f(D):=xD
تعریف می کنیم.

۳.با استقرای تر تیبی، چنانچه
x.∈P
اختیار شود.آنگاه برای هر عدد ترتیبیα ،تعریف می کنیم:
x(α+1):=f({xβ:β≤α})
همچنین
xλ:=f({xβ :β<λ})

۴.مجموعه
D:={xα}
یک زنجیر در P است.باتوجه به وجود کران بالا برای D، این زنجیر در مرحله ای ، مانند λ، متوقف می شود.
هرگاه D زنجیری در C باشد بطوری که
xλ=f(D)
در این صورت
xα≤xλ
برای هر
α<λ
      حال نشان می دهیم عنصر
xλ
ماکسیمال است.  چون xλ ، کران بالای D است و زنجیر D در مرحله λ متوقف می شود.بنابراین xλ عنصر ماکسیمالP است.


(۱۵۷)
چرا لم زرن و اصل انتخاب معادلند؟
جواب:
قسمت دوم

۱.فرض کنید لم زرن برقرار باشد.نشان می دهیم که اصل انتخاب نیز برقرار است.فرض کنید

A:={Aᵢ}i∈I
خانواده ای از مجموعه های غیر  تهی باشند.چنانچه P خانواده تمام توابع
f: D(f)-->∪Ai
بطوری که
f(i)∈Ai
برای هر
i∈D(f)⊆I

۲.هرگاه رابطه زیر  در P به صورت زیر تعریف  شود:
f≤g
اگر و تنها اگر
f⊆g
یعنی gتوسیع f باشد.

۳.حال نشان می‌دهیم هر زنجیر درP دارای کران بالا درP است.فرض کنید
C:={fα}α∈J
یک زنجیر در P باشد.قرار دهید
h:=∪{fα}
در این صورت
D(h)=∪D(fα)⊆I
هرگاه
i∈D(h)
آنگاه
h(i)=fα(i)
برای یک α.بنابراین
h(i)∈Ai
همچنین
fα⊆h
برای هر α در J. در نتیجه h  یک کران بالای زنجیر C است.

۴.لذا طبق فرض،لم زرن، مجموعه جزئی مرتبP دارای عنصر ماکسیمال ، به مانند *f است.
حال نشان می دهیم
D(f*)=I
در غیر اینصورت،  وجود دارد
j∈I\D(f*)
هرگاه
a∈Aj
قراردهید
g=f* ∪{(j,a)}
در این صورت
f*<g
بطوری که
g(j)=a∈Aj
و
g(i)=f*(i)∈Ai
برای هر i در
D(f*)
در نتیجه
f*<g∈P
که با فرض ماکسیمال  بودن * f در تناقض است بنابراین
D(f*)=I

۵.بنابراین تابع
f*:I-->∪Ai
تابع انتخاب است.و لذا اصل انتخاب  برقرار می باشد.

(۱۵۸)
چرا اصل  استقرای ریاضی  و اصل خوش‌ترتیبی  در مجموعه اعداد طبیعی  معادلند.
جواب:

۱.با فرض اصل خوش ترتیبی ، اصل استقرای ریاضی را روی مجموعه اعداد طبیعی نشان می دهیم. فرض کنید S یک زیر مجموعه  غیر تهی از اعداد طبیعی  باشد که در شرایط استقرای ریاضی  صدق می کند.حال نشان می دهیم که S=ℕ. در غیر اینصورت :
T:=ℕ\S≠∅

۲.با توجه به اصل خوش ترتیبی، مجموعهT دارای کوچکترین عضو، به مانند m است.بنابراین
m-1∉T
از طرف دیگر، با توجه به شرایط  استقرای ریاضی
m=(m-1)+1∈ S
که تناقض است.بنابراین
S=ℕ

۳.بالعکس، فرض کنید اصل استقرای ریاضی  برقرار باشد.نشان می دهیم که اصل خوش ترتیبی  در مجموعه اعداد طبیعی  برقرار است.
فرض کنید A یک زیر مجموعه غیر تهی از ℕ باشد.ثابت می کنیم که A دارای عنصر مینیمال است.

۴.فرض کنید A دارای عنصر مینیمال  نباشد. پس مجموعه
S:=ℕ\A
غیر تهی است.در این صورت:
الف) عدد
1∈S
در غیر اینصورت A دارای عنصر مینیمال 1است و غیر ممکن است.
ب)فرض کنید
n∈S
در این صورت
n∉A
حال نشان می‌دهیم:
n+1∉A
در غیر اینصورت n+1 نمی تواند کمترین عضو A باشد.بنابراین یک عدد طبیعیm در A وجود دارد بقسمی که
m<n+1
بنابراین
m≤n
هرگاه
T:={k∈A: k≤n}
آنگاه T متناهی و غیر تهی است.بنابراین
a :=min(T)
عنصر  مینیمال در A است و تناقض  می باشد. بنابراین
n+1∈S
۵.با توجه به فرض استقرا:
S=ℕ
و لذا
A=∅
که تناقض است.بنابراین اصل خوش ترتیبی برقرار  است.

(۱۵۹)
چرا مجموعه بریدگی های ددکیند یک میدان مرتب کامل  است؟
جواب:

۱. زوج مرتب
(A,B)
از زیر مجموعه های غیر تهی از اعداد  گویا که در شرایط  زیر صدق  کنند را یک بریدگی دد کیند نامند.
الف)A,B مجموعه های  مجزا درℚ می باشند بطوری که
ℚ=A∪B
ب) برای هر a∈A و b∈B ،داریم:
a<b
ج)مجموعه A دارای عنصر ماکسیمال  نیست،  یعنی براز هر a∈A وجود دارد a'∈A بطوری که
a<a'

۲.مجموعه تمام  بریدگی های  ددکیند را با
D(ℚ)
نشان می دهند.مجموعه D(ℚ) را مجهز به رابطهٔ
(A1,B1)≤(A2,B2)
اگر و تنها اگر
A1⊆A2
می کنیم.براحتی می توان نشان داد که ای یک رابطه  بازتابی، پاد متقارن،  انتقالی، و خطی است.همچنین برای هر
X1=(A1, B1) ,X2=(A2,B2)
در D(ℚ)، داریم
X1<X2 یا X1=X2 یا X2<X1

۳.فرض کنید S زیر مجموعه ای غیر تهی از مجموعه D(ℚ) باشد.در اینصورت،  قرار دهید

M:=sup(S):=∪{Ax : x=(Ax,Bx)∈S}

حال نشان می دهیم که M کوچکترین کران بالای Sاست.
الف) هرگاه
x:=(A,B)∈S
آنگاه
A⊆M
بنابراین
x≤m:=(M,N)
که
N: =ℚ\M
پس m یک کران بالای S است.براحتی می توان نشان داد کهmیک بریدگی ددکیند است.
ب) فرض کنید،
c:=(C,D)
یک بریدگی و کران بالای S باشد.در اینصورت، با توجه به تعریف:
M⊆C
بنابراین
m≤c
در این صورت mکوچکترین کران بالایSاست.
بنابراین  خاصیت کمال در D(ℚ) برقرار است.

۴.هرگاه
x:=(A,B)
و
y:=(C,D)
در D(ℚ) باشد، آنگاه
الف)
x+y:=(A+C,B+D)
ب)
x.y:=(A.C,B.D)
که در آن
A+C:={a+c : a∈A,c∈C}
و
A.C:=(E ,ℚ\E)
بطوری که
E :={r∈ℚ :∃c∈C, ∃a∈A ,r<ac }
وقتی x,y غیر منفی باشند.
ج)هرگاه
x:=(A,B)
آنگاه
-x:=(-B,-A)
د)همچنین:
|x|:=x
اگر و تنها اگر x غیر منفی باشد.در غیر اینصورت
|x|:=-x
ه) در حالت کلی:
x.y:=Sgn( x)Sgn(y)| x|.|y|


۵.براحتی می توان نشان داد که D(ℚ) یک میدان مرتب کامل است و نگاشت
x:=(Ax,Bx)-->sup(Ax)
یک نگاشت دو سوئی و حافظ ترتیب از D(ℚ) بهℝ می باشد.بنابراین
D(ℚ)⋍ℝ

(۱۶۰)
چرا خاصیت  ارشمیدسی و اصل تمامیت اعداد  حقیقی  معادلند؟
جواب:
۱.خاصیت ارشمیدسی  اعداد حقیقی  می گوید، برای هر  عدد حقیقی y  و هر عدد مثبت x ، یک عدد طبیعی n وجود دارد بقسمی که
nx>y
۲.خاصیت تمامیت اعداد  حقیقی  می گوید، هر زیر مجموعه  غیر تهی از اعداد حقیقی  که از بالا کراندار باشد، داراری کوچکترین  کران آن بالاست.

۳.بافرص خاصیت  تمامیت  اعداد، خاصیت  ارشمیدسی  را ثابت می کنیم.فرض کنید چنین نباشد.بنابراین
∃x>0∃y∈ℝ∀n∈ℕ,nx≤y
قرار دهید
S:={nx : n∈ℕ}
چونy کران بالای S است،لذا طبقه  فرض، اصل تمامیت اعداد،  مجموعه غیر تهی S دارای کوچکترین کران بالاست.قرار دهید:
M:=sup(S)

۴.بدیهی که
nx≤M
برای هر عدد طبیعی n.از اینکه xمثبت و
M-x<M
لذا طبق تعریف  زیرینه، وجود دارد k بقسمی که
M-x<kx
بنابراین:
(k+1)x>M
که تناقض است.بنابراین  خاصیت  ارشمیدسی  برقرار است.

۵.بالعکس،  فرض کنید A یک مجموعه  غیر تهی از اعداد حقیقی  باشد که دارای کران بالا، باشد.
چنانچهa1 در A و b1 کران بالای A باشد.قرار دهید
J1:=[a1,b1]
فرض کنید
s1=(a1+b1)/2
در این صورت ، یکی از دو حالات زیر برقرار است.

الف) اگر s1 کران بالای A باشد، قرار دهید:
a2:=a1
و
b2:=s1
ب) اگر s1 کران بالای A نباشد، آنگاه وجود دارد c1 در A بطوری که
s1<c1
قرار دهید
a2=c1
و
b2:=b1

چنانچه:
J2:=[a2,b2]
و
s2:= (a2+b2)/2
و اعمال فوق را به جایJ1 برای J2 انجام دهیم و آن را ادامه دهیم، آنگاه دنباله  ای از فواصل  بسته نزولی (Jn) و دنباله  نزولی (sn) درآن
بدست می آید بطوری که با توجه به خاصیت  ارشمیدسی:
l(Jn+1)=(1/2ⁿ)(b1-a1)-->0
بنابراین
∩Jn={ s}
بقسمی که
lim(sn):=s=inf(sn)=sup(A)

۶.از اینکه sn کران بالای A و
sn-->s
لذا s یک کران بالای A است.با توجه به بند ۵، عدد s کوچکترین کران بالای A است.بنابراین
s=sup(A)
وجود دارد.پس اصل تمامیت اعداد حقیقی برقرار است.


(۱۶۱)
چرا خاصیت  حجره های آشیانی با اصل تمامیت اعداد  معادلند؟
جواب:

جواب:
۱.خاصیت حجره‌های آشیانی:
هرگاه (Jn) دنباله ای نزولی  از فواصل بسته و کراندار در مجموعه اعداد حقیقی  باشد ، آنگاه  اشتراک آنها  غیر تهی  است.در حقیقت،  اگر
Jn:=[an,bn]
آنگاه
∩Jn=[a,b]
بطوری که
a:=sup{an}
و
b:=inf{bn}

۲.با فرض اصل  تمامیت اعداد، هرگاه
Jn:=[an,bn]
در این صورت مجموعه
A:={an:n∈ℕ}⊆[a1,b1]
کراندر و غیر تهی است.بنابراین  طبق فرض،
a:=sup(A)
وجود دارد.بدیهی است که
a∈∩Jn
بنابراین
∩Jn≠∅
در نتیجه خاصیت  حجره‌های آشیانی برقرار  است.

۳.فرض کنید خاصیت  حجره‌های  آشیانی برقرار باشد.هرگاه A زیر مجموعه  غیر تهی از اعداد حقیقی که دارای کران بالا، باشد.

چنانچهa1 در A و b1 کران بالای A باشد.قرار دهید
J1:=[a1,b1]
فرض کنید
s1=(a1+b1)/2
در این صورت ، یکی از دو حالات زیر برقرار است.

الف) اگر s1 کران بالای A باشد، قرار دهید:
a2:=a1
و
b2:=s1
ب) اگر s1 کران بالای A نباشد، آنگاه وجود دارد c1 در A بطوری که
s1<c1
قرار دهید
a2=c1
و
b2:=b1

چنانچه:
J2:=[a2,b2]
و
s2:= (a2+b2)/2
و اعمال فوق را به جایJ1 برای J2 انجام دهیم و آن را ادامه دهیم، آنگاه دنباله  ای از فواصل  بسته نزولی (Jn) و دنباله  نزولی (sn) درآن بدست می آید بطوری که با توجه به خاصیت  حجره های آشیانی
∩Jn={ s}
بقسمی که
lim(sn):=s=inf(sn)=sup(A)

۴.از اینکه sn کران بالای A و
sn-->s
لذا s یک کران بالای A است.با توجه به بند ۳، عدد s کوچکترین کران بالای A است.بنابراین
s=sup(A)
وجود دارد.پس اصل تمامیت اعداد حقیقی برقرار است.


(۱۶۲)
چرا خاصیت  کمال با خاصیت  تمامیت اعداد معادلند؟
جواب:

۱.خاصیت کمال:
هرگاه
X:=(X,∥.∥)
یک فضای نرمدار باشد،بطوری که هر دنباله کوشی در آن، به عنصری از X همگرا باشد.در این صورت X را کامل گویند.
در حالت خاص،  اگر
X:=(0,1)
با نرم اقلیدسی،  در این صورت فضایX کامل نیست.برای مثال، دنباله
(1/n)
درXکوشی است ولی همگرا نمی باشد.

۲.خاصیت کمال می گوید، هر دنباله کوشی در مجموعه اعداد حقیقی  همگراست.برای مثال، مجموعه اعداد  گویا ℚ با نرم اقلیدسی  کامل نمی باشد.برای مثال، دنباله یکنوای
xn:=(n+1/n)ⁿ-->e
کوشی است ولی به سمت عدد اصلی نپر e همگراست.

۳.هر دنباله کوشی در فضای نرمدار X، کراندار است.چنانچه یک دنباله کوشی
(xn)
درX، دارای یک زیر دنباله  همگرا در X باشد.در اینصورت  دنباله (xn) همگراست.

۴.با فرض اصل  کمال، هر دنباله کوشی
(xn)
  در ℝ کراندار است.بنابراین دارای یک زیر دنباله یکنوای
(x'n)
می باشد.با توجه به برقراری اصل  کمال:
الف) اگر دنباله
(x'n)
صعودی  باشد، آنگاه
x'n -->x=sup{x'n}
ب) اگر دنباله (x'n) نزولی باشد، آنگاه
x'n-->x:=inf{x'n}
بنابراین  با توجه به بند۳ ،دنباله کوشی
(xn)
همگراست.پس ℝ  دارای خاصیت  کمال است.

۵.بافرض اصل کمال، نشان می دهیم هر مجموعه غیر تهی و کراندار A دارای کو چک ترین کران بالاست.
می توان دنباله ای نزولی از حجره های
Jn:=[an,bn]
ساخت بطوری که bn کران بالای A و an عضو A بطوری که:

الف)
bn-an-->0
ب) دنباله
(an)
صعودی و دنباله
(bn)
نزولی است.
ج) هرگاه
n<m
آنگاه
|an_am|=am-an<bn-an-->0

د) بنابراین دنباله
(an)
کوشی است.پس طبق فرض، همگراست.
چنا نچه
an-->a
آنگاه
a=sup(A)
بنابراین خاصیت تمامیت اعداد  برقرار است.

(۱۶۳)
چرا خاصیت  بولتسانو- وایراشتراس  با خاصیت  کمال  معادلند؟
جواب:

۱.خاصیت  بولتسانو-  وایراشتراس می گوید ، هر دنباله کراندار در ℝ  دارای یک زیر دنباله همگراست.

۲.با فرض خاصیت  بولتسانو وایراشتراس ،  هرگاه
(xn)
یک دنباله کوشی  باشد.در اینصورت دنباله
(xn )
کراندار است.بنابر این طبق فرض، یک زیر دنباله همگرا  دارد.فرض کنید
x'n-->x
در اینصورت برای هر ε>0 ، وجود دارد N1

بطوری که برای هر n≥N1  ، داریم
| x'n-x|<ε/2
بعلاوه  وجود دارد N2، بقسمی که برای هر
n,m≥N2
داریم:
|xn-xm<ε/2
قرار دهید:
N:=max{N1,N2}
در این صورت:
|xn-x|<|xn-x'N|+| x'N-x|<ε/2+ε/2=ε
در نتیجه
xn-->x
پس خاصیت  کمال برقرار است.

۳.فرض کنید خاصیت کمال برقرار باشد.چنانچه

(xn)
یک دنباله کراندار در R باشد.در اینصورت
الف) اگر تعداد عناصر متمایز دنباله متناهی باشد، آنگاه  دنباله (xn) دارای  یک زیر دنباله ثابت می باشد.
ب) اگر  تعداد عناصر متمایز دنباله بی پایان باشد.در این صورت با بکار بردن خاصیت حجره های آشیانی(معادل اصل کمال) طبق قضیه بولتسانو- وایراشتراس مجموعه
A:={ xn: n∈ℕ}
دارای یک نقطه تجمع،به مانندx، است.بنابراین یک زیر دنباله
(x'n)
وجود دارد بطوری که
0<|x'n-x|<1/n
برای هر عدد طبیعی  n.در نتیجه  زیر دنباله
x'n-->x
در نتیجه خاصیت  بولتسانو- وایراشتراس برقرار است.

 (۱۶۴)
چرا خاصیت بولتسانو - وایراشتراس با خاصیت  حجره های آشیانی معادل است.
جواب:

۱.فرض کنید خاصیت  حجره‌های آشیانی برقرار باشد.چنانچه (xn) یک دنباله کراندار در R باشد.در اینصورت:

الف) اگر تعداد عناصر متمایز دنباله متناهی باشد، آنگاه  دنباله (xn) دارای  یک زیر دنباله ثابت می باشد.
ب) اگر  تعداد عناصر متمایز دنباله بی پایان باشد.در این صورت، با بکار بردن خاصیت حجره های آشیانی، طبق قضیه بولتسانو- وایراشتراس مجموعه
A:={ xn: n∈ℕ}
دارای یک نقطه تجمع،به مانندx، است.بنابراین یک زیر دنباله
(x'n)
وجود دارد بطوری که
0<|x'n-x|<1/n
برای هر عدد طبیعی  n.در نتیجه  زیر دنباله
x'n-->x
در نتیجه خاصیت  بولتسانو- وایراشتراس برقرار است.
۲.برعکس، فرض کنید خاصیت  بولتسانو وایراشتراس  برقرار باشد.چنانچه
Jn=[an,bn]
یک دنباله از حجره های بسته و نزولی درمجموعه اعداد حقیقی  باشد.در این صورت دنباله نزولی (bn) یک دنباله  کراندار می باشد.بنابراین دارای یک زیر دنباله همگرای
b'n-->b
می باشد.در نتیجه
b∈∩Jn
بنابراین
∩Jn≠∅
پس خاصیت  حجره های آشیانی  برقرار است.

(۱۶۵)

مجموعه اعداد  ترتیبی چیست؟
جواب:

۱.وقتی می‌گوییم یک مجموعه α یک عدد ترتیبی است، منظور این است که مجموعه‌ای خوش‌ترتیب است و در آن، هر عنصر از مجموعه، یک زیرمجموعه از خود است.به عبارتی دیگر؛ مجموعه α را یک عدد ترتیبی  است اگر و تنها اگر
الف)
(α,∈)
خوش  ترتیب  باشد.
ب) اگر
x∈α
آنگاه
x⊆α

برای مثال هر عدد طبیعی
n+1:={ 0,1,2,...,n}
یک عدد ترتیبی است.

۲.خانواده  همه اعداد  ترتیبی  را با Ω نشان  می دهیم.در این صورت‌ Ω با رابطه تعلق  یک کلاس  خوش ترتیب می باشد.

۳.هرگاهw1 ، کو چکترین عدد تر تیبی ناشمارا باشد و α<w1 آنگاه
{β∈Ω:β<α}
شماراست.

۴.هرگاه
w:={0 1,2,...}
اولین عدد ترتیبی  بی پایان باشد، آنگاه

1<2<..<w<w+1<..<2w<2w+1<..<(w)²<
بطور کلی
α<β
اگر و تنها اگر
α∈β
اگر و تنها اگر α قبل از β  در ترتیب در Ω باشد.

۵.هرگاه α یک عدد ترتیبی  باشد، آنگاه اولین عدد ترتیبی  بعد آن را با
α+1
نشان می دهند.

۶.مجموعه اعداد ترتیبی  شمارا را با
Ω.={α∈Ω:α<w1}
نشان می دهند.

۷.اصل استقرای ترتیبی؛
هرگاه
α-->p(α)
یک گزاره نما روی .Ω باشد بطوری که
الف) گزاره
p(0)
درست باشد
ب) اگر برای هر β ،
p(α)
برای هر
α<β
درست باشد، آنگاه
p(β)
درست باشد.در اینصورت گزاره نما ی
α-->p(α)
روی.Ω همواره درست است.

(۱۶۶)
آیا فضای اعداد ترتیبی  فشرده است؟
جواب:

۱.هرگاه w₁، اولین عدد تربیتی ناشمارا و w اولین عدد تربیتی شمارا باشد.در اینصورت برای هر عدد ترتیبی α  در کلاس اعداد ترتیبی Ω ، قرار می دهیم:

الف)
Ω(α):= {β∈Ω؛β<α}
و
Ω[α]:={β∈Ω : β≤α}
ب) در  حالت خاص،
Ω₁: =Ω[w₁]
و
Ω. = Ω(w₁)=Ω[w]

۲.هرگاه W یک مجموعه خوش  ترتیب باشد، آنگاه عدد ترتیبی یکتای α وجود دارد بقسمی که
W=Ω[α]=Ω(α +1)
لذا
Ord(W):= α

۳.فضای
X:=Ω[w]
با توپولوژی  ترتیبی یک فضای فشرده موضعی،  فشرده  شمارشی است، شمارای اول،  و هاسدورف  می باشد.

۴.هرگاه
X:=Ω[α]
آنگاه، فضای X تفکیک پذیر  است اگر و تنها اگر X شمارای اول باشد اگر و تنها اگر α شمارا باشد.

۵.فضای
[0,α]:=Ω[α]
فشرده است .

۶.هر گاه α ، یک عدد ترتیبی  نامتناهی  باشد ، آنگاه زیر فضای
Y:=Ω(α)
فشرده  نمی باشد. زیرا پوشش باز
Gβ:=[0,β)
برای
β<α
دارای زیر پوشش متناهی نیست.

۷.فضای اعداد ترتیبی Ω ،   هاسدورف ،   فشرده موضعی ،  ولی فشرده  نمی باشد.

 (۱۶۸)
ساختن مجموعه اعداد ترتیبی چگونه است؟
جواب:

۱.وان نیومن ، اعداد  طبیعی  را به صورت اعداد اردینال ساخت.چنانچه
0:=∅
1=v(0)=0 u{0}={0}
بطور کلی
n+1:=v(n)=nu{n}={0,1,..,n}
آنگاه
v(n+1)=n+2=v(n)+1
در نتیجه n+1 ،اولین عنصر بعد از n است.همچنین هر عدد طبیعی، یک مجموعه خوش ترتیب  است که عناصر ما قبل خود را شامل است.پس هر عدد طبیعی  یک عدد ترتیبی است.

۲.هرگاه
w:=N:={0 ,1,2,..}
آنگاهw+1 ، اولین عنصر بعد از w است.بنابراین
w+1 =v(w)= wu{w}
در نتیجه با ادامه زنجیر
w<w+1< w+2<...

۳.هرگاه
2w:=w+w
آنگاه
2w+1:=v(2w)
و لذا
2w<2w+1<..

۴.بنابراین
0<1<2<..<w<..<2w<..<w²<...<wⁿ<...
(w)w<...<((w)w)w <...<w₁

۵.در حقیقتw₁، اولین عدد اردینال ناشماراست.بطور ی که:

w₁:=sup{zn}= sup{ (..(w)w)..)w :n بار}
=lim(zn)
که دنباله
(zn)
صعودی است.

۶.بنابراین w₁ ، اولین عدد ترتیبی ناشمارا، حد یک دنباله صعودی از اعداد ترتیبی شما را است.لازم به ذکر است که
zₙ₊₁=( zₙ)w
و

|zn|=((...(N.)N.)...)N.=N.
لذا zn یک عدد ترتیبی  شماراست.

۷.به نظر می رسد فرض پیوستار صحیح است؟ یعنی وجود ندارد مجموعه Aبطوری که
N.<|A|<N1

(۱۶۹)
چرا فضای اردینال Ω[w₁] فشرده است؟
جواب:

۱.هرگاه U یک پوشش باز باز برای فضای اعداد ترتیبی
X:=Ω[w₁]:={α: α≤w₁}
بطوری که w₁ ، کوچکترین  عدد ترتیبی ناشمارا
باشد.در این صورت  X یک مجموعه  خوش ترتیب است.چنانچه
w₁∈U₁∈U
از اینکه
U₁
خوش ترتیب است   لذا دارای کوچکترین عضو α₁
می باشد بطوری که
(α₁ ,w₁]⊆U₁

۲.چنانچه
α₁≠1
آنگاه وجود دارد
α₂<α₁
و مجموعه
U₂∈U
بطوری که
(α₂ ,α₁]⊆U₂

۳. با ادامه این کار، یک دنباله نزولی از  اعداد ترتیبی
(αₙ)
و دنباله ای از پوشش باز U، بدست می آید بطوری که
(αₙ₊₁αₙ]⊆Uₙ

۴.اما هر دنباله  نزولی در فضای اعداد ترتیبی  ایستاست.بنابراین وجود دارد n  بطوری که
αₙ=1
و لذا پوشش U، دارای یک زیر پوشش متناهی
{U₁ U₂ ,.Uₙ}
می باشد. بنابراین فضای X فشرده است.

(۱۷۰)
چرا هر دنباله نزولی از اعداد ترتیبی  ایستاست؟
جواب:

۱.فرض کنید
α₁>α₂>..
یک دنباله  نزولی از  اعداد ترتیبی  باشد.در این صورت  مجموعه
A:={α₁ , α₂ ,....}
دارای کوچکترین  عضو  میباشد.

۲.چنانچه
αₙ
کوچکترین  عضو A باشد، آنگاه
αₙ=αₖ
برای هر
k≥n
در نتیجه دنباله  در مرحله n-ام ایستاست .

۳.هر زیر مجموعه  بسته در فضای  فشرده و هاسدورف
Ω[w₁]
یک مجموعه  فشرده است.در حالت خاص، فاصله  بسته
[α,β]
برای هر
α≤β
فشرده  می باشد.

(۱۷۱)
چرا فضای اعداد ترتیبی  شمارا، فشرده شمارشی است؟
جواب:

۱.هرگاه
X:=Ω( w₁):={α∈Ω :α<w₁}

مجموعه  تمام اعداد ترتیبی شمارا باشد.نشان می دهیم که X با توپولوژی ترتیبی،  فشرده شمارشی است. یعنی هر پوشش باز و شمارای X دارای یک زیر پوشش متناهی  است.

۲.فرض کنید X فشرده شمارشی  نباشد. بنابراین پو شش باز و شمار ای
V:={V₁ ,V₂ , ...}
وجود دارد بقسمی X توسط هیچ تعداد متناهی از  مجموعه های V پوشیده نمی شود.بنابراین  برای هر n، عدد ترتیبی αₙ وجود دارد
αₙ∈X\(V₁∪V₂∪...∪Vₙ)
قرار دهید
α:=sup{αₙ :n∈ℕ}∈X

۳.اما فاصله
[0,α]
فشرده است و توسط هیچ تعداد متناهی  از پوشش شمارایV پوشیده نمی شود ، که تناقض است.بنابراین X فشرده شمارشی است.

 (۱۷۲)
چرا هر دنباله از اعداد ترتیبی  شمارا،  دارای زبرینه است؟
جواب:

۱هرگاه
(αₙ)
دنباله ای از اعداد تر تیبی شمارا باشد.قرار دهید:
α:=∪αₙ=sup{αₙ}
در این صورت
|α|≤N. xN.=N.
لذا α  شما را است.همچنین هر زیر مجموعه  غیر تهی A  از α ، یک زیر مجموعه از
X:=Ω(w₁)
می باشد.بنابراین A دارای عنصر مینیمال است. پس α یک مجموعه خوش ترتیب است.در نتیجه α ،یک عدد ترتیبی شماراست. بنابراین
α=sup{αₙ}
موجود است.

۲.بطور کلی، هر زیر مجموعه  غیر تهی A از مجموعه اعداد ترتیبی Ω ، دارای کران بالا در Ω است.در حقیقت
α:=∪{β:β∈A}
یک عدد ترتیبی است. همچنین α کران بالای A است ولی لزومی ندارد که درA باشد.

(۱۷۳)
چرا  فضای اعداد ترتیبی شمارا، فشرده  نیست؟
جواب

۱.هرگاه
X:=Ω(w₁)={α∈Ω : α<w₁}
فضای اعداد ترتیبی شمارا مجهز به توپولوژی ترتیبی  باشد.در این صورت برای هر
α∈X
خانواده U متشکل از مجموعه های باز
B(α):=[0,α)
یک پوشش باز X می باشد ، که دارای هیچ زیر پوشش متناهی نمی باشد. بنابراین فضای X فشرده نیست ولی فشرده شمارشی است.زیرا:
∪ 1≤k≤n B(αₖ)=B(α)
بطوری که

α:=max{α₁، α₂, ....,αₙ}

۲.هرگاه
α∈X
آنگاه
X\[0,α]=(α,w₁)
همانریخت  با X می باشد.
در حقیقت  نگاشت
f:[α+1,w₁)-->[0,w₁)
بطوری که
α+n-->n
همانریخت می باشد.

۳.یک فضای  توپولوژیکی را لیندلف گویند، اگر هر پوشش باز آن دارای یک زیر پوشش  شمارا باشد.بنابراین هر فضای  لیندلف و فشرده شمارشی، یک فضای  فشرده است.

۴.تصویر هر فضای لیندلف( به ترتیب فشرده شمارشی ) در اثر تابع  پیوسته حقیقی، پایاست

(۱۷۴)
چرا هر تابع  پیوسته  روی فضای اعداد ترتیبی شمارا،
تقر یبا ثابت است.
جواب

۱.هرگاه
X:=Ω(w₁)={α∈Ω : α<w₁}
فضای اعداد ترتیبی شمارا مجهز به توپولوژی ترتیبی  باشد و تابع
f:Ω(w₁)-->ℝ
پیوسته باشد، آنگاه X  فشره شمارشی است.بنابراین
f(X)
فشرده شمارشی است.اما در فضای متریک، فشردگی و فشرده شمارشی یکسان می باشند.بنابراین
f(X)
فشرده است. بنابراین  تور
(f(α))α∈X
دارای یک نقطه تجمع در
f(X)
می باشد.

۲.حال نشان می دهیم که نقطه تجمع  در
f(X)
یکتاست.فرض کنیدy,z نقاط متمایز تجمع در
f(X)
باشد.در اینصورت  دنباله
(αₙ)
از اعداد ترتیبی شمارا وجود دارد بطوری که
f(α₂ₙ)-->z
و
f(α₂ₙ₋₁)-->y

۳.هرگاه
α:=sup{αₙ:n∈ℕ}
در این صورت:
y=f(α)=z
که تناقض می باشد.

۴.حال نشان می دهیم که تابع پیوسته f، روی فاصله
[β,w₁)
برای یک
β∈X
ثابت است.

۵.هرگاه y تنها نقطه تجمع مجموعه فشرده
f(X)
باشد.در این صورت تور
(f(α))α∈X
به y همگراست . در غیر این صورت وجود دارد مجموعه  باز U بطوری که
Y:=X\f⁻¹(U)
شامل یک مجموعه هم پایان A می باشد.یعنی برای هر α در X، عنصر a در A وجود دارد بقسمی که a≥α باشد.

      از طرف دیگر Y در فضای  فشرده شمارشی X بسته است.بنابراین Y فشرده شمارشی است.پس f(Y) لیندلف و فشرده شمارشی است. بنابراین فشرده است.در نتیجه  f(X) دارای یک نقطه تجمع متمایز از y در f(Y) است که تناقض می باشد.

۶.بنابراین:
f(α)-->y
در نتیجه برای هر n  ،  وجود دارد αₙ بطوری که برای هر
α≥αₙ
داریم
|f(α)-y|<1/n
قرار دهید
β:= sup{αₙ:n∈ℕ}
در این صورت، برای هر
α≥β
داریم
f(α)=y
۷. در نتیجه هر تابع حقیقی پیوسته روی
Ω(w₁)
قابل توسیع به تابع حقیقی پیوسته به روی
Ω[w₁]
می باشد.

 (۱۷۶)
فضای توابع C.(X)،روی مجموعه اعداد ترتیبی  شمارا  چیست؟
جواب

۱.هر گاه X، فضای  تمام اعداد  ترتیبی شمارا  باشد  در این صورت
f:X-->ℝ
پیوسته است اگر  و تنها و اگر عدد ترتیبی β و عدد حقیقی c موجود باشد بطوری  که
f(α)=c
برای هر
α≥β

۲.از آنجائی که تابع پیوسته f روی فاصله  فشرده
[0,β]
کراندار است.بنابراین هر تابع پیوسته روی  X کراندار است.بنابراین

C(X)=Cb( X)

۳.هرگاه f  در C.(X) باشد ، آنگاه طبق بند ۱،
f(α)=0
برای هر
α≥β
و  بالعکس.

  ۴.باتوجه به بند۳، و فشردگی فاصله
[0,β]
داریم
C..( X)=C.(X)

(۱۷۷)
فشردگی استون-چک روی مجموعه اعداد ترتیبی  چیست؟
جواب:

۱.هرگاه X یک فضای  کاملا منظم باشد، یعنی مجموعه های  بسته و نقاط توسط توابع پیوسته  و کراندار جدا شوند.در این صورت X را کاملآ  منظم گویند.فضاهای کاملآ  منظم و هاسدورف  را تیخونف نامند.در حالت خاص هر فضای متریک یک فضای تیخونف  است.

۲.هرگاه X یک فضای  تیخونف باشد،آنگاه تابع
e: X-->∏{Iₕ: h∈Cb(X)}
با ضابطه
e(x)(h):=(h(x))
تابعی یک به یک است ، که در آن
Iₕ
فاصله بسته و کراندار در مجموعه اعداد حقیقی است بقسمی که برد تابع h در آن قرار دارد.

۳.توسط تابع e، هر فضای  تیخونف قابل محاط در فضای حاصلضرب  به عنوان یک زیر فضای  توپولوژیکی  همانریخت می باشد.

۴.هرگاه X یک فضای  تیخونف باشد،  آنگاه فشردگی  استون-چک  فضای X، عبارت است از بستار توپولوژیکی
β(X):=Cl{e(X)}
در فضای حاصلضرب.

۵.هرگاه
X:=Ω(w₁):={α∈Ω:α<w₁}

که‌در آن w₁ کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا  باشد.در این صورت  هر تابع پیوسته  و کراندار روی X قابل توسیع  به Ω[w₁] می باشد .بنابراین:

β(X)= Ω[w₁] :={α∈Ω: α≤w₁}=Cl(Ω(w₁))

۶.هرگاه
X:=(0,1)
با توپولوژی  اقلیدسی،  آنگاه
β(X)≠[0,1]=Cl(X)
برای مثال ، تابع
f(x)=sin(1/x)
روی X پیوسته و کراندار است ولی قابل توسیع به یک تابع پیوسته روی
[0,1]
نمی باشد.

 (۱۷۸)
چرا فضای اعداد ترتیبی شمارا،  نرمال است؟
جواب:

۱.هرگاه X یک فضای توپولوژیکی باشد بطوری که مجموعه های بسته و مجزا،  توسط مجموعه های باز جدا شوند.در این صورت X را نرمال گویند.

۲.هر فضای متریک ( X,d)،  یک فضای  نرمال است.چنانچه A , B مجموعه های مجزا و  بسته
در X باشند.داین صورت

f(x):=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))
برای x در X ، یک تابع پیوسته و کراندار روی  X است بطوریکه
f(A)={0}
و
f(B)={1}
بنابراین

U:=f⁻¹[0,1/2)
مجموعه ای  باز شامل A و
V:=f⁻¹(1/2,1]
مجموعه ای  باز شامل B ، بطوری که
A∩B=∅
در نتیجه هر فضای متریک  نرمال است.

۳.در حالت کلی، طبق لم یوریزان ،  فضای توپولوژیکی X نرمال است اگر و تنها اگر مجموعه های مجزا و بسته درX توسط تابع پیوسته و کراندار از هم جدا شوند.

۴.قضیه تیتز  می گوید، فضای  X نرمال است اگر و تنها اگر هر تابع پیوسته روی یک زیر مجموعه بسته و غیر تهی در X ، دارای توسیع پیوسته  باشد.

۵.در حالت خاص،  اگر
X:=Ω(w₁):=[0,w₁)
بطوری که w₁ ، کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا  است.در اینصورت X یک فضای  نرمال است.زیرا اگر
f:A-->ℝ
تابعی پیوسته  روی  مجموعه بسته و غیر تهی  A ، با توپولوژی نسبی،  باشد.در این صورت وجود دارد عدد حقیقی c و عدد ترتیبی β در A بطوری که
f(α)=c
برای هر α درA بطوری که
α≥β

۶.هرگاه F توسیع تابع f روی X باشد بقسمی که
F(α)=c
برای هر
α≥β
در این صورت تابع F پیوسته است.بنابراین با بکار بردن قضیه گسترش تیتز، فضای
X:=Ω(w₁)
نرمال  است.

 (۱۷۹)
مفهوم  پیوستگی در فضای  اعداد ترتیبی  چیست؟
جواب:

۱.هرگاه
X:=Ω(w₁):={α:α<w₁}
بطوری که w₁  ، کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا  است.

در این صورت تابع
f:X-->ℝ
در α  پیوسته است اگر و تنها اگر حد چپ f  در α برابر (α)f باشد.زیرا:

همواره حد راست
Limf(x) x-->α⁺ = f(α)
در حقیقت ، برای هر ε>0 ، وجود دارد  همسایگی راست
U=[a,a+1)
بطوری که
|f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0<ε
برای هر x در U.

۲.بنابراین هر تابع حقیقی  - مقدار ، روی فضای  اعداد ترتیبی، در هر نقطه دارای حد راست می باشد.بنابراین تابع f در α پیوسته است  اگر و تنها اگر
Limf(x) x-->α⁺ = f(α)

تهیه و تنظیم
دکتر علی رجالی( دانشگاه اصفهان )
۱۴۰۴/۱۱/۳۰
@RejaliMathematicsChannel



  همواره پیوسته راست است.

 

 

فصل هشتم
شرحی بر  مفاهیم ریاضیات(۸)
مقدمه
فهرست مطالب
۱.معرفی مجموعه اعداد ترتیبی
۲.آیا فضای اعداد ترتیبی شمارا  است؟
۳.ساختن مجموعه  اعداد ترتیبی   چگونه است
۴.چرا فضای  اعداد ترتیبی  فشرده است؟
۵.چرا هر دنباله از اعداد ترتیبی  ایستاست
۶.چرا فضای اعداد ترتیبی شمارا،  فشرده شمارشی است
۷.چرا هر دنباله  از اعداد ترتیبی  شمارا، دارای زبرینه است
۸.چرا فضای اعداد ترتیبی  شمارا، فشرده  نیست
۹.چرا هر تابع  پیوسته  روی فضای  اعداد ترتیبی  شمارا، تقریبا ثابت است.
۱۰.معرفی فضای توابع پیوسته  روی مجموعه اعداد ترتیبی
۱۱.فشردگی استون- چک ، روی مجموعه اعداد ترتیبی
۱۲.چرا فضای  اعداد ترتیبی  شمارا، یک فضای نرمال است
۱۳.مفهوم  پیوستگی در فضای اعداد ترتیبی
۱۴.آیا فضای اعداد ترتیبی  همبند است

مقدمه
نظریهٔ مجموعه‌ها یکی از بنیادی‌ترین شاخه‌های ریاضیات جدید است و بسیاری از مفاهیم اساسی ریاضیات، از دل آن زاده شده‌اند. در این میان، اعداد ترتیبی نقشی ویژه دارند؛ زیرا آن‌ها ابزاری دقیق برای فهم «ترتیب»، «ساخت تدریجی» و «بی‌نهایت» فراهم می‌کنند.
اعداد ترتیبی نخستین‌بار به‌صورت منسجم توسط ریاضی‌دان آلمانی کانتور معرفی شد. کانتور با بنیان‌گذاری نظریهٔ مجموعه‌ها نشان داد که بی‌نهایت‌ها نیز می‌توانند ساختارمند، مقایسه‌پذیر و حتی دارای مراتب مختلف باشند. اعداد ترتیبی زبان رسمی توصیف این مراتب‌اند.
برخلاف اعداد طبیعی که صرفاً برای «شمارش» به‌کار می‌روند، اعداد ترتیبی مفهومی عمیق‌تر دارند: آن‌ها نوعِ ترتیب یک مجموعهٔ خوش‌ترتیب را مشخص می‌کنند. به بیان دیگر، هر جا بتوان عناصر یک مجموعه را به‌گونه‌ای مرتب کرد که هر زیرمجموعهٔ ناتهی دارای کوچک‌ترین عضو باشد، با ساختاری ترتیبی روبه‌رو هستیم.
در این نوشتار، تلاش می‌شود با نگاهی آموزشی و تحلیلی، مفاهیم اصلی مربوط به اعداد ترتیبی بررسی شود. از معرفی و ساخت اعداد ترتیبی در چارچوب ترتیبی آغاز می‌کنیم، سپس به بررسی ویژگی‌های توپولوژیک فضای اعداد ترتیبی می‌پردازیم؛ از جمله:
فشردگی و فشردگی شمارشی
ایستایی دنباله‌ها
وجود زبرینه‌ها
نرمال بودن فضا
رفتار توابع پیوسته
و در نهایت، ساختار فضای توابع پیوسته و فشردگی استون–چک
هدف این مجموعه آن است که نشان دهد چگونه یک مفهوم ظاهراً سادهٔ ترتیبی، پلی میان نظریهٔ مجموعه‌ها و توپولوژی عمومی ایجاد می‌کند و چگونه خواص بی‌نهایت، در این چارچوب، رفتاری متفاوت از فضاهای آشنای متریک دارند.
این بحث هم برای دانشجویان ریاضیات و هم برای علاقه‌مندان به مبانی نظری ریاضیات می‌تواند افق تازه‌ای بگشاید؛ زیرا اعداد ترتیبی، دریچه‌ای به فهم دقیق‌تر «بی‌نهایت»، «ترتیب» و «ساختار» هستند.

سوال (۱)
مجموعه اعداد  ترتیبی چیست؟
جواب:

۱.وقتی می‌گوییم یک مجموعه α یک عدد ترتیبی است، منظور این است که مجموعه‌ای خوش‌ترتیب است و در آن، هر عنصر از مجموعه، یک زیرمجموعه از خود است.به عبارتی دیگر؛ مجموعه α را یک عدد ترتیبی  است اگر و تنها اگر
الف)
(α,∈)
خوش  ترتیب  باشد.
ب) اگر
x∈α
آنگاه
x⊆α

برای مثال هر عدد طبیعی
n+1:={ 0,1,2,...,n}
یک عدد ترتیبی است.

۲.خانواده  همه اعداد  ترتیبی  را با Ω نشان  می دهیم.در این صورت‌ Ω با رابطه تعلق  یک کلاس  خوش ترتیب می باشد.

۳.هرگاهw1 ، کو چکترین عدد تر تیبی ناشمارا باشد و α<w1 آنگاه
{β∈Ω:β<α}
شماراست.

۴.هرگاه
w:={0 1,2,...}
اولین عدد ترتیبی  بی پایان باشد، آنگاه

1<2<..<w<w+1<..<2w<2w+1<..<(w)²<
بطور کلی
α<β
اگر و تنها اگر
α∈β
اگر و تنها اگر α قبل از β  در ترتیب در Ω باشد.

۵.هرگاه α یک عدد ترتیبی  باشد، آنگاه اولین عدد ترتیبی  بعد آن را با
α+1
نشان می دهند.

۶.مجموعه اعداد ترتیبی  شمارا را با
Ω.={α∈Ω:α<w1}
نشان می دهند.

۷.اصل استقرای ترتیبی؛
هرگاه
α-->p(α)
یک گزاره نما روی .Ω باشد بطوری که
الف) گزاره
p(0)
درست باشد
ب) اگر برای هر β ،
p(α)
برای هر
α<β
درست باشد، آنگاه
p(β)
درست باشد.در اینصورت گزاره نما ی
α-->p(α)
روی.Ω همواره درست است. 

 

 

 

سوال  (۲)
آیا فضای اعداد ترتیبی  فشرده است؟
جواب:

۱.هرگاه w₁، اولین عدد تربیتی ناشمارا و w اولین عدد تربیتی شمارا باشد.در اینصورت برای هر عدد ترتیبی α  در کلاس اعداد ترتیبی Ω ، قرار می دهیم:

الف)
Ω(α):= {β∈Ω؛β<α}
و
Ω[α]:={β∈Ω : β≤α}
ب) در  حالت خاص،
Ω₁: =Ω[w₁]
و
Ω. = Ω(w₁)=Ω[w]

۲.هرگاه W یک مجموعه خوش  ترتیب باشد، آنگاه عدد ترتیبی یکتای α وجود دارد بقسمی که
W=Ω[α]=Ω(α +1)
لذا
Ord(W):= α

۳.فضای
X:=Ω[w]
با توپولوژی  ترتیبی یک فضای فشرده موضعی،  فشرده  شمارشی است، شمارای اول،  و هاسدورف  می باشد.

۴.هرگاه
X:=Ω[α]
آنگاه، فضای X تفکیک پذیر  است اگر و تنها اگر X شمارای اول باشد اگر و تنها اگر α شمارا باشد.

۵.فضای
[0,α]:=Ω[α]
فشرده است .

۶.هر گاه α ، یک عدد ترتیبی  نامتناهی  باشد ، آنگاه زیر فضای
Y:=Ω(α)
فشرده  نمی باشد. زیرا پوشش باز
Gβ:=[0,β)
برای
β<α
دارای زیر پوشش متناهی نیست.

۷.فضای اعداد ترتیبی Ω ،   هاسدورف ،   فشرده موضعی ،  ولی فشرده  نمی باشد.

سوال (۳)
ساختن مجموعه اعداد ترتیبی چگونه است؟
جواب:

۱.وان نیومن ، اعداد  طبیعی  را به صورت اعداد اردینال ساخت.چنانچه
0:=∅
1=v(0)=0 u{0}={0}
بطور کلی
n+1:=v(n)=nu{n}={0,1,..,n}
آنگاه
v(n+1)=n+2=v(n)+1
در نتیجه n+1 ،اولین عنصر بعد از n است.همچنین هر عدد طبیعی، یک مجموعه خوش ترتیب  است که عناصر ما قبل خود را شامل است.پس هر عدد طبیعی  یک عدد ترتیبی است.

۲.هرگاه
w:=N:={0 ,1,2,..}
آنگاهw+1 ، اولین عنصر بعد از w است.بنابراین
w+1 =v(w)= wu{w}
در نتیجه با ادامه زنجیر
w<w+1< w+2<...

۳.هرگاه
2w:=w+w
آنگاه
2w+1:=v(2w)
و لذا
2w<2w+1<..

۴.بنابراین
0<1<2<..<w<..<2w<..<w²<...<wⁿ<...
(w)w<...<((w)w)w <...<w₁

۵.در حقیقتw₁، اولین عدد اردینال ناشماراست.بطور ی که:

w₁:=sup{zn}= sup{ (..(w)w)..)w :n بار}
=lim(zn)
که دنباله
(zn)
صعودی است.

۶.بنابراین w₁ ، اولین عدد ترتیبی ناشمارا، حد یک دنباله صعودی از اعداد ترتیبی شما را است.لازم به ذکر است که
zₙ₊₁=( zₙ)w
و

|zn|=((...(N.)N.)...)N.=N.
لذا zn یک عدد ترتیبی  شماراست.

۷.به نظر می رسد فرض پیوستار صحیح است؟ یعنی وجود ندارد مجموعه Aبطوری که
N.<|A|<N1

سوال (۴)
چرا فضای اردینال Ω[w₁] فشرده است؟
جواب:

۱.هرگاه U یک پوشش باز باز برای فضای اعداد ترتیبی
X:=Ω[w₁]:={α: α≤w₁}
بطوری که w₁ ، کوچکترین  عدد ترتیبی ناشمارا
باشد.در این صورت  X یک مجموعه  خوش ترتیب است.چنانچه
w₁∈U₁∈U
از اینکه
U₁
خوش ترتیب است   لذا دارای کوچکترین عضو α₁
می باشد بطوری که
(α₁ ,w₁]⊆U₁

۲.چنانچه
α₁≠1
آنگاه وجود دارد
α₂<α₁
و مجموعه
U₂∈U
بطوری که
(α₂ ,α₁]⊆U₂

۳. با ادامه این کار، یک دنباله نزولی از  اعداد ترتیبی
(αₙ)
و دنباله ای از پوشش باز U، بدست می آید بطوری که
(αₙ₊₁αₙ]⊆Uₙ

۴.اما هر دنباله  نزولی در فضای اعداد ترتیبی  ایستاست.بنابراین وجود دارد n  بطوری که
αₙ=1
و لذا پوشش U، دارای یک زیر پوشش متناهی
{U₁ U₂ ,.Uₙ}
می باشد. بنابراین فضای X فشرده است.

 

 

سوال (۵)
چرا هر دنباله نزولی از اعداد ترتیبی  ایستاست؟
جواب:

۱.فرض کنید
α₁>α₂>..
یک دنباله  نزولی از  اعداد ترتیبی  باشد.در این صورت  مجموعه
A:={α₁ , α₂ ,....}
دارای کوچکترین  عضو  میباشد.

۲.چنانچه
αₙ
کوچکترین  عضو A باشد، آنگاه
αₙ=αₖ
برای هر
k≥n
در نتیجه دنباله  در مرحله n-ام ایستاست .

۳.هر زیر مجموعه  بسته در فضای  فشرده و هاسدورف
Ω[w₁]
یک مجموعه  فشرده است.در حالت خاص، فاصله  بسته
[α,β]
برای هر
α≤β
فشرده  می باشد.

سوال (۶)
چرا فضای اعداد ترتیبی  شمارا، فشرده شمارشی است؟
جواب:

۱.هرگاه
X:=Ω( w₁):={α∈Ω :α<w₁}

مجموعه  تمام اعداد ترتیبی شمارا باشد.نشان می دهیم که X با توپولوژی ترتیبی،  فشرده شمارشی است. یعنی هر پوشش باز و شمارای X دارای یک زیر پوشش متناهی  است.

۲.فرض کنید X فشرده شمارشی  نباشد. بنابراین پو شش باز و شمار ای
V:={V₁ ,V₂ , ...}
وجود دارد بقسمی X توسط هیچ تعداد متناهی از  مجموعه های V پوشیده نمی شود.بنابراین  برای هر n، عدد ترتیبی αₙ وجود دارد
αₙ∈X\(V₁∪V₂∪...∪Vₙ)
قرار دهید
α:=sup{αₙ :n∈ℕ}∈X

۳.اما فاصله
[0,α]
فشرده است و توسط هیچ تعداد متناهی  از پوشش شمارایV پوشیده نمی شود ، که تناقض است.بنابراین X فشرده شمارشی است.

سوال (۷)
چرا هر دنباله از اعداد ترتیبی  شمارا،  دارای زبرینه است؟
جواب:

۱هرگاه
(αₙ)
دنباله ای از اعداد تر تیبی شمارا باشد.قرار دهید:
α:=∪αₙ=sup{αₙ}
در این صورت
|α|≤N. xN.=N.
لذا α  شما را است.همچنین هر زیر مجموعه  غیر تهی A  از α ، یک زیر مجموعه از
X:=Ω(w₁)
می باشد.بنابراین A دارای عنصر مینیمال است. پس α یک مجموعه خوش ترتیب است.در نتیجه α ،یک عدد ترتیبی شماراست. بنابراین
α=sup{αₙ}
موجود است.

۲.بطور کلی، هر زیر مجموعه  غیر تهی A از مجموعه اعداد ترتیبی Ω ، دارای کران بالا در Ω است.در حقیقت
α:=∪{β:β∈A}
یک عدد ترتیبی است. همچنین α کران بالای A است ولی لزومی ندارد که درA باشد.

 

 

سوال (۸)
چرا  فضای اعداد ترتیبی شمارا، فشرده  نیست؟
جواب

۱.هرگاه
X:=Ω(w₁)={α∈Ω : α<w₁}
فضای اعداد ترتیبی شمارا مجهز به توپولوژی ترتیبی  باشد.در این صورت برای هر
α∈X
خانواده U متشکل از مجموعه های باز
B(α):=[0,α)
یک پوشش باز X می باشد ، که دارای هیچ زیر پوشش متناهی نمی باشد. بنابراین فضای X فشرده نیست ولی فشرده شمارشی است.زیرا:
∪ 1≤k≤n B(αₖ)=B(α)
بطوری که

α:=max{α₁، α₂, ....,αₙ}

۲.هرگاه
α∈X
آنگاه
X\[0,α]=(α,w₁)
همانریخت  با X می باشد.
در حقیقت  نگاشت
f:[α+1,w₁)-->[0,w₁)
بطوری که
α+n-->n
همانریخت می باشد.

۳.یک فضای  توپولوژیکی را لیندلف گویند، اگر هر پوشش باز آن دارای یک زیر پوشش  شمارا باشد.بنابراین هر فضای  لیندلف و فشرده شمارشی، یک فضای  فشرده است.

۴.تصویر هر فضای لیندلف( به ترتیب فشرده شمارشی ) در اثر تابع  پیوسته حقیقی، پایاست

سوال (۹)
چرا هر تابع  پیوسته  روی فضای اعداد ترتیبی شمارا،
تقر یبا ثابت است.
جواب

۱.هرگاه
X:=Ω(w₁)={α∈Ω : α<w₁}
فضای اعداد ترتیبی شمارا مجهز به توپولوژی ترتیبی  باشد و تابع
f:Ω(w₁)-->ℝ
پیوسته باشد، آنگاه X  فشره شمارشی است.بنابراین
f(X)
فشرده شمارشی است.اما در فضای متریک، فشردگی و فشرده شمارشی یکسان می باشند.بنابراین
f(X)
فشرده است. بنابراین  تور
(f(α))α∈X
دارای یک نقطه تجمع در
f(X)
می باشد.

۲.حال نشان می دهیم که نقطه تجمع  در
f(X)
یکتاست.فرض کنیدy,z نقاط متمایز تجمع در
f(X)
باشد.در اینصورت  دنباله
(αₙ)
از اعداد ترتیبی شمارا وجود دارد بطوری که
f(α₂ₙ)-->z
و
f(α₂ₙ₋₁)-->y

۳.هرگاه
α:=sup{αₙ:n∈ℕ}
در این صورت:
y=f(α)=z
که تناقض می باشد.

۴.حال نشان می دهیم که تابع پیوسته f، روی فاصله
[β,w₁)
برای یک
β∈X
ثابت است.

۵.هرگاه y تنها نقطه تجمع مجموعه فشرده
f(X)
باشد.در این صورت تور
(f(α))α∈X
به y همگراست . در غیر این صورت وجود دارد مجموعه  باز U بطوری که
Y:=X\f⁻¹(U)
شامل یک مجموعه هم پایان A می باشد.یعنی برای هر α در X، عنصر a در A وجود دارد بقسمی که a≥α باشد.

      از طرف دیگر Y در فضای  فشرده شمارشی X بسته است.بنابراین Y فشرده شمارشی است.پس f(Y) لیندلف و فشرده شمارشی است. بنابراین فشرده است.در نتیجه  f(X) دارای یک نقطه تجمع متمایز از y در f(Y) است که تناقض می باشد.

۶.بنابراین:
f(α)-->y
در نتیجه برای هر n  ،  وجود دارد αₙ بطوری که برای هر
α≥αₙ
داریم
|f(α)-y|<1/n
قرار دهید
β:= sup{αₙ:n∈ℕ}
در این صورت، برای هر
α≥β
داریم
f(α)=y
۷. در نتیجه هر تابع حقیقی پیوسته روی
Ω(w₁)
قابل توسیع به تابع حقیقی پیوسته به روی
Ω[w₁]
می باشد.

سوال (۱۰)
فضای توابع C.(X)،روی مجموعه اعداد ترتیبی  شمارا  چیست؟
جواب

۱.هر گاه X، فضای  تمام اعداد  ترتیبی شمارا  باشد  در این صورت
f:X-->ℝ
پیوسته است اگر  و تنها و اگر عدد ترتیبی β و عدد حقیقی c موجود باشد بطوری  که
f(α)=c
برای هر
α≥β

۲.از آنجائی که تابع پیوسته f روی فاصله  فشرده
[0,β]
کراندار است.بنابراین هر تابع پیوسته روی  X کراندار است.بنابراین

C(X)=Cb( X)

۳.هرگاه f  در C.(X) باشد ، آنگاه طبق بند ۱،
f(α)=0
برای هر
α≥β
و  بالعکس.

  ۴.باتوجه به بند۳، و فشردگی فاصله
[0,β]
داریم
C..( X)=C.(X)

سوال ریاضی(۱۱)
فشردگی استون-چک روی مجموعه اعداد ترتیبی  چیست؟
جواب:

۱.هرگاه X یک فضای  کاملا منظم باشد، یعنی مجموعه های  بسته و نقاط توسط توابع پیوسته  و کراندار جدا شوند.در این صورت X را کاملآ  منظم گویند.فضاهای کاملآ  منظم و هاسدورف  را تیخونف نامند.در حالت خاص هر فضای متریک یک فضای تیخونف  است.

۲.هرگاه X یک فضای  تیخونف باشد،آنگاه تابع
e: X-->∏{Iₕ: h∈Cb(X)}
با ضابطه
e(x)(h):=(h(x))
تابعی یک به یک است ، که در آن
Iₕ
فاصله بسته و کراندار در مجموعه اعداد حقیقی است بقسمی که برد تابع h در آن قرار دارد.

۳.توسط تابع e، هر فضای  تیخونف قابل محاط در فضای حاصلضرب  به عنوان یک زیر فضای  توپولوژیکی  همانریخت می باشد.

۴.هرگاه X یک فضای  تیخونف باشد،  آنگاه فشردگی  استون-چک  فضای X، عبارت است از بستار توپولوژیکی
β(X):=Cl{e(X)}
در فضای حاصلضرب.

۵.هرگاه
X:=Ω(w₁):={α∈Ω:α<w₁}

که‌در آن w₁ کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا  باشد.در این صورت  هر تابع پیوسته  و کراندار روی X قابل توسیع  به Ω[w₁] می باشد .بنابراین:

β(X)= Ω[w₁] :={α∈Ω: α≤w₁}=Cl(Ω(w₁))

۶.هرگاه
X:=(0,1)
با توپولوژی  اقلیدسی،  آنگاه
β(X)≠[0,1]=Cl(X)
برای مثال ، تابع
f(x)=sin(1/x)
روی X پیوسته و کراندار است ولی قابل توسیع به یک تابع پیوسته روی
[0,1]
نمی باشد.

 

 

سوال (۱۲)
چرا فضای اعداد ترتیبی شمارا،  نرمال است؟
جواب:

۱.هرگاه X یک فضای توپولوژیکی باشد بطوری که مجموعه های بسته و مجزا،  توسط مجموعه های باز جدا شوند.در این صورت X را نرمال گویند.

۲.هر فضای متریک ( X,d)،  یک فضای  نرمال است.چنانچه A , B مجموعه های مجزا و  بسته
در X باشند.داین صورت

f(x):=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))
برای x در X ، یک تابع پیوسته و کراندار روی  X است بطوریکه
f(A)={0}
و
f(B)={1}
بنابراین

U:=f⁻¹[0,1/2)
مجموعه ای  باز شامل A و
V:=f⁻¹(1/2,1]
مجموعه ای  باز شامل B ، بطوری که
A∩B=∅
در نتیجه هر فضای متریک  نرمال است.

۳.در حالت کلی، طبق لم یوریزان ،  فضای توپولوژیکی X نرمال است اگر و تنها اگر مجموعه های مجزا و بسته درX توسط تابع پیوسته و کراندار از هم جدا شوند.

۴.قضیه تیتز  می گوید، فضای  X نرمال است اگر و تنها اگر هر تابع پیوسته روی یک زیر مجموعه بسته و غیر تهی در X ، دارای توسیع پیوسته  باشد.

۵.در حالت خاص،  اگر
X:=Ω(w₁):=[0,w₁)
بطوری که w₁ ، کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا  است.در اینصورت X یک فضای  نرمال است.زیرا اگر
f:A-->ℝ
تابعی پیوسته  روی  مجموعه بسته و غیر تهی  A ، با توپولوژی نسبی،  باشد.در این صورت وجود دارد عدد حقیقی c و عدد ترتیبی β در A بطوری که
f(α)=c
برای هر α درA بطوری که
α≥β

۶.هرگاه F توسیع تابع f روی X باشد بقسمی که
F(α)=c
برای هر
α≥β
در این صورت تابع F پیوسته است.بنابراین با بکار بردن قضیه گسترش تیتز، فضای
X:=Ω(w₁)
نرمال  است.

سوال (۱۳)
مفهوم  پیوستگی در فضای  اعداد ترتیبی  چیست؟
جواب:

۱.هرگاه
X:=Ω(w₁):={α:α<w₁}
بطوری که w₁  ، کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا  است.

در این صورت تابع
f:X-->ℝ
در α  پیوسته است اگر و تنها اگر حد چپ f  در α برابر (α)f باشد.زیرا:

همواره حد راست
Limf(x) x-->α⁺ = f(α)
در حقیقت ، برای هر ε>0 ، وجود دارد  همسایگی راست
U=[a,a+1)
بطوری که
|f(x)-f(a)|=|f(a)-f(a)|=0<ε
برای هر x در U.

۲.بنابراین هر تابع حقیقی  - مقدار ، روی فضای  اعداد ترتیبی، در هر نقطه دارای حد راست می باشد.بنابراین تابع f در α پیوسته است  اگر و تنها اگر
Limf(x) x-->α⁺ = f(α)

سوال (۱۴)
آیا فضای اعداد ترتیبی  همبند است؟
جواب:

۱.هرگاه X یک فضای  توپولوژیکی باشد بطوری که X اجتماع دو مجموعه باز و مجزا و غیر تهی در X باشد.در اینصورت X را ناهمبند گویند.مجموعه ای را همبند گویند که ناهمبند نباشد.

۲.فضایی همبند است که تنها مجموعه های باز  و بسته آن فضا، مجموعه  تهی و خود فضا باشد.زیر مجموعه A از فضای توپولوژیکی X همبند است اگر و تنها اگر A با توپولوژی نسبی از X، یک فضای  همبند باشد.

۳.برای مثال، هرگاه X مجموعه اعداد حقیقی با توپولوژی اقلیدسی باشد.در این صورت زیر مجموعه های همبند ، کلیه فواصل اعم از باز و بسته و بی کران هستند.

۴.هرگاه
X:=Ω[w₁]={α: α≤w₁}
با توپولوژی ترتیبی باشد بطوری که w₁ ، کوچکترین عدد ترتیبی ناشمارا باشد.در این صورت فضای X ناهمبند است.در حقیقت،  اگر
A:={w₁}
آنگاه A مجموعه ای هم باز و بسته محض در X است.

۴.هرگاه A زیر مجموعه
X:=Ω(w₁):={α: α<w₁}
در این صورت
sup(A)∈X
بنابراین وجود ندارد دنباله
(αₙ)
در X بطوری که
αₙ-->w₁
در نتیجه w₁ ، یک عدد ترتیبی حدی است.یعنی دارای عنصر  ماقبل هست ولی دارای نزدیکتر ین ماقبل نمی باشد.همچنین X ناهمبند است ، زیرا:
{ n}
برای هر عدد طبیعی n ، یک مجموعه  باز و بسته محض در X است.

 

فصل نهم

مقدمه
ریاضیات به عنوان یکی از مهم‌ترین و جذاب‌ترین شاخه‌های علمی، مفاهیم و مباحث عمیق و پیچیده‌ای را شامل می‌شود که برخی از آن‌ها درک و فهم دقیق و عمیق‌تری را می‌طلبند. در این میان، اعداد اصم، میدان‌ها، و ویژگی‌های مختلف آن‌ها از جمله مفاهیم کلیدی در نظریه اعداد و جبر هستند. این مفاهیم نه تنها برای فهم بهتر ساختارهای ریاضی اهمیت دارند، بلکه کاربردهای وسیعی نیز در علوم مختلف دارند.
در اینجا به بررسی برخی از مفاهیم اساسی و سوالات مهم در ریاضیات می‌پردازیم که شامل اعداد اصم، اعداد جبری، میدان‌های مختلف ریاضی و ویژگی‌های آنها می‌باشد. این مفاهیم برای دانشجویان و پژوهشگران ریاضی، از جمله در زمینه‌های جبر، نظریه اعداد و آنالیز، نقش کلیدی دارند.
مباحثی همچون وجود اعداد اصم خاصی مانند عدد نپر یا عدد پی، همچنین مفهوم میدان‌ها و ویژگی‌هایی همچون مشخصه یک میدان، از جمله موضوعاتی هستند که در این بخش به آن‌ها پرداخته می‌شود. این پرسش‌ها نه تنها از نظر نظری مهم هستند، بلکه در کاربردهای عملی مانند رمزنگاری، آنالیز عددی و حتی فیزیک نیز تاثیرگذارند.
در ادامه، با مرور دقیق‌تر این مفاهیم و پاسخ به سوالات مرتبط، به درک بهتری از ساختارهای ریاضی و ارتباط آن‌ها با دنیای واقعی دست خواهیم یافت.

 (۱۸۱)
چرا عدد نپر اصم می باشد ?
جواب:

۱.طبق تعریف  عدد نپر
e:=lim n-->∞ (1+1/n)ⁿ
همچنین
e=∑ n≥0 (1/n!)

۲.فرض کنید  e یک عدد گویا به فرم
e=p/q
برای اعداد  صحیح p ,q  بطوری که
q>1

۳.در اینصورت
q!e:=A+B
بطوری که
A:=∑q≥n≥0( q!/n!)
و
B:=∑ n≥q+1( q!/n!)

۴.هرگاه
n≤q
آنگاه
q!/n!
یک عدد صحیح است. بنابراین A یک عدد صحیح  می باشد.

همچنین
q!e= q!.p/q=p(q-1)!
یک عدد صحیح  است.در نتیجه B یک عدد صحیح می باشد.

۵.هرگاه
n≥q+1
در این صورت
n!=q!.(q+1)(q+2)...n
و لذا
q!/n!=1/(q+1)(q+2)..n
بنابراین :
0<B:=∑ n≥q+1( q!/n!)

≤∑ i≥1 ( 1/(q+1))ⁱ)=1/q<1

۶.در نتیجه
0<B<1
از طرفی طبق بند۴، عدد B صحیح است و این تناقض می باشد.پسe یک عدد اصم است.

(۱۸۲)
چرا جذر دو موجود و اصم است؟
جواب:

۱.هرگاه
S:={y∈ℝ⁺ :y²≤2}
دراینصورت 2 کران بالای مجموعه غیر تهی S می باشد.بنابر اصل تمامیت اعداد،  وجود دارد عدد x بطوری که
x:=sup(S)
الف) اگر
x²<2
در این صورت وجود دارد عدد طبیعیn بطوری که
1/n<(2-x²)/(2x+1)
بنابراین
(x+1/n)²≤x²+(2x+1)/n<2
پس
x+1/n∈S
و تناقض است.
ب)اگر
x²>2
در این صورت وجود دارد n بطوری که
1/n<(x²-2)/2x

بنابراین وجود دارد s در S بقسمی که
x-1/n<s
در نتیجه
s²>x2-2x/n>2
و لذا
s∉S
که تناقض است.

۲.در نتیجه وجود دارد عدد مثبت و یکتای x بطوری که
x²=2
به عبارت دیگر:
x:=√2
وجود دارد.چنانچه y عدد مثبت دیگری باشد که
y²=2
در اینصورت
y=x
یا
y=-x
اماx,y هر دو مثبت هستند.پس
x=y

۳.حال نشان می دهیم که عدد  x اصم می باشد.فرض کنید
x=p/q
بطوری که p,q نسبت به هم اول باشند.در اینصورت
p²=2q²
و لذا p زوج است.فرض کنید
p=2k
دراینصورت
q²=2k
و لذا q زوج است.پس p,q نسبت به هم اول نمی باشند و تناقض است.

 (۱۸۳)
نمایش  اعداد اصم به صورت اعشاری چگونه است؟
جواب:

هرگاه x یک عدد حقیقی  باشد که قابل نمایش به صورت یک کسر از اعداد صحیح نباشد، آنگاه x را اصم نامند.می توان هر عدد را در مبنای ده یا کمتر ، بالاخص دو، نمایش داد.

۱.هرگاه x یک عدد حقیقی مثبت  باشد، آنگاه
0≤x-[x]<1
که
[x]
بزرگترین عدد صحیح  کمتر یا مساوی x است.

۲.چنانچه فاصله
[0,1)
را به ده قسمت تقسیم کنیم،  آنگاه وجود دارد
k₁
بطوری که
k1/10 ≤x-[x]<(k₁+1)/10
بنابراین:
0≤x-[x]-k₁/10<1/10

۳.با ادامه این کار دنباله
(kn)
وجود دارد بقسمی که
x=[x]+ k₁/10 +k₂/10²+....
=[x]/ k₁k₂..

۴.اگر یکی از مقادیر kn صفر باشد، آنگاه x یک عدد گویا است که می‌تواند به صورت یک کسر از دو عدد صحیح نوشته شود.


۵.اگر دنباله  (kn) به صورت دوره‌ای تکرار شود، یعنی یک الگوی ثابت در مقادیر,... k₁,k₂ وجود داشته باشد، آنگاه x یک عدد گویا خواهد بود.


۶.هرگاه  از مرحله‌ای به بعد هیچ الگوی تکراری در دنباله ارقام اعشاری وجود نداشته باشد، آنگاه x یک عدد اصم است. در این صورت نمایش اعشاری آن بی‌پایان و غیرتکراری خواهد بود.


 (۱۸۴)
چرا عدد π، یک عدد اصم است؟
جواب:

۱.هرگاه
f(x):= xⁿ(1-x)ⁿ/n!
برای x در [0,1].در این صورت
0< f(x)<1/n!
برای هر x در (0,1).

۲.همچنین مشتق تابع f در نقاط صفر و یک ، در هر مرتبه، اعداد صحیح می باشند.

۳.فرض کنید π، یک عدد گویا باشد.قرار دهید
π²=a/b
بطوری کهa,b اعداد صحیح و مثبت باشند.چنانچه

F(x)=bⁿ∑ 0≤i≤n (-1)ⁱf⁽²ⁱ⁾ (x)π²ⁿ⁻²ⁱ
در این صورت:
الف) اعداد
F(0) و F(1)
صحیح می باشند.
ب)
π²aⁿf(x)sin(πx)=
d/dx [F'(x)sin(πx)-πF(x)cos(πx)]
:=d/dx(G(x))

ج) بنابراین:
πaⁿ∫ₗ f(x) sin(πx)dx

=1/π[G(1)-G(0)]

=F(1)+F(0)
که در آن
I:=[0,1]
د)با بکار بردن موارد فوق  داریم:

0<F(0)+F(1)<πaⁿ∫ₗ1/n! dx=πaⁿ/n!<1

برای  n های به اندازه کافی بزرگ.که متناقض با بند "الف"می باشد.لازم به ذکر است که
exp(a)=∑aⁿ/n!
یک سری همگراست.بنابراین
aⁿ/n!-->0
     در نتیجه عدد π اصم می باشد.

 (۱۸۵)
نمایش اعداد گویا چگونه است.؟
جواب:

۱.هر عدد حقیقی دارای نمایش اعشاری  می باشد ولی لزومی ندارد که این نمایش یکتا باشد(برای مثال
1=0/9999.)
حال نشان می دهیم که هر عدد گویا قابل نمایش به صورت مجموع متناهی از اعداد گویا به فرم
ak/k!
می باشد.

۲.هرگاه x یک عدد گویای مثبت باشد.قرار دهید
a₁=[x]
ak=[k!x]- k[(k-1)!x]
برای
k:=2,3,...

هرگاه n، کوچکترین عدد  صحیح باشد که
n!x
یک عدد صحیح  باشد.دراین صورت:

x=∑ 1≤k≤n ak/k!
و بالعکس.

۳.چنانچه عددی جبری نباشد، آن را غیر جبری گوئیم.یعنی ریشه هیچ کثیرالجمله  با ضرایب صحیح نباشد( مانند عدد π). مجموعه اعداد جبری، کوچکترین  زیرمیدان، از میدان اعداد  مختلط  می باشد.

(۱۸۶)
قضیه لیندمن- وایراشتراس چیست؟
جواب:

۱.قضیه لیندمن-  وایراشتراس  می گوید،هر گاه
a1,a2,..,an
اعداد جبری باشند(یعنی ریشه یک کثیرالجمله  با ضرایب  صحیح، مانند جذر دو، که ریشه  معادله
x²-2=0)
که روی میدان  اعداد گویا مستقل خطی باشند.
دراینصورت
exp(a1), exp( a2),..,exp( an)
اعداد  غیر جبری می باشند و روی میدان اعداد جبری، مستقل  خطی هستند.

۲.چنانچه عددی جبری نباشد، آن را غیر جبری گوئیم.یعنی ریشه هیچ کثیرالجمله  با ضرایب صحیح نباشد( مانند عددπ و عدد نپر e)

۳.در حالت خاص،  اگر a یک عدد جبری باشد، آنگاه
exp(a)
یک عدد غیر جبری است.

۴.عدد
iπ
یک عدد جبری است، زیرا
exp(iπ) =cos(π)+isin(π)=-1

غیر جبری نمی باشد.لذا طبق قضیه لیندمن- وایراشتراس، عدد
iπ
یک عدد جبری نیست.بنابراین iπ ، یک عدد غیر جبری است.

۵.عددi، ریشه معادله
x²+1=0
لذاi، یک عدد جبری است.پس  عددπ، غیر جبری است.همچنین

exp( iπ)⁻ⁱ= exp(π)=(-1)⁻ⁱ

اما عدد" 1- "جبری است.لذا طبق قضیه لیندمن وایراشتراس
exp(π)=exp(β)
که
β=- ilog(-1)
یک عدد غیر جبری و اصم است.

(۱۸۷)
نمایش اعداد  جبری مختلط چگونه است؟
جواب:

۱.هر گاه α ، یک عدد جبری باشد.در اینصورت

ℚ[α]={f(α)/g(α) : f,g∈ℚ[x] , g(α)≠0}
بطوری که
ℚ[x]
مجموعه  تمام توابع کسری
p/q
کهp,q کثیرالجمله با ضرایب گویا  می باشند.

۲.هر کثیرالجمله  از درجهn، دقیقا  دارای n ریشهٔ در مجموعه اعداد مختلط می باشد.

۳.هرگاهα ، یک عدد جبری  باشد، آنگاه
ℚ[α]⊆ℚ[A]
فرض کنید
z= p(α)/q(α)
در ℚ[α] باشد.با توجه به اینکه
ℚ[α]
یک میدان است و اعداد
p(α) و q(α)
اعداد جبری  هستند.بنابراینz، یک عدد جبرئ است.

۴.هرگاه
S:={ a1,a2,...,an}
مجموعه ای از اعداد مختلط  جبری باشند.دراین صورت
ℚ[S] :=(ℚ[a1,a2,...an-1])(an)

مجموعه  تمام مقادیر کسری
p(an)/q(an)
کهp,q کثیرالجمله با ضرایب در
ℚ[a1,a2,...,an-1]
  می باشند.در اینصورت
ℚ[S]⊆ℚ[A]
یک میدان می باشد.

 (۱۸۸)
چرا مجموعه  اعداد  جبری یک میدان شماراست.
جواب:

۱.ابتدا نشان می دهیم که مجموعه تمام  کثیر الجمله ها Pn[x] با درجه حداکثر n، با ضرایب صحیح،  یک مجموعه  شماراست. فرض کنید:
f:ℤⁿ⁺¹-->Pn[x]
(a. , a₁ , a₂,...,an)-->qₙ
بطوری که
qₙ(x)=a.+a₁x+a₂x²+...+aₙxⁿ
در این صورت f دو سوئی است.لذا
Pn[x]
شماراست.

۲.هرگاه P[ x] مجموعه  تمام کثیر الجمله ها با ضرایب صحیح  باشد، آنگاه P[x] اجتماع  شمارا از مجموعه های شمارای Pn[x] می باشد.پس P[x] شماراست.

۳.هر کثیرالجمله درجه n، دارای دقیقا n ریشه مختلط دارد.بنابراین تعداد ریشه های مجموعه کثیرالجمله های درجهn، شماراست. در حقیقت
n x N.=N.

۴.بنابراین تعداد ریشه های
P[x]
برابر
N.xN.=N.
شمارا می باشد.

۵.اما مجموعه اعداد  جبری
ℚ[A]
زیر مجموعه ریشه های
P[x]
می باشد.بنابراین مجموعه اعداد  جبری
ℚ[A]
شماراست.

(۱۸۹)
میدان اعداد p-ادیک چیست؟
جواب:

۱.هرگاه x یک عدد گویای  غیر صفر و p یک عدد اول باشد، آنگاه اعداد صحیح,b,a  وجود دارند بقسمی که بر p بخش پذیر نیستند و
x=pⁿ.a/b
برای یک عدد صحیح n .

۲.طبق تعریف ، p-قدر مطلق x،
|x|ₚ :=p⁻ⁿ
و
|0|ₚ=0

۳.هرگاه
ℚₚ
کامل شده مجموعه تمام اعداد p-ادیک نسبت  به p- نرم ₚ|.| باشد. در این صورت ℚₚ یک میدان ناشمارای غیرمرتب است که کامل می باشد.در حقیت ℚₚ، مجموعه  تمام کلاس های هم ارزی از دنباله های کوشی تحت رابطه هم ارزی
(xn)~(yn)
اگر و تنها اگر
xn-yn-->0

۴.هر عدد p-ادیک x ، قابل نمایش به صورت:

x=aₙpⁿ+aₙ₊₁pⁿ⁺¹+....
بطوری که
aₖ∈{0,1,..,p-1}
و در مبنای p می نویسند:
x=(...aₙ₊₁aₙ)ₚ

۵.هرگاه x,y در ℚₚ باشند، آنگاه
|x+y|ₚ≤max{|x|ₚ ,|y|ₚ}

 (۱۹۰)
آیا میدان شمارای  کامل وجود دارد؟
جواب

۱.هر میدان مرتب کامل، یکریخت با مجموعه اعداد حقیقی است. بنابراین ناشماراست.

۲.مجموعه اعداد  گویا، میدان شمارای مرتب است ولی کامل نیست.

۳.میدان اعداد  جبری مختلط شماراست ولی  مرتب و کامل نیست.

۴.میدان توابع خارج قسمت توابع کثیرالجمله، با ضرایب گویا،  مرتب و شماراست .

۵.مجموعه اعدا فراحقیقی،  یک میدان مرتب ناشمار است که کامل نیست.

۶.مجموعه اعداد  مختلط،  یک میدان  ناشمارای کامل  و غیر مرتب است.

۷.میدان اعداد  p- ادیک ، ناشمارا و کامل است ولی مرتب نمی باشد.

۸.قضیه  اوستروفسکی :
هر میدان کامل شده توسط تابع قدر مطلق غیر بدیهی، روی مجموعه اعداد  گویا ، دقیقا به صورت یکی از حالات زیر است.

الف) یکریخت با مجموعه اعداد حقیقی  است.
ب) یکریخت  با مجموعه اعداد  مختلط است.
ج) یکریخت با مجموعه  اعداد  p-ادیک، برای یک عدد اولp.

می باشد.بنابراین  میدان شمارای کامل  وجود ندارد.



(۱۹۱)
تابع قدر مطلق روی یک میدان مرتب چیست؟
جواب:

۱.هرگاه F یک میدان مرتب و مجهز به تابع  قدر مطلق
|.|:F-->ℝ⁺
باشد.دراین صورت:

الف) اگر یک x موجود باشد بطوری که
|x|≠1
آنگاه تابع قدر مطلق  را غیر بدیهی گویند.

ب) در غیر این صورت، تابع قدر مطلق  را بدیهی نامند.

۲.تابع  قدر مطلق  در میدان ارشمیدسی دارای خواص  زیر است.برای هر x,y درF:

الف)
|x|=0
اگر و تنها اگر
x=0

ب)
|xy|=|x|.|y|
ج)
|x+y|≤|x|+|y|
۳.در حالت غیر ارشمیدسی،
|x+y|≤max{|x|,|y|}

 (۱۹۲)
منظور از مشخصه یک میدان چیست؟
جواب:

هرگاه F یک میدان باشد. دراینصورت :

الف) اگر e همانی جمعی میدان  باشد بطوری که
n.e≠0
برای هر عدد طبیعی n.در این صورت گوئیم میدان F دارای مشخصه صفر است و می نویسیم
Char(F)=0

ب) هرگاه n، کوچکترین عدد  طبیعی باشد بطوری که
n.e=0
در این صورت،  گوئیم F دارای مشخصه n است و می نویسیم
Char(F)=n

۳.مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد گویا  دارای مشخصه صفر  هستند ولی
Char(ℤₚ)=p

۴.یک میدان  ارشمیدسی ، میدانی مرتبی است که برای هر دو عضو مثبت a و b در میدان F، یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که:
n⋅a>b
میدان اعداد گویا و میدان اعداد  حقیقی ،  میدان های ارشمیدسی  هستند.

۵.یک میدان غیر ارشمیدسی، میدان مرتبی است که خاصیت ارشمیدس را نقض می‌کند. یعنی، اعضای  a و b در میدان وجود دارد به طوری که برای هر عدد طبیعی n، رابطه زیر برقرار است:
n⋅a≤b
میدان اعداد p- ادیک، با ترتیب معمولی اعداد، یک میدان غیر ارشمیدسی است.همچنین میدان اعداد فراحقیقی،  یک میدان غیر ارشمیدسی است.

 

تهیه و تنظیم

۱۴۰۴/۱۲/۶
دکتر علی رجالی

استاد تمام گروه ریاضی( دانشگاه اصفهان )
RejaliMathematicsChannel@