مسائل فرما

باسمه تعالی

مسائل  فرما

در ادامه فهرست تقریبی تمام مسائل و قضایای مشهور ریاضی پی‌یر دو فرما ارائه می‌شود. این فهرست شامل نظریه اعداد، هندسه، حساب دیفرانسیل و انتگرال و ایده‌های اپتیکی اوست. برخی مسائل اثبات نشده بودند و برخی بعدها توسط ریاضی‌دانان دیگر اثبات شدند.

۱. نظریه اعداد

1. قضیهٔ دو مربع فرما (Fermat’s Two-Square Theorem)

   • هر عدد اول قابل نوشتن به صورت .
   • اثبات: بعدها توسط اویلر.

2. آخرین قضیهٔ فرما (Fermat’s Last Theorem)

   • معادله هیچ جواب صحیح غیر صفر ندارد اگر .
   • اثبات: ۳۵۰ سال بعد توسط اندرو وایلس (۱۹۹۴).

3. قضیهٔ جزای اعداد اول و تقسیم‌پذیری خاص

   • هر عدد اولی به فرم خاصیت‌هایی دارد که برخی معادلات دیوفانتی را حل می‌کند.

4. قضیهٔ کسری ساده‌ها و اعداد اول (Fermat Primes)

   • اعداد اگر اول باشند، ویژگی خاص هندسی دارند (تعیین قابل ساختن با پرگار و خط‌کش).

5. معادله‌های دیوفانتی ساده

   • مثال: هیچ جواب صحیح ندارد (یک حالت خاص آخرین قضیه).

6. قضیهٔ حداکثر توان‌ها و مجموع مربعات

   • اعداد فرد هرگز نمی‌توانند برخی ترکیب‌ها را به صورت مجموع مربع‌ها یا مکعب‌ها نشان دهند.

7. قضیهٔ تقسیم عدد صحیح به اعداد اول

   • اعداد صحیح مثبت قابل تجزیه به اعداد اول هستند.۲. هندسه و اپتیک

8. اصل کمترین زمان نور (Fermat’s Principle of Least Time)

   • نور مسیر بین دو نقطه را انتخاب می‌کند که زمان طی مسیر کمینه شود.

9. مسائل حداکثر و حداقل (Optimization)

   • یافتن حداکثر مساحت و کمترین فاصله در مسائل هندسی ساده.

10. مکان هندسی نقاط

    • مسائلی در مورد نقاط و خطوط که بعدها پایه هندسه تحلیلی شد.

۳. حساب دیفرانسیل و سری‌ها

11. مسائل سری‌ها و جمع‌های عددی

    • او برخی سری‌ها و جمع‌ها را محاسبه و روابط جالبی کشف کرد.

12. حدها و تقریب‌ها

    • تخمین حدود بزرگ اعداد و رفتار دنباله‌ها.

13. مسائل مقدماتی مشتق و انتگرال

    • پایه‌های اولیه تحلیل ریاضی مدرن.

۴. مسائل دیگر و جالب

14. اعداد گاوسی و تجزیه‌های پیچیده (Ideas)

    • ایده‌هایی که بعدها منجر به نظریه اعداد مختلط شد.

15. مسائل ترکیبی و الگوریتمی ساده

    • مثال: تعیین مربع‌ها و مکعب‌ها با خواص خاص.

جمع‌بندی

• تعداد تقریبی مسائل و قضایای ثبت‌شده فرما: ۱۵–۲۰ مورد شناخته شده
• مشهورترین آن‌ها:
  1. قضیهٔ دو مربع
  2. آخرین قضیهٔ فرما
  3. اصل کمترین زمان نور
• برخی مسائل او هنوز به‌طور مستقیم اثبات نشده بودند و فقط در یادداشت‌ها ذکر شده‌اند.

تهیه و تنظیم

دکتر علی رجالی